Pole und Asymptoten.pdf - gilligan-online

Aufgabe 1:
Es sei
f (x)
t
3
= +
mit x ∈ Df
, t ∈ R
2
t 0
gegeben. Bestimme maximalen Definitionsbereich
x + 3x + t
und alle möglichen Asymptoten (senkrechte und waagrechte). Für welche Werte von t
existieren keine, eine oder zwei senkrechte Asymptoten?
Lösung:
Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs: Nennernullstellen müssen aus R entfernt
werden.
x
x
2
1,2
+ 3x + t = 0
= −
3
2
±
1
2
9 − 4t
⇒
D
ft
= R /
{ −
3
±
1
9 − 4t}
2
Untersuchung auf Asymptoten:
Da der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad ist die x-Achse waagrechte Asymptote.
Untersuchung auf möglich Pole:
9
Ist 9 − 4t < 0 , also t >
4
, so existieren keine Pole
Ist 9 − 4t = 0 , also t =
9
, so existiert ein Pol ohne Vorzeichenwechsel
4
Ist 9 − 4t > 0 , also t <
9
4
2
, so existieren zwei Pole mit Vorzeichenwechsel
Aufgabe 2:
x −1
Zu jedem t ∈ R sei eine Funktion f t gegeben durch ft
(x) = 10 mit x ∈D
2
f t
.
x − tx + t
Ihr Schaubild sei K . Gib die größtmögliche Definitionsmenge D und damit die Anzahl der
Pole in Abhängigkeit von t an.
t
Lösung:
Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs: Nennernullstellen müssen aus R entfernt
werden.
x
x
2
1,2
− tx + t = 0
=
t
2
±
1
2
t
2
− 4t
⇒
Untersuchung auf möglich Pole:
D
f
t
= R /
⎧
⎨
⎩
t
2
±
1
2
t
2
− 4t
⎫
⎬
⎭
Ist t 2 − 4t < 0 , also 0 < t < 4 , so existieren keine Pole
Ist t 2 − 4t = 0 , also t = 0 ∨ t = 4 , so existiert ein Pol ohne Vorzeichenwechsel
Ist t 2 − 4t > 0 , also t < 0 ∨ t > 4 , so existieren zwei Pole mit Vorzeichenwechsel
f t
© 2004 Jürgen Gilg · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
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Aufgabe 3:
2 2
+
x − 4t
Für jedes t ∈ R ist durch ft
(x) = mit x ∈D
2 2
f t
eine Funktion f t gegeben. Ihr Schaubild
x − t
sei K. t
Bestimme den umfassendsten Definitionsbereich D f t
von der Funktion f t . Untersuche K t auf
Asymptoten.
Lösung:
Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs: Nennernullstellen müssen aus R entfernt
werden.
x
2
− t
2
= 0 ⇒
x
1,2
= ± t
⇒
D
f t
= R /
{ ± t}
Diese Nennernullstellen sind nicht gleichzeitig auch Zählernullstellen und sie treten jeweils
einfach auf, darum sind an diesen Stellen Pole mit Vorzeichenwechsel.
Asymptoten:
Der Zählergrad ist gleich dem Nennergrad: y = 1 ist waagrechte Asymptote.
Aufgabe 4:
x
+
a ⋅ e
Für jedes a ∈ R ist durch fa (x) = ; x ∈ R eine Funktion f a gegeben. Ihr Schaubild sei
K a . Bestimme die Asymptoten.
a + e
x
Lösung:
Für die Bestimmung der Asymptoten gilt:
→
0
x x x
a⋅e e a a⋅e
lim f a(x) = lim = lim ⋅ = a lim f
x x a a(x) = lim = 0
x→+∞ x→+∞ x x x
x
a+ e →+∞ e x
+ 1
→−∞ →−∞ a+
e
e
Aufgabe 5:
+
Für jedes t ∈ R ist eine Funktion f t gegeben durch f (x) =
x
e
; x ∈ R /{ lnt}.
Untersuche das Schaubild
→0
K t von f t auf Asymptoten.
Lösung:
Für die Bestimmung der Asymptoten gilt:
lim
t
x→+∞
f (x) =
lim
x→+∞
x
e
=
x
e − t
lim
x→+∞
e
e
x
x
1
⋅
1−
t
x
e
→0
= 1
t
e
x
− t
lim
x→−∞
f (x) =
t
lim
x→−∞
→0
→
0
x
e
= 0
x
e
− t
→0
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Aufgabe 6
Für jedes
+
t ∈ R ist eine Funktion f t gegeben durch
Untersuche das Schaubild
K t von f t auf Asymptoten.
2 1 −tx
ft (x) = t (x + )e ; x ∈ R .
t
Lösung:
Für die Bestimmung der Asymptoten gilt:
2
+ 1 −tx
=
= 2
+ 1 −tx
lim ft
(x) lim t (x )e 0
lim ft
(x) lim t (x )e → −∞
x→+∞
x→+∞
t
x→−∞
x→−∞
t
= > 0 →0
> 0 →+∞
→+∞
→−∞
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