Pole und Asymptoten.pdf - gilligan-online

Aufgabe 3:
2 2
+
x − 4t
Für jedes t ∈ R ist durch ft
(x) = mit x ∈D
2 2
f t
eine Funktion f t gegeben. Ihr Schaubild
x − t
sei K. t
Bestimme den umfassendsten Definitionsbereich D f t
von der Funktion f t . Untersuche K t auf
Asymptoten.
Lösung:
Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs: Nennernullstellen müssen aus R entfernt
werden.
x
2
− t
2
= 0 ⇒
x
1,2
= ± t
⇒
D
f t
= R /
{ ± t}
Diese Nennernullstellen sind nicht gleichzeitig auch Zählernullstellen und sie treten jeweils
einfach auf, darum sind an diesen Stellen Pole mit Vorzeichenwechsel.
Asymptoten:
Der Zählergrad ist gleich dem Nennergrad: y = 1 ist waagrechte Asymptote.
Aufgabe 4:
x
+
a ⋅ e
Für jedes a ∈ R ist durch fa (x) = ; x ∈ R eine Funktion f a gegeben. Ihr Schaubild sei
K a . Bestimme die Asymptoten.
a + e
x
Lösung:
Für die Bestimmung der Asymptoten gilt:
→
0
x x x
a⋅e e a a⋅e
lim f a(x) = lim = lim ⋅ = a lim f
x x a a(x) = lim = 0
x→+∞ x→+∞ x x x
x
a+ e →+∞ e x
+ 1
→−∞ →−∞ a+
e
e
Aufgabe 5:
+
Für jedes t ∈ R ist eine Funktion f t gegeben durch f (x) =
x
e
; x ∈ R /{ lnt}.
Untersuche das Schaubild
→0
K t von f t auf Asymptoten.
Lösung:
Für die Bestimmung der Asymptoten gilt:
lim
t
x→+∞
f (x) =
lim
x→+∞
x
e
=
x
e − t
lim
x→+∞
e
e
x
x
1
⋅
1−
t
x
e
→0
= 1
t
e
x
− t
lim
x→−∞
f (x) =
t
lim
x→−∞
→0
→
0
x
e
= 0
x
e
− t
→0
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