Untersuchung von Systemen im Zeit- und Frequenzbereich

Institut für Regelungstechnik
TECHNISCHE UNIVERSITÄT BRAUNSCHWEIG
Prof. Dr.-Ing. W. Schumacher
Prof. Dr.-Ing. M. Maurer
Prof. em. Dr.-Ing. W. Leonhard
Regelungstechnisches Praktikum 1
Analyse linearer Systeme im
Zeit- und Frequenzbereich
Stand: 16. April 2012, FrS V2.1

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 3
2 Rechenelemente des Analogrechners 4
2.1 Potentiometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Rechenverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Addierer (Summierer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2 Differenzverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.3 Integrierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Betriebsarten des Analogrechners 11
4 Normierung 12
4.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Nachbildung von Regelkreisgliedern 14
5.1 PT 1 -Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2 DT 1 -Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3 PDT 1 -Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.4 IT-Glieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.5 PI-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.6 PID(T 1 )-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 Beispiele 18
6.1 Nachbildung eines einfachen Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.2 Geschwindigkeitsfehler des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.3 Regelfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7 Aufgabenstellungen 21
7.1 Vorbereitungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.2 Laboraufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2

1 Einleitung
Man kann elektrische Rechenanlagen nach ihrer Wirkungsweise in zwei Hauptgruppen
einteilen:
1. Digitalrechner
2. Analogrechner
Der Digitalrechner stellt die behandelten Größen zahlenmäßig dar, z.B. mit Hilfe
von elektrischen Impulsen. Im elektrischen Analogrechner (im Gegensatz zu Vorläufer-
Modellen auf pneumatischer bzw. hydraulischer Basis) werden den physikalischen Größen,
mit denen man rechnen will, Spannungen zugeordnet, deren zeitlicher Verlauf der
abzubildenden Größe proportional ist. Mit Hilfe elektrischer Schaltungen lassen sich somit
Vorgänge simulieren, die durch lineare oder nichtlineare Differentialgleichungen bzw.
Systeme solcher Gleichungen beschrieben werden.
Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt von den verwendeten Rechenelementen ab. Diese
lassen nur einen bestimmten maximalen Spannungsbereich zu, in dem gerechnet werden
kann. Die untere Grenze der Genauigkeit wird durch die kleinste noch eindeutig von
Störspannungen unterscheidbare Nutzspannung bestimmt. Der Spannungsbereich heute
gebräuchlicher Analogrechner liegt in den Grenzen 1 ...10mV < U nutz < 5 ...100V ,das
heißt, man rechnet in einem Dynamikbereich von 40 ...60dB. EineVergrößerung dieses
Rechenbereiches ist aber nur bedingt und dann auch nur mit sehr hohem Aufwand
möglich.
Ein wichtiger Vorzug des Analogrechners gegenüber einem Digitalrechner besteht darin,
daß er Rechenelemente besitzt, die es erlauben, direkt zu integrieren und mit bestimmten
Einschränkungen auch zu differenzieren. Hierdurch wird es im Gegensatz zum
Digitalrechner problemlos möglich, auch sehr komplexe Systeme (z.B. Ordnung > 100)
in Echtzeit zu simulieren.
Auf der anderen Seite hat der Digitalrechner wegen der ziffernmäßigen Arbeitsweise
den Vorzug, wesentlich flexibler und genauer zu sein. Eine Steigerung der Rechengenauigkeit
ist (auf Kosten einer erhöhten Rechenzeit) sehr
einfach möglich durch Verwendung einer genaueren Zahlendarstellung. Die Steuerung
durch ein gespeichertes Programm erlaubt es, beliebige numerische Operationen auszuführen.
Viele Probleme, zum Beispiel partielle Differentialgleichungen, lassen sich nur
auf dem Digitalrechner lösen. Der größeren Flexibilität steht ein wesentlich größerer
Aufwand bei der Programmierung gegenüber.
Neben den Grundarten des Analog- und Digitalrechners gibt es verschiedene Kombinationen,
welche die Eigenschaften beider Typen in sich vereinigen (Hybridrechner).
3

2 Rechenelemente des Analogrechners
Der Analogrechner enthält verschiedene Rechenelemente, die bestimmte Teile einer Rechnung
analog nachbilden können. Durch entsprechendes Zusammenschalten der verschiedenen
Rechenelemente entsteht die spezielle Rechenschaltung.
Im folgenden werden die einzelnen Bausteine eines Analogrechners kurz beschrieben.
Vorangestellt sei eine Liste mit den jeweiligen Schaltsymbolen, die eine vereinfachte
Darstellung der Rechenschaltung ermöglichen.
2.1 Potentiometer
Potentiometer dienen zur Multiplikation einer Systemgröße mit einem konstanten Faktor
α, 0≤ α ≤ 1.
Wird an den Eingang des Potentiometers die Rechenspannung U 1 gelegt, so erhält
man am Abgriff die Leerlaufspannung
U a = α 0 · U 1 (1)
(1-α 0 ) . R
u 1
R
α 0
. R
u a
R L
Abbildung 1: Potentiometer mit Lastwiderstand
Wird das Potentiometer zum Beispiel mit dem Eingang eines Rechenverstärkers belastet,
so entspricht das Spannungsverhältnis nicht mehr der Stellung des Abgriffes. Es
gilt die neue Beziehung
u a
α 0
= α =
(2)
R
u 1 1+(1− α 0 ) · α 0 ·
R L
Man erhält also einen vom Abgriff (α 0 ) und von der Belastung (R L )abhängigen Einstellfehler
[
]
1
F = α 0 − α = α 0 · 1 −
≈ α
R 0 2 1+(1− α 0 ) · α 0 · · (1 − α R
0) · (3)
R
R L L
Die genaue Einstellung des Spannungsverhältnisses α am belasteten Potentiometer R
kann mit einer Kompensationsschaltung nach Bild 3 erfolgen. Am Vergleichspotentiometer
R V wird der gewünschte Faktor α eingestellt; der Abgriff am Potentiometer R wird
dann solange verändert, bis das Instrument Null zeigt.
4

Rechenelement Schaltsymbol Wirkungsweise
Koeffizienten-
Potentiometer
U 1
α U a
U a = α · U 1
(0 ≤ α ≤ 1)
Summierer
(Vorzeichenumkehr!)
U 1
U 2
...
U N
k 1
k 2
k N
U a
∑
U a = − N k i · U i
i=1
Integrierer
U 1 T 1
U 2 T 2
...
U N
T N
U 0
U a U a = −
∫ t
N∑
t 0 i=1
U i
T i
dt − U 0
U 1 f(U 1 ) U a
Funktionsgeber
bzw.
U a = f (U 1 )
U 1 U a
Multiplizierer
Komparator
U 1
U 2
U a
bzw.
U a = U 1 · U 2
U 1
U 2
U a
Der Kontakt liegt:
U 1
U a
U 2
oben, wenn U 1 >U 2
unten, wenn U 1

1
α
R L =∞
R L
1 α 0
Abbildung 2: Einstellkurve des Potentiometers im Leerlauf und bei Belastung
R α R
u 0 α V
1
R L
u a
V
Abbildung 3: Kompensationsschaltung mit Vergleichspotentiometer R V
Im verwendeten Analogrechner befinden sich 12 Potentiometer, von denen 6 auf Massepotential
liegen, die anderen sind potentialfrei. Sie weisen alle einen Widerstand von
10 kΩ auf.
2.2 Rechenverstärker
Aufbau und Wirkungsweise eines Rechenverstärkers wurden im Versuch 1 (Operationsverstärker)
behandelt. Die im Analogrechner verwendeten Verstärker sind Operationsverstärker
mit einer hohen Verstärkung (minimal 120 dB) und einer besonders guten
Nullpunktkonstanz (Offsetspannung < 10μV ; typisch 1μV ). Die Anstiegsrate liegt bei
0, 5V/μs für die Differenzverstärker und beträgt 2, 5V/μs bei den Integrier- und Summierverstärkern.
Zu beachten ist, daß jeweils die invertierende Schaltung verwendet wird. Besondere
Bedeutung erlangt diese Tatsache beim Aufbau geschlossener Regelkreise!
Im folgenden werden die Schaltungen für die verschiedenen Rechenoperationen und
ihre Wirkungsweise besprochen.
6

R 1
R 0
R
i 2
2
R
i g
u 3
1
u 2
u 3
u d
i 1
i 0
i 3
-V 0
u a
Abbildung 4: Prinzipschaltbild des Addierers
2.2.1 Addierer (Summierer)
Es gelten folgende Beziehungen
u a = −V 0 · u d mit V 0 ≫ 1 (4)
Aufgrund des hohen Eingangswiderstandes (ca. 10 12 Ω) ist i g ≈ 0 und damit:
i 1 + i 2 + i 3 + i 0 =0 (5)
Für die einzelnen Maschen gilt
Daraus folgt
i 1 = u 1−u d
R 1
i 3 = u 3−u d
R 3
i 2 = u 2−u d
R 2
i 0 = ua−u d
R 0
(6)
u 1 − u d
+ u 2 − u d
+ u 3 − u d
+ u a − u d
R 1 R 2 R 3 R 0
=0 (7)
(4) in (6) eingesetzt und nach u a aufgelöst ergibt
dabei ist
R 0
R
u a = − 1
u 1 + R 0
R 2
u 2 + R 0
R 3
u 3
1+ 1
(8)
k·V 0
R 1 R 2 R 3
k =
(9)
R 1 R 2 R 3 + R 0 R 2 R 3 + R 0 R 1 R 3 + R 0 R 1 R 2
Wenn in Gleichung (8) k · V 0 ≫ 1 ist, kann das Glied 1
k·V 0
gegen 1 vernachlässigt
werden und man erhält aus (8)
u a = −
n∑
i=1
k i · u i mit k i = R 0
R i
(10)
Wird nur eine Variable u i zugeführt und R 0 /R 1 = 1 gemacht, dann erhält man einen
sogenannten Umkehrverstärker, da hier nur das Vorzeichen von u 1 umgekehrt wird. In
7

dem verwendeten Analogrechner sind zwei verschiedene Widerstände für den Gegenkopplungszweig
wählbar, daher ergeben sich drei verschiedene Gewichtsfaktoren für die
Eingänge: k i =0, 1;k i = 1 und k i = 10.
u 1
α 2
k 2
α 1
k 1
u a
Abbildung 5: Addierer mit zusätzlicher Gegenkopplung
Durch zusätzliches Einfügen eines Potentiometers am Eingang oder in den Gegenkopplungszweig
läßt sich im Bereich 0 ≤ V ≤ 10 jede Verstärkung einstellen.
u a = − k 1 · α 1
· u 1 (11)
1+k 2 · α 2
Aufgrund der nichtlinearen Einstellcharakteristik verzichtet man meist auf das Potentiometer
im Gegenkopplungszweig.
1
1 MΩ
S
1
1 MΩ
1 MΩ
1
1
1 MΩ
0,1MΩ
.1
10
0,1MΩ
A
10
0,1MΩ
A
Abbildung 6: Innenschaltung eines Addierers
Im verwendeten Analogrechner sind die Addierer (insgesamt drei Stück) gemäß Bild
6 beschaltet.
2.2.2 Differenzverstärker
In Erweiterung der Schaltung des Addierers hat nun auch der nichtinvertierende Operationsverstärker-
Eingang eine ohmsche Beschaltung. Die Rückführung ist aufgetrennt.
2.2.3 Integrierer
Mit den Beziehungen
8

1
1 MΩ
N
1
1 MΩ
1 MΩ
1
1
10
1
1
10
1 MΩ 0,1MΩ
0,1MΩ
1 MΩ
1 MΩ
0,1MΩ
.1
A
A
P
T
Abbildung 7: Innenschaltung eines Differenzverstärkers
i 0
C
u C
i 1
R 1
-V 0
u 1 u d
u a
Abbildung 8: Prinzipschaltbild des Integrierers
u a = −V 0 · u d mit V 0 ≫ 1 (12)
i 1 + i 0 =0 (i g ≈ 0) (13)
i 0 = C · du C
dt
(14)
u 1 = i 1 · R 1 + u d (15)
erhält man
u a = u C + u d (16)
Für V 0 ≫ 1 gilt
zu
u a = V 0
· u C0 − V ∫
0 1
t
∫
1
t
u 1 dt −
u a dt (17)
1+V 0 1+V 0 R 1 C (1 + V 0 ) · R 1 C
0
0
V 0
1+V 0
≈ 1 und
1
(1+V 0 )·R 1 C
≈ 0. Damit vereinfacht sich Gleichung (17)
9

u a = u C0 − 1 T 1
∫t
0
u 1 dt mit T 1 = R 1 · C (18)
Bei mehreren Eingängen findet gleichzeitig eine Summierung statt, es gilt dann
u a = u C0 −
⎛
n∑
⎝ 1 T μ
μ=1
∫t
0
⎞
u μ dt⎠ = u C0 −
∫ t
0
n∑
μ=1
u μ
T μ
dt mit T μ = R μ · C (19)
1
1
1
10
10
S
OP IC
1 MΩ R
1 MΩ
R
1 MΩ
0,1MΩ
1 μF
0,1MΩ
0,01μF
IC
A
A
A
1
100
Abbildung 9: Innenschaltung eines Integrierers
Die Integrationskonstante u C0 stellt die Anfangsbedingung für den Integrierer dar.
Falls u C0 ≠ 0 ist, muß der Kondensator C vor Rechenbeginn auf den entsprechenden
Wert aufgeladen werden. Dazu wird der Kondensator C über einen einstellbaren Spannungsteiler
mit Hilfe eines Analogschalters (z.B. MOSFET) oder eines Rechenrelais an
die Rechenspannung gelegt (IC: INITIAL CONDITION). Bei Rechenbeginn (OP: OPE-
RATE) wird der Schalter geöffnet und damit die Schaltung in Bild 8 hergestellt.
Um Fehler durch die Drift und die Kondensatorentladung klein zu halten, dürfen die
Verstärker nicht mit zu kleinen Eingangsspannungen gespeist und die Rechenzeit nicht
zu lang gewählt werden (siehe Kapitel 3).
10

3 Betriebsarten des Analogrechners
Der Analogrechner hat drei Betriebsarten, die wie folgt bezeichnet sind:
1. POT = Potentiometer abgleichen
2. IC = INITIAL CONDITION (Anfangsbedingungen einstellen)
3. OP = OPERATE (Rechnung ausführen)
In der Betriebsart ”Potentiometer-Abgleich”wird mit dem Betätigen des zugeordneten
Tastschalters der Potentiometereingang auf die positive Referenzspannung (+5V ) gelegt.
Gleichzeitig wird der Schleifer über eine gemeinsame Leitung mit dem Digitalvoltmeter
verbunden. Bei massefreien Potentiometern ist zusätzlich der untere Anschluß mit Masse
zu verbinden. Die Anzeige des Digitalvoltmeters liefert einen auf 5 Volt normierten Wert,
so daß direkt der eingestellte Wert α angezeigt wird. Achtung: Um einen Kurzschluß
im Analogrechner zu vermeiden, darf stets nur ein Tastschalter gleichzeitig
gedrückt werden!
Die Betriebsart ”Anfangsbedingungen einstellen” ermöglicht die Vorgabe von Anfangswerten
für die Integrierer. Dazu befindet sich der Schalter in Bild 9 in der Stellung
”IC”.
Die Betriebsart ”Rechnung ausführen” startet die Rechnung. In Abhängigkeit des gewählten
Rechenmodus wird die Rechnung einmal ausgeführt beziehungsweise ständig
wiederholt. Der Rechenmodus ”SINGLE SHOT” (einmaliges Rechnen) ist für die Aufzeichnung
der Rechenergebnisse mit einem X-Y beziehungsweise Y-t-Schreiber konzipiert.
Soll das Rechenergebnis auf einem Oszilloskop dargestellt werden, ist es zweckmäßig,
die Rechnung periodisch zu wiederholen. Hierzu dient der Rechenmodus ”REPEAT
OPERATION” (repetierendes Rechnen). Um ein möglichst flimmerfreies Bild zu erhalten,
sollte die Wiederholfrequenz größer als 20 Hz sein, außerdem ist eine externe Triggerung
des Oszilloskopes mit dem Steuersignal ”AS2” empfehlenswert. Die Rechenzeiten
der einzelnen Rechenmodi sind:
SINGLE SHOT
REPEAT OPERATION
10s...100s
10ms...1s
Da zur Herstellung der Anfangsbedingungen ebenfalls eine gewisse Zeit benötigt wird
(Zeitkonstanten beim Laden/Entladen der Kapazitäten), kann die Rechnung erst nach
Ablauf der Pausenzeit wiederholt werden. Im verwendeten Analogrechner ist das Puls-
Pausenverhältnis fest auf den Wert 5 : 1 eingestellt.
In den Betriebsarten ”Anfangsbedingungen einstellen” und ”Rechnung ausführen” kann
das Digitalvoltmeter zu Spannungsmessungen in der Analogrechnerschaltung benutzt
werden. Hierzu dient die Buchse ”INPUT”. Auch hierbei handelt es sich um eine auf +5
V normierte Anzeige.
11

4 Normierung
Während die in einem physikalischen System vorkommenden veränderlichen Größen
völlig unterschiedliche Dimensionen haben können, wie zum Beispiel Beschleunigung,
Geschwindigkeit, Weg, Strom, Spannung, Leistung usw., deren Verlauf über einer unabhängigen
Variablen z, häufig der Zeit, interessiert, werden beim Analogrechner nur
Spannungsverläufe über der Zeit dargestellt.
Die Darstellung des physikalischen Systems auf einem Analogrechner ist am einfachsten,
wenn man vor dem Aufbau des Modells alle Systemgrößen durch geeignete Normierung
dimensionslos macht und auf einen bestimmten Zahlenbereich begrenzt.
Wegen der Begrenzung der Analogrechenspannung ist es sinnvoll, alle Systemgrößen
auf ihre Maximalwerte zu beziehen. Damit wird sichergestellt, daß sich die Analogrechenspannung
nur in ihrem vorgegebenen Bereich (im vorliegenden Fall U max =5V )
bewegen kann, außerdem wird hierdurch eine optimale Ausnutzung des gesamten Dynamikbereiches
des Rechners erreicht.
Es gelten dann folgende Beziehungen für die Systemgrößen w(z) und die Analogrechenspannung
u(t):
w
W max
= v
entspricht
u
U max
= y mit − 1 ≤ y ≤ +1 (20)
(entsprechendes gilt für abgeleitete Größen)
Für die Normierung der unabhängigen Variablen t des Analogrechners bietet sich die
Maschinenzeitkonstante T 0 an. Das ist die Zeit, in der eine Rechnung ausgeführt wird
(vergleiche Kapitel 3).
Zur Normierung der unabhängigen Variablen z des physikalischen Systems kann eine
beliebige Normierungsgröße Z N gewählt werden, zum Beispiel der Maximalwert bei
”Repetierendem Rechnen” oder ”Einmaligem Rechnen” oder eine günstige Einheitsgröße,
zum Beispiel 1 Sekunde bei zeitlich veränderlichen Systemen.
z
= x entspricht τ = t
(21)
Z N T 0
Bei zeitlich veränderlichen Systemen hat der Quotient Z N /T 0 folgende Bedeutung:
Z N
< 1 bewirkt eine Dehnung
T 0
Z N
> 1 bewirkt eine Raffung
T 0
des Zeitverhaltens der Vorgänge im Analogrechner. An folgendem Normierungsbeispiel
sollen die gemachten Ausführungen erläutert werden.
4.1 Beispiel
Ein zu untersuchendes System werde durch die Gleichung
12

∫ z
W = A ·
l (z) dz (22)
beschrieben. Durch Normierung
0
ergibt sich
v 1 =
l ; v a = W ; x = z
(23)
l max W max z max
∫
v a = A · lmax · z x
max
·
W max
0
v 1 dx = a ·
Dabei ist a = A · lmax·zmax
W max
ein dimensionsloser Maßstabsfaktor.
Auf dem Rechner entspricht der Gleichung (22) die Beziehung
u a = 1 T 1
·
∫ t
∫ x
0
v 1 dx (24)
u 1 dt (25)
Normiert man Gleichung (25)
0
dann erhält man
y 1 = u 1
U max
; y a = u a
U max
;
τ = t
T 0
(26)
y a = 1 ∫
· Umax · T τ
0
·
T 1 U max
0
y 1 dτ = b ·
∫ τ
0
y 1 dτ (27)
Dabei ist b = T 0 /T 1 wieder ein dimensionsloser Faktor. Ein Vergleich von Gleichung
(24) mit Gleichung (27) zeigt, daß folgende Größen einander entsprechen:
Systemgröße
v 1
v a
x
a
Analogrechnergröße
y 1
y a
τ
b
Im folgenden werden bei Rechenschaltungen anstelle von x und v die äquivalenten
Bezeichnungen τ und y verwendet.
13

5 Nachbildung von Regelkreisgliedern
5.1 PT 1 -Glied
α 2
T 2
y a
α 1
y 1 T 1
Abbildung 10: Nachbildung eines Verzögerungsgliedes 1. Ordnung
Verzögerungsglieder 1. Ordnung werden durch entsprechend beschaltete Integrierer
nachgebildet (Bild 10).
Für die Schaltung nach Bild 10 gilt
(
dy a
dτ = − T0 · α 1
· y 1 + T )
0 · α 2
· y a (28)
T 1 T 2
oder
Setzt man T 2
T 0·α 2
= T und α 1
α 2
· T2
T 1
T 2
T 0 · α 2
· dy a
dτ + y a = − α 1
α 2
· T2
T 1
· y 1 (29)
= V ,soerhält man
T · dy a
dτ + y a = −V · y 1 (30)
Dies ist, abgesehen vom negativen Vorzeichen, die Differentialgleichung eines Proportionalgliedes
mit Verzögerung 1. Ordnung.
Als übertragungsfunktion erhält man daraus mit T 0 · p = s
G (s) =− Y a (s)
Y 1 (s) =
V
T · s +1
Anmerkung: s und T sind normierte und somit dimensionslose Größen!
(31)
5.2 DT 1 -Glied
Reines D-Verhalten kann man mit Hilfe der Rechenelemente nicht realisieren, da immer
parasitäre Verzögerungen auftreten. Mit der in Bild 11 gezeigten Schaltung kann
man ein DT 1 -Glied nachbilden. Der eine Verstärker im Gegenkopplungszweig dient zur
Richtigstellung der Vorzeichenbilanz.
14

Es gilt folgende Beziehung
oder
y a = −
(
α 1 · y 1 + T ∫
0 · α 2
·
T 2
)
y a dτ
(32)
T 2
· dy a
T 0 · α 2 dτ + y a = − T 2 · α 1
· dy 1
T 0 · α 2 dτ
Setzt man T 2
T 0·α 2
= T V so ergibt sich
(33)
T V · dy a
dτ + y a = −α 1 · T V · dy 1
(34)
dτ
Gleichung (34) ist, abgesehen von dem negativen Vorzeichen, die Differentialgleichung
eines DT 1 -Gliedes. Die daraus resultierende übertragungsfunktion lautet
G (s) =− Y a (s)
Y 1 (s) = α T
1 · V · s
(35)
T V · s +1
Für T V → 0 wird ein D-Verhalten angenähert. Dies ist nur bei gleichzeitiger Einbuße
an Verstärkung möglich.
y 1
α 1
1
1
y a
1 T 2
α 2
Abbildung 11: Nachbildung eines DT 1 -Gliedes
5.3 PDT 1 -Glied
Zur Erzielung eines PDT 1 -Verhaltens wird ein Addierer mit einer verzögerten Rückführung
ausgestattet (Bild 12).
Es gelten die Beziehungen
(
)
dy 2
y a = − (α 1 y 1 + y 3 ) ;
dτ = − T 0 T 0
α 2 y a + α 3 y 2 (36)
T 2 T 3
Für T 2 = T 3 folgt mit y 3 = −y 2
T 2
T 0 · (α 2 + α 3 ) · dy a
dτ + y a = − α 1 · α 3
α 2 + α 3
·
(
T2
· dy )
1
T 0 · α 3 dτ + y 1
(37)
15

y 1
α 1
1
y 3
1
y a
1
T 3
y 2
α 3
T 2
α 2
Abbildung 12: Nachbildung eines PDT 1 -Gliedes
Mit
T 2
T 0 · (α 2 + α 3 ) = T V 1 ;
T 2
T 0 · α 3
= T V 2
und
α 1 · α 3
α 2 + α 3
= V (38)
ergibt sich
T V 1 · dy (
a
dτ + y a = −V · T V 2 · dy )
1
dτ + y 1
(39)
Dies ist die Differentialgleichung eines PDT 1 -Gliedes (wieder bis auf das Vorzeichen).
Als übertragungsfunktion erhält man
G (s) =− Y a (s)
Y 1 (s) = V · TV 2 · s +1
(40)
T V 1 · s +1
Hinweis: Die Größen T V 1 und T V 2 sind normierte und somit dimensionslose Größen!
5.4 IT-Glieder
Der Integrator ohne Verzögerung wurde schon unter 2.2.3 behandelt. IT-Glieder werden
durch Hintereinanderschalten von I- und PT 1 -Gliedern realisiert.
Die übertragungsfunktion einer solchen Schaltung lautet
G (s) =
T i · s ·
V
n∏
(T μ · s +1)
μ=1
(41)
5.5 PI-Glied
Ein PI-Glied läßt sich sehr einfach durch Parallelschaltung eines P- und eines I-Gliedes
herstellen (Bild 13).
16

y 1
α 1 T 1
y 2
1
α 2 1
1
y 3
y a
Abbildung 13: Nachbildung PI-Gliedes
Mit den Beziehungen
y a = − (y 2 + y 3 ) ;
∫
y 2 = −α 1 · T0 ·
T 1
y 1 dτ ; y 3 = −α 2 · y 1 (42)
erhält man
α 2
· T1 · dy (
a
α 1 T 0 dτ = α α2
2 · · T1 · dy )
1
α 1 T 0 dτ + y 1
(43)
und mit
α 2
α 1
· T1
T 0
= T i und α 2 = V (44)
T i · dy (
a
dτ = V · T i · dy 1
dτ + y 1
Die übertragungsfunktion lautet
)
(45)
G (s) =+ Y a (s)
Y 1 (s)
= V ·
Ti · s +1
T i · s
(46)
5.6 PID(T 1 )-Glied
Durch Hintereinanderschalten eines PI-Gliedes mit einem PDT 1 -Glied erhält man PID(T 1 )-
Verhalten (Bild 14).
y 2
α 1 T 1 1
y 4
y 1
α 2 1 1
y 3
α 3
1
1
y a
1
α 5
T 5
T 4
α 4
Aus den Gleichungen
Abbildung 14: Nachbildung PID(T 1 )-Gliedes
17

und
mit T 4 = T 5 und
T ik · dy 2
dτ = T i · dy 1
dτ + y 1 mit T ik = T 1
α 1 · T 0
und T i = T 1
T 0
· α2
α 1
(47)
T V 1 · dy (
a
dτ + y a = −V · T V 2 · dy )
4
dτ + y 4
T 4
T V 1 =
; T
(α 4 + α 5 ) · T V 2 = T 4
; V = α 3 · α 5
(49)
0 α 5 · T 0 α 4 + α 5
erhält man über die übertragungsfunktionen
(48)
G 1 (s) =+ Y 4 (s)
Y 1 (s) = T i · s +1
T ik · s
und
G 2 (s) =− Y a (s)
Y 4 (s) = V T V 2 · s +1
T V 1 · s +1
(50)
die Gesamtübertragungsfunktion
G (s) =− Y a (s)
Y 1 (s) = V · Ti · s +1
· TV 2 · s +1
(51)
T ik · s T V 1 · s +1
Reines PID-Verhalten läßt sich, wie auch schon vorher bei allen Gliedern mit D-
Verhalten, nicht realisieren. Für T V 1 → 0 wird ein PID-Verhalten angenähert bei gleichzeitiger
Einbuße an Verstärkung.
6 Beispiele
6.1 Nachbildung eines einfachen Regelkreises
Bild 15 zeigt einen geschlossenen Regelkreis mit zwei Verzögerungsgliedern 1. Ordnung.
v 1
v 2
T 2
y 1
T 1
y a
Abbildung 15: Regelkreis mit 2 PT 1 -Gliedern
Für diesen Regelkreis erhält man folgende übertragungsfunktion des geschlossenen
Kreises
G g (s) =
G k
1+G k
=
1
1+ 1
G k
=
1+
1
(T 1·s+1)·(T 2·s+1)
V 1·V 2
(52)
Daraus wird mit V 1 · V 2 = V k
18

setzt man weiterhin
G g (s) =
V k
1+V k
·
1
T 1·T 2
1+V k
s 2 + T 1 +T 2
1+V k
s +1
(53)
V k
= V ;
1+V k
so erhält man schließlich
1+V k
=Ω 2 ; D 0 = 1 T 1 · T 2
√T1
T 1 · T 2 2 · T 2 · (1 + V k )
(54)
1
G g (s) =V · ( s
) 2
+2· D
Ω
0 · s +1 (55)
Ω
Die Rechenschaltung für dieses System mit y 2 = −y 1 zeigt Bild 16.
4 6
y 2
1
1
T 4 T 6
1
3 T 3
5 T 5
y a
Abbildung 16: Rechenschaltung für einen Regelkreis mit zwei PT 1 -Gliedern
Für die beiden Verzögerungsglieder gilt nach 4.1
T 1 = T 4
α 4·T 0
; V 1 = α 3·T 4
α 4·T 3
;
T 2 = T 6
α 6·T 0
; V 2 = α 5·T 6
α 6·T 5
.
Mit T 1 = const und T 2 = const läßt sich die Kreisverstärkung und damit auch D 0
durch die Parameter α 3 ,T 3 ,α 5 und T 5 variieren.
6.2 Geschwindigkeitsfehler des Regelkreises
Der Geschwindigkeitsfehler eines Proportionalgliedes mit der Sprungantwort w(t) ist
definiert zu
(56)
f V (t) =r (t) · w (∞) − v (t) (57)
r (t) = Anstiegsfunktion,
w (t) = Sprungantwort,
v (t) = Anstiegsantwort,
w (∞) = lim w (t) .
t→∞
f V (t) läßt sich mit einer Schaltung messen, die folgendem Blockschaltbild entspricht:
Auf dem Analogrechner läßt sich diese Schaltung mit den in Kapitel 2 besprochenen
Bauelementen nachbilden, wobei für den schwingungsfähigen Block der unter 6.1
dargestellte Regelkreis eingesetzt werden soll.
19

y
r(t) . w(∞)
f V (t)
v(t)
t
Abbildung 17: Geschwindigkeitsfehler
s(t)
1s
r(t)
r(t)
v
w(∞)
ω 0
,D
f V (t)
Abbildung 18: Blockschaltbild zur Messung des Geschwindigkeitsfehlers
6.3 Regelfläche
Die Definition der Regelfläche lautet
mit
A = lim
t→∞
a (t) (58)
a (t) = 1 1s
∫ t
0
[w (∞) − w (τ)] dτ (59)
Vertauscht man in Bild 18 die Reihenfolge der Blöcke, so daß der Integrator hinter der
Summierstelle liegt, dann erhält man eine Schaltung zur Bestimmung der Funktion a(t).
(Dabei liegt an den Eingängen der parallel geschalteten Blöcke s(t) anstelle von r(t)).
20

7 Aufgabenstellungen
7.1 Vorbereitungsaufgaben
1. Geben sie das Schaltbild einer invertierden und einer nichtinvertierenden Operationsverstärkerschaltung
an. Geben sie die Beziehung zur Berechnung des Übertragungsfaktors
an.
2. Welche Verbindungen sind noch notwendig, um aus der Innenschaltung eines Addierers
nach Bild 6 einen funktionsfähigen Addierer zu machen? Welche Verstärkungen
lassen sich mit den vorhandenen Festwiderständen erzielen?
3. Wie läßt sich die Innenschaltung eines Differenzverstärkers (Bild 7) als Addierer
nutzen? Welche Verstärkungen sind hier möglich? Wie läßt sich die Innenschaltung
als Differenzverstärker nutzen?
4. Welche Verbindungen ergänzen die Innenschaltung eines Integrierers (Bild 9) zu einem
vollständigen Integrierer? Welche Integrierzeitkonstanten sind nur durch Verbindungen
einstellbar? Wie läßt sich mit einem zusätzlichen Potentiometer die
Zeitkonstante stufenlos variabel machen? Machen Sie sich die Funktionsweise der
Betriebsart ”IC” klar! Was geschieht, wenn der Anschluß ”IC” unbeschaltet bleibt?
5. Bei den Versuchen im Labor sollen folgende lineare Übertragungssysteme untersucht
werden:
a) I-Glied
b) PT 1 -Glied
c) DT 1 -Glied
d) PDT 1 -Glied
e) IT-Glied
f) PI-Glied
g) PIDT 1 -Glied
Geben sie zu den oben angegebenen Systemen jeweils die Übertragungsfunktion,
die beschreibende Differentialgleichung und das Bodediagramm an.
21

7.2 Laboraufgaben
6. Die im folgenden aufgeführten Anordnungen sind aufzubauen; ihre Sprungantworten
sind aufzunehmen und zu diskutieren.
a) I-Glied
b) PT 1 -Glied
c) DT 1 -Glied
d) PDT 1 -Glied
e) IT-Glied
f) PI-Glied
g) PIDT 1 -Glied
7. Man überlege sich eine Schaltung für einen geschlossenen Regelkreis mit zwei I-
Gliedern. Dazu berechne man die resultierende Dämpfung und die Eigenfrequenz.
Anschließend sind diese Ergebnisse mit Hilfe des Analogrechners zu überprüfen.
8. Für das unter 6.2 beschriebene Blockschaltbild zur Messung des Geschwindigkeitsfehlers
ist eine Rechenschaltung zu entwickeln und auf dem Analogrechner zu überprüfen.
Die Rechenschaltung ist bei der Vorbesprechung vorzulegen.
9. Mit der unter 6.3 beschriebenen Schaltung ist der zeitliche Verlauf der Funktion
a(t) aufzunehmen und mit den Verlauf des Geschwindigkeitsfehlers zu vergleichen.
10. Eine PT 2 -Strecke soll geregelt werden. Als Vorbereitung ist ein geeigneter Regler
auszuwählen und zu dimensionieren. Während des Versuches soll die Strecke mit
unterschiedlichen Reglern geregelt werden. Der Einfluß von sprungförmigen Sollwertänderungen
und Störungen im Regelkreis ist aufzunehmen und zu diskutieren.
11. Ein PID(T 1 )-Glied läßt sich auch durch die Parallelschaltung eines P-, I- und D-
Kanals realisieren. Hierfür ist eine geeignete Rechenschaltung zu entwickeln und
bei der Vorbesprechung vorzulegen.
Literatur
[1] Regelungstechnisches Praktikum I, Versuch 1.
[2] Giloi, Lauber: Analogrechner. Springer Verlag
[3] Ernst: Elektronische Analogrechner. R. Oldenbourg Verlag, München
[4] Tietze, Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik. Springer Verlag
[5] BICC-Vero-Electronics Bremen: Applikationen zum Analogcomputer.
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