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Aufgabe 3: 2 2 + x − 4t Für jedes t ∈ R ist durch ft (x) = mit x ∈D 2 2 f t eine Funktion f t gegeben. Ihr Schaubild x − t sei K. t Bestimme den umfassendsten Definitionsbereich D f t von der Funktion f t . Untersuche K t auf Asymptoten. Lösung: Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs: Nennernullstellen müssen aus R entfernt werden. x 2 − t 2 = 0 ⇒ x 1,2 = ± t ⇒ D f t = R / { ± t} Diese Nennernullstellen sind nicht gleichzeitig auch Zählernullstellen und sie treten jeweils einfach auf, darum sind an diesen Stellen Pole mit Vorzeichenwechsel. Asymptoten: Der Zählergrad ist gleich dem Nennergrad: y = 1 ist waagrechte Asymptote. Aufgabe 4: x + a ⋅ e Für jedes a ∈ R ist durch fa (x) = ; x ∈ R eine Funktion f a gegeben. Ihr Schaubild sei K a . Bestimme die Asymptoten. a + e x Lösung: Für die Bestimmung der Asymptoten gilt: → 0 x x x a⋅e e a a⋅e lim f a(x) = lim = lim ⋅ = a lim f x x a a(x) = lim = 0 x→+∞ x→+∞ x x x x a+ e →+∞ e x + 1 →−∞ →−∞ a+ e e Aufgabe 5: + Für jedes t ∈ R ist eine Funktion f t gegeben durch f (x) = x e ; x ∈ R /{ lnt}. Untersuche das Schaubild →0 K t von f t auf Asymptoten. Lösung: Für die Bestimmung der Asymptoten gilt: lim t x→+∞ f (x) = lim x→+∞ x e = x e − t lim x→+∞ e e x x 1 ⋅ 1− t x e →0 = 1 t e x − t lim x→−∞ f (x) = t lim x→−∞ →0 → 0 x e = 0 x e − t →0 © 2004 Jürgen Gilg · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor 2 © j. gilg 04 gilligan
Aufgabe 6 Für jedes + t ∈ R ist eine Funktion f t gegeben durch Untersuche das Schaubild K t von f t auf Asymptoten. 2 1 −tx ft (x) = t (x + )e ; x ∈ R . t Lösung: Für die Bestimmung der Asymptoten gilt: 2 + 1 −tx = = 2 + 1 −tx lim ft (x) lim t (x )e 0 lim ft (x) lim t (x )e → −∞ x→+∞ x→+∞ t x→−∞ x→−∞ t = > 0 →0 > 0 →+∞ →+∞ →−∞ © 2004 Jürgen Gilg · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor 3 © j. gilg 04 gilligan
Seite 1: Aufgabe 1: Es sei f (x) t 3 = + mit

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