Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer
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<strong>Materialien</strong> <strong><strong>zu</strong>m</strong> <strong>Modellversuch</strong>:<br />
<strong>Vorschläge</strong> <strong>und</strong> <strong>Anregungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>einer</strong><br />
veränderten Aufgabenkultur<br />
(16) Zum Themengebiet<br />
Exponential- <strong>und</strong><br />
Logarithmusfunktionen<br />
(erstellt in Zusammenarbeit mit der<br />
Albert-Schweitzer-Schule in Kassel)<br />
Vorschlag Nr. 16.1: Das Bevölkerungsgesetz von Thomas R. Malthus.............3<br />
Das auf den englischen Philosophen Malthus <strong>zu</strong>rückgehende Modell wird nachvollzogen <strong>und</strong> die<br />
Übertragbarkeit auf die aktuelle Bevölkerungsentwicklung diskutiert<br />
Vorschlag Nr. 16.2: Aufgabensammlung – Exponentielle Prozesse..................5<br />
Sammlung verschiedener Aufgaben <strong>zu</strong> exponentiellen Prozessen<br />
Vorschlag Nr. 16.3: Das Superballexperiment..................................................9<br />
Die Entwicklung der Sprunghöhen eines Balles ermöglicht einen einfachen <strong>und</strong><br />
handlungsbezogenen Einstieg in das Thema exponentielle Prozesse<br />
Vorschlag Nr. 16.4: Bevölkerungswachstum in unterschiedlichen Ländern ..10<br />
Die Bevölkerungszahlen verschiedener Länder werden auf den „Wachstumsfaktor“ untersucht<br />
<strong>und</strong> dessen Gültigkeit für Prognosen diskutiert<br />
Vorschlag Nr. 16.5: Internetadressen <strong>zu</strong> Exponentialfunktionen...................11<br />
Verschiedene Internetadressen <strong><strong>zu</strong>m</strong> Thema Exponentialfunktion<br />
Vorschlag Nr. 16.6: Ein Federexperiment ......................................................12<br />
Die Länge <strong>einer</strong> Feder nach Anhängen verschiedener Gewichtstücke ermöglicht eine<br />
Untersuchung <strong>zu</strong> exponentiellen Prozessen<br />
Vorschlag Nr. 16.7: Erdbevölkerung ..............................................................13<br />
Verschiedene Aufgaben <strong><strong>zu</strong>m</strong> Thema Erdbevölkerung<br />
Vorschlag Nr. 16.8: Elimination von pharmazeutischen Wirkstoffen –<br />
Dosierung von Medikamenten........................................................................14<br />
Ein Aus<strong>zu</strong>g aus einem medizinischen Fachbuch zeigt die Bedeutung der Halbwertzeit <strong>und</strong><br />
ermöglicht interessante Variationen<br />
Vorschlag Nr. 16.9: Alkoholkontrolle .............................................................16<br />
Am Beispiel des Alkoholabbaus im menschlichen Körper werden das lineare <strong>und</strong> das<br />
exponentielle Modell gegenübergestellt <strong>und</strong> verglichen<br />
Vorschlag Nr. 16.10: Logarithmengesetze ......................................................17<br />
Gruppenpuzzle <strong>zu</strong>r Logarithmenrechnung, das Gesetze, Funktionsgraphen, Anwendungen <strong>und</strong><br />
Umkehrfunktion verbindet
Vorschlag Nr. 16.11: Wann verdoppelt sich das Geld?...................................22<br />
Die Faustformel <strong>zu</strong>r Berechnung der Verdopplungszeit wird vorgestellt <strong>und</strong> untersucht<br />
Vorschlag Nr. 16.12: Das Gesetz des Zinses....................................................23<br />
Eine Zeitungsanzeige <strong><strong>zu</strong>m</strong> „frühen Sparen“ soll überprüft werden<br />
Vorschlag Nr. 16.13: Schuldentilgung.............................................................24<br />
Zwei verschiedene Modelle <strong>zu</strong>r Schuldentilgung werden untersucht<br />
Vorschlag Nr. 16.14: Hypothekenzinsen.........................................................25<br />
Zu <strong>einer</strong> Anzeige aus <strong>einer</strong> Kasseler Tageszeitung werden verschiedene Tilgungspläne<br />
entworfen<br />
Vorschlag Nr. 16.15: Geometrische Figuren...................................................27<br />
Vorgestellt wird eine Folge geometrischer Figuren. Handelt es sich um exponentielles<br />
Wachstum?<br />
Vorschlag Nr. 16.16: Deutung der Koeffizienten der Exponentialfunktion....28<br />
Anhand verschiedener Graphen <strong>zu</strong> Exponentialfunktionen soll die Bedeutung der Koeffizienten<br />
erarbeitet werden<br />
Vorschlag Nr. 16.17: Taschengeld...................................................................29<br />
Zwei verschiedene Arten der Taschengeld-Zahlung ermöglichen den Vergleich von linearem <strong>und</strong><br />
exponentiellem Wachstum<br />
Vorschlag Nr. 16.18: Zerfall radioaktiver Stoffe ............................................30<br />
Verschiedene Aufgaben <strong><strong>zu</strong>m</strong> Zerfall radioaktiver Stoffe<br />
Vorschlag Nr. 16.19: Eigenschaften der Exponentialfunktion........................31<br />
Auf einem übersichtlichen Arbeitsblatt sollen einige Eigenschaften der Exponentialfunktion<br />
ergänzt werden<br />
Vorschlag Nr. 16.20: Eigenschaften der Logarithmusfunktion ......................32<br />
Auf einem übersichtlichen Arbeitsblatt sollen einige Eigenschaften der Logarithmusfunktion<br />
ergänzt werden<br />
Vorschlag Nr. 16.21: Flucht aus Heidelberg ...................................................33<br />
Übungen <strong>zu</strong> Logarithmen, die eine Überprüfung durch einen Lösungssatz ermöglichen<br />
Vorschlag Nr. 16.22: Graph <strong>und</strong> Termveränderungen...................................34<br />
Es wird untersucht, welchen Einfluss die Veränderung eines Terms auf den Verlauf des Graphen<br />
hat<br />
Vorschlag Nr. 16.23: Funktionsgleichungen bestimmen.................................36<br />
Zu gegebenen Graphen soll die Funktionsgleichung bestimmt werden<br />
Vorschlag Nr. 16.24: Mathe-Quiz selbstgemacht............................................37<br />
Das Mathe-Quiz gibt eine methodische Anregung <strong>zu</strong>r Wiederholung wichtiger Inhalte.<br />
Vorgestellt werden Schülerfragen <strong><strong>zu</strong>m</strong> Thema Logarithmus<br />
Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-<strong>Modellversuch</strong>sprogramms "Steigerung<br />
der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts", das vom<br />
B<strong>und</strong> <strong>und</strong> den Ländern gefördert wird.<br />
2
Vorschlag 16.1: Das Bevölkerungsgesetz von Thomas R. Malthus (1766-1834)<br />
Im Jahre 1798 veröffentlichte der englische Philosoph Thomas<br />
R. Malthus sein „Essay on the Principles of Population“. Er<br />
vermutete, dass die Nahrungsmittelerzeugung dem rasanten<br />
Bevölkerungswachstum im Zuge der industriellen Revolution<br />
nicht würde folgen können, <strong>und</strong> prognostizierte permanente<br />
Hungersnöte, die wir heute in Entwicklungsländern z.T.<br />
beobachten können. Zur Begründung s<strong>einer</strong> Thesen<br />
entwickelte er einfache Modelle für das Wachstum von<br />
Populationen: die Bevölkerung wachse exponentiell, die <strong>zu</strong>r<br />
Verfügung stehenden Nahrungsmittel jedoch nur linear.<br />
Mit s<strong>einer</strong> „Wachstumsfunktion“ N = N 0 1,0302 t gelang es<br />
Malthus, das Bevölkerungswachstum in den USA für die erste Hälfte des 19. Jahrh<strong>und</strong>erts gut <strong>zu</strong><br />
beschreiben:<br />
Jahr 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860<br />
N (in Mio.) N 0 =3,9 5,3 7,2 9,6 12,9 17,1 23,2 31,4<br />
a.) Vergleiche die Angaben aus Volkszählungen mit den „theoretischen“ Werten der<br />
Wachstumsfunktion.<br />
b.) Aus späteren Volkszählungen sind folgende Anzahlen bekannt:<br />
Jahr 1880 1900 1930 1970<br />
N (in Mio.) 50,2 76,0 123,2 203,2<br />
Überprüfe, ob die Wachstumsfunktion noch sinnvoll ist. Begründe!<br />
c.) Betrachtet wird eine Bevölkerung, die <strong>zu</strong> Beginn eines bestimmten Jahres aus 1 Million<br />
Personen besteht <strong>und</strong> jährlich um 3 % wächst. Zum gleichen Zeitpunkt wären<br />
Nahrungsmittel für 2 Millionen Personen verfügbar, wobei die Produktion der<br />
Nahrungsmittel für jährlich 100000 Personen gesteigert werden könnte. Untersuche diese<br />
Entwicklung (mithilfe <strong>einer</strong> Tabellenkalkulation). In welchem Jahr übersteigt die Anzahl der<br />
Personen die <strong>zu</strong>r Verfügung stehenden Mittel?<br />
Quelle: Abakus 10, hrsg. von J. Engelhardt u.a., Schöningh Verlag Paderborn 1995, S. 57<br />
3
Das Bevölkerungsgesetz von Thomas R. Malthus (1766-1834): <strong>Anregungen</strong><br />
für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziel:<br />
• Modellbildung für Wachstumsprozesse<br />
• Historischer Kontext<br />
(Mögliche) Lösungen:<br />
• a) 3,9 5,3 7,1 9,5 12,8 17,3 23,2 31,3<br />
• b) 56,8 102,9 251,2 825,9<br />
Gründe für die schlechte Passung: Weltkriege <strong>und</strong> Rezessionen führen <strong>zu</strong> einem veränderten<br />
Fortpflan<strong>zu</strong>ngsverhalten<br />
• c)<br />
t<br />
f ( t)<br />
= 1 . 000.<br />
000⋅1,<br />
03 <strong>und</strong> g ( t)<br />
= 100 . 000t<br />
+ 2.<br />
000.<br />
000<br />
t 0 1 2 3 4 5 ... 75 76 77 78<br />
f(t) in Mio 1 1,03 1,06 1,09 1,13 1,16 9,2 9,5 9,7 10,0<br />
g(t) in Mio 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 9,5 9,6 9,7 9,8<br />
Tabellarische Darstellung ist auch im Sinne <strong>einer</strong> systematischen Einschachtelung möglich.<br />
t<br />
t<br />
Ansatzweise Termumformung: 1 . 000.<br />
000⋅103<br />
, = 2.<br />
000.<br />
000 + 100.<br />
000t<br />
⇔ 103 , − 01 , t = 2<br />
Hier ist der Tippaufwand geringer als oben <strong>und</strong> die Lösung schneller erreichbar: 76 < t < 77.<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• Partner - bzw. Gruppenarbeit<br />
• Projektarbeit: Leben <strong>und</strong> Werk von Th.R. Malthus; Internetrecherche<br />
• Fächerübergreifender Unterricht (Sozialk<strong>und</strong>e, Biologie)<br />
• Computergestützter Unterricht<br />
4
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
Vorschlag 16.2: Aufgabensammlung - Exponentielle Prozesse<br />
Am Eröffnungstag eines Streichelzoos befanden sich 93 Meerschweinchen in einem<br />
Gehege. Ein Jahr später waren es bereits 115 Meerschweinchen.<br />
a.) Wie viele Meerschweinchen werden es am Tag des 10-jährigen Jubiläums sein,<br />
wenn man annimmt, dass der Bestand linear wächst?<br />
b.) Wie viele Meerschweinchen werden es an diesem Tag sein, wenn man ein<br />
exponentielles Wachstum annimmt?<br />
c.) Welches „Modell“ ist sinnvoller, d.h. lässt sich die Vermehrung der<br />
Meerschweinchen eher mit dem linearen oder dem exponentiellen Modell erklären?<br />
Um die Funktion der Bauchspeicheldrüse <strong>zu</strong> testen, wird ein bestimmter Farbstoff in sie<br />
eingespritzt <strong>und</strong> dessen Ausscheiden gemessen. Eine ges<strong>und</strong>e Bauchspeicheldrüse<br />
scheidet pro Minute 4% des jeweils noch vorhandenen Farbstoffs aus.<br />
Bei <strong>einer</strong> Untersuchung wird einem Patienten 0,2 Gramm des Farbstoffes injiziert. Nach<br />
30 Minuten sind noch 0,09 Gramm des Farbstoffes in s<strong>einer</strong> Bauchspeicheldrüse<br />
vorhanden.<br />
Funktioniert seine Bauchspeicheldrüse normal?<br />
Ein Ball fällt aus 2m Höhe auf eine feste Unterlage <strong>und</strong><br />
springt nach jedem Aufprall jeweils auf 80% der Höhe<br />
<strong>zu</strong>rück, aus welcher er gefallen ist.<br />
Stelle den Funktionsterm auf, der angibt, welche Höhe<br />
der Ball nach dem n-ten Aufprall erreicht. Wie hoch<br />
springt der Ball nach dem 5. Aufprall?<br />
Ein Bakterienstamm kann durch Erhit<strong>zu</strong>ng vernichtet<br />
werden. Die Abnahme der Individuen folgt<br />
näherungsweise dem Gesetz N(t) = N(0) ⋅ 0,8 t .<br />
Wie viele Bakterien lagen <strong>zu</strong> Beginn der Beobachtung<br />
vor, wenn es nach 2 St<strong>und</strong>en noch 960 sind?<br />
Wann ist der Bakterienstamm abgestorben (d.h.<br />
weniger als ein Bakterium vorhanden)?<br />
Wann wird bei Annahme gleich bleibender<br />
Wachstumsrate<br />
• die Bevölkerung von Afrika die von Asien<br />
<strong>und</strong> Ozeanien übertroffen haben?<br />
Asien <strong>und</strong><br />
• die Bevölkerung von Lateinamerika die<br />
von Asien <strong>und</strong> Ozeanien übertroffen<br />
haben?<br />
Ozeanien<br />
• Stelle das Bevölkerungswachstum graphisch dar.<br />
Bevölkerung<br />
1991<br />
Afrika 631.000.000 2,9%<br />
3.073.000.000 1,9%<br />
Jährliche<br />
Wachstumsrate<br />
Lateinamerika 497.000.000 2,7%<br />
5
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
In einem Forschungslabor wird ein neues Medikament gegen eine Infektionskrankheit<br />
entwickelt. Da<strong>zu</strong> wird unter anderem das Wachstum <strong>einer</strong><br />
bestimmten Bakterienart experimentell untersucht. Das<br />
dargestellte Messprotokoll gibt die Anzahl N der Bakterien in<br />
Abhängigkeit von der Zeit t an.<br />
t in min 30 40 50 60 70 80 90<br />
N in 100 17 24 34 48 68 96 136<br />
a.) Wie viele Bakterien kann man nach 2h, 3h, 4h <strong>und</strong> 5h<br />
erwarten, wenn man die gleiche Verdopplungszeit annimmt? Stelle den Sachverhalt<br />
in einem Koordinatensystem dar.<br />
b.) Auch vor Beginn der Beobachtung verdoppelte sich die Anzahl der Bakterien jeweils<br />
in der gleichen Zeit. Wie viele Bakterien befanden sich <strong>zu</strong> Versuchsbeginn (t = 0) in<br />
der Glasschale? Ermittle die Anzahl der Bakterien 10 min, 30 min <strong>und</strong> 1h vor<br />
Versuchsbeginn.<br />
Abbau von Koffein im Blut<br />
Eistee kann einen Koffeingehalt von 50 Milligramm pro 0,33 l Dose<br />
haben. Bei einem Jugendlichen setzt die Wirkung des Koffeins nach<br />
ca. 1 St<strong>und</strong>e ein. Der Koffeingehalt im Blut nimmt dann exponentiell<br />
mit <strong>einer</strong> Halbwertszeit von 3 St<strong>und</strong>en ab. Eine Büchse Eistee enthält<br />
50 mg Koffein.<br />
Wann sind nur noch 0,01 mg Koffein im Blut vorhanden, wenn der<br />
Abbau ca. 1 St<strong>und</strong>e nach dem Verzehr beginnt?<br />
Aus Unachtsamkeit wird einem Patienten die 2,5-fache Menge eines Medikamentes<br />
gespritzt. Er soll daher so lange unter medizinischer Kontrolle bleiben, bis sich im<br />
Körper nur noch die ursprünglich vorgesehene Dosis von 2 ml befindet. Es wird davon<br />
ausgegangen, dass pro St<strong>und</strong>e etwa 4% des im Körper befindlichen Medikaments<br />
abgebaut <strong>und</strong> ausgeschieden werden.<br />
• Nach wie vielen St<strong>und</strong>en ist im Körper des Patienten nur noch die Normaldosis –<br />
2 ml – enthalten?<br />
• Veranschauliche den Abnahmeprozess in einem Graphen.<br />
• Bestimme die „biologische Halbwertzeit“ des Medikamentes sowohl am Graphen<br />
als auch rechnerisch.<br />
Es gibt verschiedene Schlafmittel auf dem Markt, die <strong>zu</strong> <strong>einer</strong><br />
besseren nächtlichen Schlafeinleitung führen sollen. Ihre<br />
Wirkung sollte jedoch spätestens am nächsten Morgen<br />
weitgehend abgebaut sein. Die Messung ergab, dass von 2<br />
mg des Wirkstoffes Triazolam nach 3 St<strong>und</strong>en 1,18 mg noch<br />
nicht abgebaut sind.<br />
Was ist von diesem Schlafmittel <strong>zu</strong> halten?<br />
6
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
Anwendungen der Exponentialfunktion (2)<br />
1990 betrug die Einwohnerzahl <strong>einer</strong> Großstadt ca. 200000; ein Jahr später waren es<br />
2000 weniger.<br />
a) Gib unterschiedliche Funktionsgleichungen an, mit deren Hilfe sich der<br />
Abnahmeprozess beschreiben lässt.<br />
b) Wie lautet die Prognose für die Entwicklung der Einwohnerzahl in den Jahren 2000<br />
<strong>und</strong> 2010 in den unterschiedlichen Vorhersagemodellen?<br />
c) In welchem Zeitraum hätte sich die Bevölkerungszahl bei den unterschiedlichen<br />
Vorhersagemodellen halbiert?<br />
Eine einzelne Krebszelle wird <strong>einer</strong> Maus injiziert. Am Tag darauf sind durch Zellteilung<br />
bereits 5 Zellen vorhanden, wiederum einen Tag später bereits 25 Zellen.<br />
a) Bestimme den Funktionsterm der <strong>zu</strong>gehörigen Exponentialfunktion, die die Menge<br />
vorhandener Krebszellen in Abhängigkeit von der jeweiligen Zeitspanne (gemessen<br />
in Tagen) beschreibt.<br />
b) Ein hochwirksames Gegenmittel steht <strong>zu</strong>r Verfügung. Wann muss es spätestens<br />
eingesetzt werden, um die Maus am Leben <strong>zu</strong> erhalten? Hinweis: Man nimmt an,<br />
dass 1 Mio. Krebszellen tödlich sind. Berechne den Zeitpunkt für den Einsatz des<br />
Gegenmittels auf 2 Dezimalen genau.<br />
c) Das eben erwähnte Gegenmittel tötet 91 % aller Krebszellen. Angenommen, das<br />
Mittel wurde gespritzt, als die Anzahl der Krebszellen 900000 betrug. Wann muss<br />
erneut gespritzt werden? Beachte den Hinweis <strong>zu</strong> Teil b). Berechne den Zeitpunkt<br />
auf 1 Dezimale genau.<br />
In einem zylindrischen Gefäß wird der Zerfall von Bierschaum untersucht. Die Höhe der<br />
Schaumsäule verringert sich alle 15 Sek<strong>und</strong>en um 9%.<br />
a) Um wie viel Prozent verringert sich die Hohe der Schaumsäule<br />
in 1 Minute?<br />
b) Zu Beobachtungsbeginn beträgt die Schaumhöhe 10 cm.<br />
Bestimme den Funktionsterm der <strong>zu</strong>gehörigen Exponentialfunktion,<br />
die die Schaumhöhe (gemessen in cm) in<br />
Abhängigkeit von der jeweiligen Zeitspanne (gemessen in<br />
Minuten !) beschreibt. R<strong>und</strong>e dabei auf 4 Dezimalen.<br />
c) Zeichne den Graphen aus Teil b) im Bereich [0;8].<br />
d) Man spricht von "sehr guter Bierschaumhaltbarkeit", wenn die<br />
Halbwertszeit des Schaumzerfalls mehr als 2 Minuten beträgt. Beschreibe, wie man<br />
am Graphen (!) überprüfen kann, ob im vorliegenden Fall sehr gute Bierschaumhaltbarkeit<br />
vorliegt. Liegt sie vor?<br />
Jedermann weiß, dass der Wertverlust eines Neuwagens im ersten Jahr am größten ist<br />
<strong>und</strong> in den Folgejahren <strong>zu</strong>nehmend geringer wird.<br />
a) Der Autohandel geht (bei einem bestimmten Kfz-Typ <strong>und</strong> <strong>einer</strong> durchschnittlichen<br />
Fahrleistung) davon aus, dass der jährliche Wertverlust 15 % des letztjährigen Werts<br />
beträgt. Bestimme die Funktionsgleichung, die den jeweils noch vorhandenen<br />
Restwert (gemessen in DM) eines 34000 DM teuren Neuwagens in Abhängigkeit<br />
von der jeweiligen Zeitspanne (gemessen in Jahren) beschreibt.<br />
b) Wie viel DM ist das in Teil a) beschriebene Auto nach 10 Jahren noch wert? R<strong>und</strong>e<br />
das Ergebnis auf volle DM.<br />
c) Nach wie vielen Jahren ist das in Teil a) beschriebene Auto noch die Hälfte seines<br />
Neupreises wert? R<strong>und</strong>e das Ergebnis auf 1 Dezimale.<br />
d) Ein Händler kalkuliert nach der Faustregel, dass sich der Wert eines Autos in 3<br />
Jahren halbiert. Von welcher prozentualen jährlichen Wertminderung geht er aus?<br />
e) Nach wie vielen Jahren hätte ein 40000 DM teures Auto nach der Faustregel aus<br />
Teil d) nur noch Schrottwert (= 700 DM)? R<strong>und</strong>e auf eine Dezimale.<br />
7
Quellen: Elemente 11; Abakus 10; Mathematik 11 Hessen; Mathematik 12.1 Gr<strong>und</strong>kurs Hessen<br />
Aufgabensammlung - Exponentielle Prozesse: <strong>Anregungen</strong> für den<br />
Unterrichtseinsatz<br />
Ziel:<br />
• Aufstellen von Wachstums- <strong>und</strong> Zerfallsfunktionen<br />
• Bedeutung der Wachstums- <strong>und</strong> Zerfallsfaktors<br />
Variationen der Aufgabe:<br />
• vor allem in den Lösungswegen: graphisch / tabellarisch / rechnerisch via Terme<br />
(Mögliche) Lösungen:<br />
• (1): a) 313; b) 777<br />
• (2): Nein, da nur noch 0,06 g vorhanden sein dürfen.<br />
• (3): 0,66m<br />
• (4): 1500; 33h<br />
• (5): ≈ 162 Jahre; ≈ 232 Jahre (etwas länger <strong><strong>zu</strong>m</strong> „Übertreffen“)<br />
• (6): a) 384 / 3072 / 24576 / 196608 b) 6 / 4,25 / 2,125 / 0,75<br />
• (7): Zwischen 36 <strong>und</strong> 37 h nach Zerfallsbeginn (37 bzw. 38 h nach Einnahme ≈ 37,86)<br />
• (8): Lösung: 23 h; 17h<br />
• (9): Nach ca. 13 h ist die Konzentration auf ca. 10% abgesunken. N( t)<br />
= N(0)<br />
⋅ 0, 84 ;<br />
3 1, 18<br />
a = ⇔ a = 0,84<br />
2<br />
Wenn „weitgehend abgebaut“ als Restmenge 10% angesehen wird, sind ca. 13,09 h richtig.<br />
Konsequenz: Vom Mittel ist ab<strong>zu</strong>raten, da es <strong>zu</strong> lange wirkt. Was aber, wenn jemand mit<br />
größeren Prozentzahlen operiert? Ein schönes Beispiel für offeneres Herangehen, da die<br />
Vorausset<strong>zu</strong>ngen <strong><strong>zu</strong>m</strong> Lösen individuell variieren können <strong>und</strong> damit auch die<br />
Einschät<strong>zu</strong>ngen.<br />
t<br />
8
Vorschlag 16.3: Das Superballexperiment<br />
Ein Experiment<br />
Man lässt einen Superball (Flummi) aus 2 m Höhe senkrecht nach unten fallen. Er prallt<br />
auf den Boden <strong>und</strong> steigt ein erstes Mal nach oben, wobei er eine Sprunghöhe erreicht,<br />
die knapp unter 2 m liegt. Er beginnt erneut <strong>zu</strong> fallen, prallt ein zweites Mal auf <strong>und</strong><br />
steigt ein zweites Mal nach oben usw. Die Sprunghöhe wird von Mal <strong>zu</strong> Mal kl<strong>einer</strong>. Mit<br />
einem senkrecht gehaltenen Zollstock lässt sie sich relativ gut messen.<br />
• Überprüfe in einem Versuch, ob ein exponentieller Prozess vorliegt.<br />
Mathematik 11 Hessen, hrsg. von A. Bigalke, N. Köhler, Cornelsen Berlin, 2001, S. 96<br />
Das Superballexperiment: <strong>Anregungen</strong> für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziel:<br />
• Experimentelle Überprüfung <strong>und</strong> Mathematisierung eines exponentiellen Prozesses<br />
Variationen der Aufgabe:<br />
• Welche Sprunghöhe erreicht der Ball nach dem 1. Aufprall, wenn die anfängliche Höhe 1,7 m<br />
beträgt? Überprüfe dein rechnerisches Ergebnis experimentell.<br />
• Konkreter Hinweis auf die Datensammlung: „Sammle die Daten <strong>zu</strong>r Sprunghöhe des Balls in<br />
<strong>einer</strong> Tabelle, die jeder Sprungnummer die <strong>zu</strong>gehörige Gipfelhöhe <strong>zu</strong>ordnet.“<br />
Bemerkung:<br />
• Dieser Prozess wird genau genommen durch eine geometrische Folge beschrieben bei der<br />
Zwischenwerte keinen Sinn machen. Diese Prozesse sollten von geometrischen Folgen als<br />
diskrete Beschreibungen reeller Exponentialfunktionen unterschieden werden.<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• Das Experiment verursacht nur geringen Aufwand <strong>und</strong> funktioniert sehr gut. Zeitbedarf ca.<br />
15 Minuten<br />
• Partnerarbeit<br />
9
Vorschlag 16.4 Bevölkerungswachstum in unterschiedlichen Ländern<br />
Die Tabelle enthält die Bevölkerungszahlen<br />
(in Tausend) von 1990 <strong>und</strong><br />
1999 für verschiedene Länder <strong>und</strong><br />
eine Prognose für das Jahr 2020.<br />
Nimm an, dass zwischen 1990 <strong>und</strong><br />
1999 exponentielles Wachstum<br />
<strong>zu</strong>gr<strong>und</strong>e liegt.<br />
a.) Welches Land hat den größten (den kleinsten) prozentualen Zuwachs<br />
pro Jahr?<br />
b.) Überprüfe, ob bei der Prognose für das Jahr 2020 in den Ländern das<br />
exponentielle Wachstum beibehalten wurde.<br />
Jahr 1990 1999 2020<br />
Brasilien 149042 161191 197950<br />
Deutschland 79479 81378 73523<br />
Indien 846191 931044 1328565<br />
Mexiko 84486 91290 137717<br />
USA 249975 260479 329337<br />
Quelle: Elemente der Mathematik 11, Einführung in die Analysis, hrsg. von H. Griesel u.a., Hannover 2001,<br />
Schroedel Verlag, S. 84<br />
Bevölkerungswachstum in unterschiedlichen Ländern: <strong>Anregungen</strong> für den<br />
Unterrichtseinsatz<br />
Ziel:<br />
• Aufstellen von Wachstumsfunktionen<br />
• Problematisierung der Bedeutung des Wachstumsfaktors<br />
Variationen der Aufgabe:<br />
• Vergleichsdaten anderer Länder vorlegen oder recherchieren lassen<br />
• Graphische Darstellungen im Vergleich (WIN Funktion)<br />
(Mögliche) Lösungen:<br />
• (a) Brasilien 0,87%; Deutschland 0,26%; Indien 1,07%; Mexiko 0,86%; USA 0,46%<br />
• (b) Deutschland nein, sogar Abnahme; Brasilien 193530 (ja); Indien 1163610 (?); Mexiko<br />
109373 (?); USA 286737 (?). Tabellenwerte liegen über dem errechneten Wert; das Wachstum<br />
wird sich also beschleunigen, aber ob exponentiell, das lässt sich eigentlich nicht beantworten.<br />
Prozentualer Zuwachs pro Jahr ab 1999: Indien 1,71%; Mexiko 1,71%; USA 1,98%.<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• Partnerarbeit<br />
• „Hausarbeit“ am PC Expertenvo rtrag<br />
• Binnendifferenzierung<br />
10
Vorschlag 16.5: Internetadressen <strong>zu</strong> Exponentialfunktionen<br />
1. http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/mathei/exfunktionen/index.html<br />
2. http://www.<strong><strong>zu</strong>m</strong>.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/logarith.htm<br />
3. http://home.t-online.de/home/rudolf/Link/mathe.htm<br />
4. http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/Pot-<br />
Log/15210%20Aufg%20Wachstum.pdf<br />
5. http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/Pot-Log/15213%20LOG-<br />
Wachs-KA.pdf<br />
6. http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/Startseite-Hauptframe.htm<br />
7. http://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/cgi-<br />
bin/abselect.exe/formget?verz=anwd_olg/anwd_olg.tex&ueber=Wachstums-<br />
%20<strong>und</strong>%20Abklingvorgänge&pfad=/smart/j10/explog/<br />
11
Vorschlag 16.6: Ein Federexperiment<br />
Eine (feste) Schraubfeder wird durch Anhängen von<br />
Gewichtstücken von je 1 N ausgedehnt. Nach dem<br />
Anhängen jedes Gewichtstücks wird die Gesamtlänge der<br />
Feder gemessen. Führe das Experiment für 10<br />
Gewichtstücke durch.<br />
• Stelle die gesammelten Daten in einem<br />
Koordinatensystem graphisch dar.<br />
• Liegt eine exponentielle Zunahme vor?<br />
Quelle: Mathematik 11 Hessen, hrsg. von A. Bigalke, N. Köhler, Cornelsen Berlin, 2001, S. 97<br />
Ein Federexperiment: <strong>Anregungen</strong> für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziel:<br />
• Experimentelle Überprüfung <strong>und</strong> Mathematisierung eines linearen Prozesses <strong>zu</strong>r Abgren<strong>zu</strong>ng<br />
Variationen der Aufgabe:<br />
• Wiederhole das gesamte Experiment mit einem dünnen Gummiband anstelle der Feder<br />
• Zusammenstellung verschiedener Schülerexperimente <strong>zu</strong> exponentiellen <strong>und</strong> linearen<br />
Prozessen (vgl. Superball, Bierschaum, Papierfalten, usw.)<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• Man sollte eine Feder mit <strong>einer</strong> Federkonstanten von ca. 1 cm/N wählen<br />
• Partner- bzw. Gruppenarbeit<br />
12
Vorschlag 16.7: Erdbevölkerung<br />
Es gibt optimistische Schät<strong>zu</strong>ngen, die davon ausgehen, dass die Erde mehr als 100 Milliarden<br />
Menschen ernähren kann. Die meisten Schät<strong>zu</strong>ngen gehen aber davon aus, dass die Obergrenze<br />
zwischen 8 <strong>und</strong> 12 Milliarden liegt.<br />
1999 betrug die Erdbevölkerung 6,0 Mrd. Bewohner. Die beiden Tabellen geben einige<br />
Wachstumsraten aus dem Jahre 1998 an.<br />
• Berechne die Verdopplungszeit der Bevölkerung von Gaza.<br />
• Wann hat sich die Bevölkerung Lettlands halbiert? Wann ist die Bevölkerungszahl<br />
Lettlands auf 10% gegenüber dem heutigen Stand geschrumpft?<br />
• Berechne die Bevölkerungszahl von Deutschland für die Jahre 2010, 2030 <strong>und</strong> 2050.<br />
Quelle: Analysis. Gr<strong>und</strong>kurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag Stuttgart, Düsseldorf, Leipzig 2000, S.217<br />
Erdbevölkerung: <strong>Anregungen</strong> für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziel:<br />
• Bedeutung des Wachstumsfaktors<br />
Variationen der Aufgabe:<br />
• Mit WIN Funktion o.a. Programmen lassen sich die Wachstumsprozesse graphisch<br />
veranschaulichen<br />
• Vergleich der Tabellenwerte mit den Graphen (s.u.)<br />
(Mögliche) Lösungen:<br />
• Gaza: ≈ 15,41 Jahre; Lettland: ≈ 98,67 Jahre bzw. ≈ 327,79 Jahre; BRD:<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• erweiterte Hausaufgabe „Expertenvortrag“<br />
• Partner- bzw. Gruppenarbeit<br />
N ⋅ 0<br />
0, 999<br />
t<br />
13
Vorschlag 16.8: Elimination von pharmazeutischen Wirkstoffen /<br />
Dosierung von Medikamenten<br />
aus: Allgemeine <strong>und</strong> spezielle Pharmakologie<br />
<strong>und</strong> Toxikologie, hrsg. von W. Forth, D.<br />
Henschler, W. Rummel, Wissenschaftsverlag<br />
Mannheim/Wien/Zürich 5 1987, S. 61, 65f.<br />
14
Elimination von pharmazeutischen Wirkstoffen / Dosierung von<br />
Medikamenten: <strong>Anregungen</strong> für den Unterrichtseinsatz<br />
Aufgabe:<br />
• Acetylsalicylsäure hat eine Halbwertzeit von 4 St<strong>und</strong>en. Gib eine begründete<br />
Dosierungsanleitung an, wenn mindestens 30% des Wirkstoffs vorhanden sein müssen<br />
Ziel:<br />
• Anwendungsbeispiel aus der Medizin <strong>und</strong> Pharmazie<br />
• Bedeutung des Wachstumsfaktors<br />
• Vernet<strong>zu</strong>ng verschiedener Disziplinen <strong>und</strong> Anwendungsfragen<br />
Variationen der Aufgabe:<br />
• Überlegungen <strong><strong>zu</strong>m</strong> Dosierungsintervall:<br />
Bestätige durch Rechnung oder graphisch folgende Zusammenfassung aus dem o.g.<br />
Fachbuch: „Für die Erhaltung <strong>einer</strong> gleichmäßig hohen Konzentration im Blut ist die Wahl<br />
des richtigen Dosierungsintervalls ausschlaggebend. Dieses richtet sich nach der Halbwertzeit<br />
des Pharmakons. Bei kurzer Halbwertzeit muss das Dosierungsintervall klein sein, um eine<br />
gleichmäßige therapeutische Konzentration <strong>zu</strong> erreichen. Bei langer Halbwertzeit muss<br />
dagegen das Dosierungsintervall groß genug sein, um die Gefahr <strong>einer</strong> Kumulation <strong>zu</strong><br />
vermeiden.“<br />
• Die Verabreichung von Medikamenten möchte eine gleichmäßig hohe Konzentration im Blut<br />
erhalten. Ermittle sinnvolle Dosierungsintervalle für Medikamente mit kurzer <strong>und</strong> langer<br />
Halbwertzeit (2 St<strong>und</strong>en/ 4 St<strong>und</strong>en/ 8 St<strong>und</strong>en). Lässt sich eine allgemeine Aussage treffen?<br />
• Es wird angenommen, dass 1 St<strong>und</strong>e nach der Verabreichung des Pharmakons<br />
Acetylsalicylsäure die volle Wirkung erreicht ist <strong>und</strong> mit diesem Zeitpunkt die Konzentration<br />
exponentiell abnimmt.<br />
(Mögliche) Lösungen:<br />
t<br />
4<br />
• (1) 0, 3 > ( 2 ) 1 ⇔ t > 6 , 95. Also: Erste Einnahme nach 7 St<strong>und</strong>en. Dann 130% des<br />
Wirkstoffs. Zweite <strong>und</strong> spätere Einnahmen nach 8½ St<strong>und</strong>en.<br />
• Halbwertzeit 2 (8) St<strong>und</strong>en: Erste Einnahme nach 3½ (14) St<strong>und</strong>en. Zweite <strong>und</strong> spätere<br />
Einnahmen nach 4 (17) St<strong>und</strong>en<br />
• Je größer die Halbwertzeit, desto größer das Dosierungsintervall bzw. Verdopplung der<br />
Halbwertzeit bedeutet Verdopplung der Dosierungsintervalle.<br />
• Wenn die volle Wirkung erst nach 1 h einsetzt, muss die Erste Einnahme erst nach 8 h, die<br />
zweite <strong>und</strong> alle späteren erst nach 9½ h erfolgen.<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• Partner- bzw. Gruppenarbeit<br />
• Projektarbeit<br />
• fachübergreifender Unterricht (Biologie/Chemie)<br />
• Besuch in <strong>einer</strong> Apotheke: Expertenbefragung<br />
• erweiterte Hausaufgabe Vortrag der Ergebnisse<br />
• vereinfachte Version: siehe Aufgabe Schlafmittel (Vorschlag 16.2)<br />
15
Vorschlag 16.9: Alkoholkontrolle<br />
Bei <strong>einer</strong> Verkehrskontrolle wird bei einem<br />
Verkehrsteilnehmer ein Alkoholgehalt im Blut<br />
von 0,8‰ festgestellt. Nach <strong>einer</strong> St<strong>und</strong>e<br />
ergibt die Blutanalyse einen Alkoholgehalt<br />
von 0,6‰. Es ist eine Funktion gesucht, die<br />
den Abbau des Alkohols im Blut beschreibt.<br />
a) Berechne den Blutalkoholgehalt unter<br />
der Annahme, dass der Körper in jeder<br />
St<strong>und</strong>e gleich viel Alkohol abbaut.<br />
b) Gehe davon aus, dass die stündliche<br />
Abbaumenge proportional <strong><strong>zu</strong>m</strong> vorhandenen<br />
Bestand ist.<br />
c) Vergleiche die beiden Ansätze <strong>und</strong><br />
stelle die Entwicklung graphisch dar.<br />
d) Welche Schlüsse kann man auf den Alkoholgehalt im Blut des<br />
Verkehrsteilnehmers eine St<strong>und</strong>e (zwei St<strong>und</strong>en) vor der Kontrolle<br />
ziehen?<br />
Alkoholkontrolle: <strong>Anregungen</strong> für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziel:<br />
• Gegenüberstellung von linearen <strong>und</strong> exponentiellen Abnahmeprozessen<br />
(Mögliche) Lösungen:<br />
• Wir setzen t = 0 als den Zeitpunkt der Kontrolle <strong>und</strong> gehen davon aus, dass in der<br />
Abbauphase kein Alkohol konsumiert wurde.<br />
a) g ( t)<br />
= −0 , 2t<br />
+ 0,<br />
8<br />
b) Nach Vorausset<strong>zu</strong>ng gilt: f ( t)<br />
− f ( t + 1 ) = c ⋅ f ( t)<br />
. Also gilt auch: f ( t + 1 ) = ( 1−<br />
c)<br />
⋅ f ( t)<br />
t<br />
⎛ 3 ⎞<br />
<strong>und</strong> allgem<strong>einer</strong> f ( t)<br />
= ( 1−<br />
c) ⋅ f ( 0)<br />
. Demnach hier: f ( t)<br />
= ⎜ ⎟ ⋅0,<br />
8<br />
⎝ 4 ⎠<br />
c) Nach allem was wir über den Abbau von Blutalkohol wissen, ist ein lineares Modell<br />
angemessener. Entscheidungskriterium hier in erster Linie Fachkenntnisse.<br />
d) Vor <strong>einer</strong> St<strong>und</strong>e: Pegel ca. 1 Promille in beiden Modellen.<br />
Vor zwei St<strong>und</strong>en: Lineares Modell: Pegel 1,2.<br />
Exponentielles Modell: Pegel ca. 1,4.<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• Partner- bzw. Gruppenarbeit<br />
t<br />
16
Vorschlag 16.10: Logarithmengesetze<br />
Der folgende Vorschlag wurde der Zeitschrift mathematik lehren Heft 104 entnommen,<br />
die Kopiervorlage 6 stammt aus: Lambacher-Schweizer 10, Klett, S. 63.<br />
Es werden vielfältige Aspekte des Logarithmus abgedeckt.<br />
Dieser Vorschlag eignet sich als „Lernen an Stationen“, um die Eigenschaften des<br />
Logarithmus in der Klasse <strong>zu</strong> erarbeiten.<br />
Er kann aber auch als „Gruppenpuzzle“ bzw. nach der „Expertenmethode“<br />
eingesetzt werden. Dabei arbeiten die Schülerinnen <strong>und</strong> Schüler in der 1. R<strong>und</strong>e als<br />
Experten an <strong>einer</strong> Aufgabenstellung (siehe die folgenden Kopiervorlagen 1 - 4 <strong>und</strong><br />
6; <strong>zu</strong> jeder Aufgabe gibt es ein Hilfe- <strong>und</strong> ein Zusatzaufgabenkärtchen).<br />
In der 2. R<strong>und</strong>e werden dann „Puzzlegruppen“ gebildet. Die Gruppen werden neu<br />
gemischt <strong>und</strong> zwar so, dass in jeder neuen Gruppe mindestens ein Experte <strong>zu</strong><br />
jedem Thema vertreten ist.<br />
Für die 2. R<strong>und</strong>e bieten sich zwei Varianten an.<br />
1) Durcharbeiten aller Gesetze mit anschließender Präsentation auf Plakaten, die in<br />
der Klasse aufgehängt werden;<br />
2) Durcharbeiten eines Übungsblattes, in dem alle Aspekte der „Experten“<br />
aufgegriffen werden.<br />
Um die Arbeitsblätter auch optisch voneinander unterscheiden <strong>zu</strong> können, bieten<br />
sich hier verschiedenfarbige Kopien an.<br />
Ziel:<br />
• Selbständige Erarbeitung von inner- <strong>und</strong> außermathematischen Anwendungen des<br />
Logarithmus<br />
Variationen der Aufgabe:<br />
• Kopiervorlage 6 kann als eigenständiger Beweis behandelt werden. Dann könnte der<br />
Erklärungstext weggelassen werden <strong>und</strong> die Aufgabe lauten: „Welche Umformungen sind<br />
durchgeführt worden?“.<br />
(Mögliche) Lösungen:<br />
• Lösung <strong>zu</strong> „Ötzi“:<br />
x<br />
1<br />
= N a ; Einsetzen ergibt:<br />
2<br />
N0<br />
0<br />
x<br />
1 5730<br />
2<br />
a<br />
= , d.h. a = 5730 1 2<br />
≈ 0, 999879.<br />
Also: 0,57⋅ N0 = N0<br />
⋅0,<br />
999879 <strong>und</strong> damit 0 ,57 = 0,999879 <strong>und</strong> schließlich<br />
log 0,57<br />
x =<br />
≈ 4647<br />
log 0,999879<br />
(Diskussion über sinnvolle Genauigkeit: Angenommen, das Messgerät hätte 56,9% bzw.<br />
57,1% angezeigt...! Toleranz im Alter notwendig: 4600 – 4700 Jahre<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• Partner- bzw. Gruppenarbeit<br />
x<br />
17
KOPIERVORLAGE 6<br />
Umformung von Logarithmen von der Basis a <strong>zu</strong>r Basis 10:<br />
Es gilt: log ( x)<br />
( x)<br />
lg<br />
a = (x > 0 ; a > 0; a ≠ 1)<br />
lg( a)<br />
Beweis:<br />
Setze: 1) y = log ( x)<br />
Dies wird gleichwertig umgeformt: 2) a y = x<br />
Auf beiden Seiten wird der Logarithmus <strong>zu</strong>r<br />
Basis 10 gebildet:<br />
lg a y =<br />
a<br />
3) ( ) lg ( x)<br />
Mit dem Logarithmengesetz wird umgeformt: 4) y lg ( a) = lg( x)<br />
mit 1) folgt: 5) log ( x)<br />
⋅ also:<br />
a =<br />
( x)<br />
lg<br />
lg( a)<br />
( x)<br />
lg<br />
y =<br />
lg( a)<br />
Aufgabe:<br />
Die obige Umformung gilt nicht nur für die Basen a <strong>und</strong> 10, sondern auch für beliebige Basen.<br />
Zeige, dass gilt: log ( x)<br />
b =<br />
log<br />
b<br />
( x)<br />
1<br />
log ( b )<br />
b<br />
2<br />
2<br />
1<br />
Hilfe<br />
• Überlegt, was in der Gleichung für a<br />
<strong>und</strong> 10 eingesetzt wurde.<br />
• Die linke Seite der Gleichung wird y<br />
gesetzt.<br />
• Wie kann umgeformt werden?<br />
• Zu welcher Basis muss hier<br />
logarithmiert werden?<br />
Zusatzaufgabe<br />
Löse die „Exponentialgleichungen“:<br />
x<br />
a) 4 = 12<br />
x+<br />
c) 6 1 = 108<br />
x<br />
b) 2 ⋅3<br />
= 1, 4<br />
x−<br />
d) 7 1 = 3⋅5<br />
x<br />
21
Vorschlag 16.11: Wann verdoppelt sich das Geld?<br />
Geldanlage:<br />
Wann verdoppelt sich das Geld?<br />
Das ist leicht aus<strong>zu</strong>rechnen, wie die Gesellschaft für Bankpublizität mitteilt.<br />
Dafür müssen Sie lediglich die Zahl 70 durch die Rendite der Kapitalanlage<br />
teilen. Das bedeutet beispielsweise, bei einem Zinssatz von sieben Prozent<br />
sind aus angelegten 20.000 Euro in 10 Jahren bereits 40.000 Euro geworden<br />
(70:7=10).<br />
Beträgt die Rendite fünf Prozent, dauert es entsprechend länger, nämlich 14<br />
Jahre, bis sich das Kapital verdoppelt.<br />
Vorausset<strong>zu</strong>ng, damit die Rechnung aufgeht, ist allerdings, dass Sie die<br />
fälligen Zinsen <strong>zu</strong> gleichen Bedingungen regelmäßig wieder anlegen <strong>und</strong> so<br />
den Zinseszins-Effekt nutzen.<br />
Was meinst du da<strong>zu</strong>?<br />
Quelle: Herget/Scholz: Die etwas andere Aufgabe aus der Zeitung<br />
Wann verdoppelt sich das Geld?: <strong>Anregungen</strong> für den Unterrichtseinsatz<br />
Variationen der Aufgabe:<br />
• Unterschied graphisch darstellen<br />
(Mögliche) Lösungen:<br />
Diese „Faustformel“ liefert in dem „üblichen“ Zinsbereich sehr brauchbare Werte: Die<br />
d<br />
p ⎞<br />
Verdopplungszeit berechnet man mit: 2K<br />
K ⎜<br />
⎛ +<br />
0 =<br />
0<br />
1 ⎟ umgeformt ergibt sich:<br />
⎝ 100 ⎠<br />
p<br />
0,<br />
3<br />
lg 2 = d ⋅lg( 1+<br />
), d.h. d ≈ .<br />
100<br />
lg<br />
p<br />
1+<br />
( )<br />
100<br />
p<br />
Hintergr<strong>und</strong>-Info für Lehrer: Es gilt: 2 = d ⋅ln( 1+<br />
)<br />
ln , wegen ( 1+ x) ≈ x<br />
100<br />
ln (für kleine x )<br />
p<br />
folgt: d ⋅ ≈ ln 2 ≈ 0,<br />
6931 ≈ 0,<br />
7 , d.h. d ⋅ p ≈ 70.<br />
100<br />
Für sehr kleine p wäre also eigentlich 69 noch besser als 70 – aber 70 lässt sich natürlich leichter<br />
merken, <strong>und</strong> für die „üblichen“ Zinssätze liefert die 70 tatsächlich bessere Werte.<br />
p% 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15<br />
t exakt 17,7 14,2 11,9 10,2 9,0 8,0 7,3 6,6 6,1 5,7 5,0<br />
t Artikel 17,5 14 11,7 10 8,75 7,8 7 6,4 5,8 5,4 4,7<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• Die Aufgabe eignet sich besonders dann, wenn die Verdopplungszeit mit Hilfe von<br />
Logarithmen berechnet werden kann.<br />
• Partner- bzw. Gruppenarbeit<br />
22
Vorschlag 16.12: Das Gesetz des Zinses<br />
Stimmt diese Anzeige?<br />
Quelle: Herget/Scholz: Die etwas andere Aufgabe aus der Zeitung<br />
Das Gesetz des Zinses: <strong>Anregungen</strong> für den Unterrichtseinsatz<br />
Variationen der Aufgabe:<br />
n<br />
n q −1<br />
• Verwende die Sparkassenformel: Kn = K0<br />
⋅ q + R ⋅ dabei ist: K0<br />
das<br />
q −1<br />
p<br />
Anfangskapital; q = 1+<br />
<strong>und</strong> R ist die<br />
100<br />
Jahresrate, die das 1. Mal am Ende des 1.<br />
Jahres gezahlt wird.<br />
(Mögliche) Lösungen:<br />
Die neben stehende Tabelle gibt das Kapital an<br />
bei Zinssätzen von 4%, 6%, 8% <strong>und</strong> 10% nach<br />
zwei bis 30 Jahren (alle 2 Jahre). Das<br />
Anfangskapital sei dabei 1000 Euro, die<br />
jährliche Rate jeweils 500 Euro.<br />
Dass bei langen Zeiten (ab ca. 20 Jahren) der<br />
Zinssatz der entscheidende Faktor ist, wird auch<br />
aus unterschiedlichen Graphen sichtbar.<br />
Fazit: Anzeige stimmt prinzipiell, aber<br />
Überschrift muss diskutiert werden.<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• Partner- bzw. Gruppenarbeit<br />
4% 6% 8% 10%<br />
2 2101.60 2153.60 2206.40 2260.00<br />
4 3293.09 3449.79 3613.55 3784.60<br />
6 4581.81 4906.18 5254.84 5629.37<br />
8 5975.68 6542.58 7169.24 7861.53<br />
10 7483.30 8381.25 9402.21 10562.46<br />
12 9113.93 10447.17 12006.73 13830.57<br />
14 10877.63 12768.44 15044.65 17784.99<br />
16 12785.25 15376.62 18588.08 22569.84<br />
18 14848.52 18307.17 22721.14 28359.50<br />
20 17080.16 21599.93 27541.94 35365.00<br />
22 19493.90 25299.68 33164.92 43841.65<br />
24 22104.61 29456.72 39723.56 54098.40<br />
26 24928.34 34127.57 47373.56 66509.06<br />
28 27982.50 39375.74 56296.52 81525.96<br />
30 31285.87 45272.59 66704.26 99696.41<br />
23
Vorschlag 16.13: Schuldentilgung<br />
Herr Huber möchte sich von s<strong>einer</strong> Bank 10000 Euro leihen.<br />
Vorschlag A: Das Geld wird mit 8% verzinst, er muss nach 10 Jahren die<br />
Schulden mit Zinseszinsen <strong>zu</strong>rückzahlen.<br />
Vorschlag B: Das Geld wird mit 7% verzinst. Er muss aber jedes Jahr<br />
einen Abtrag von 1000 Euro vornehmen.<br />
Für welchen Rückzahlungsmodus würdest du dich entscheiden?<br />
Schuldentilgung: <strong>Anregungen</strong> für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziel:<br />
• Übung <strong><strong>zu</strong>m</strong> Thema: fallende Exponentialfunktion;<br />
• auch als Einstiegsaufgabe geeignet<br />
(Mögliche) Lösungen:<br />
10<br />
⎛ 8 ⎞<br />
• Plan A: K 10 = 10000 ⋅ ⎜1<br />
+ ⎟<br />
⎝ 100 ⎠<br />
= 21589, 25<br />
Plan B:<br />
Jahre Abtrag Restschuld Man erkennt, dass <strong>zu</strong>nächst fast nur Zinsen <strong>und</strong> kaum Tilgung<br />
1 1000 9700,00 geleistet werden.<br />
2 1000 9379,00 Es müssen nur 10000 Euro + 5855,07 Euro = 15855,07 Euro<br />
3 1000 9035,53 gezahlt werden.<br />
4 1000 8668,02<br />
5 1000 8274,78<br />
6 1000 7854,01<br />
7 1000 7403,79<br />
8 1000 6922,06<br />
9 1000 6406,60<br />
10 1000 5855,07<br />
Jahre Einzahlung Kapital 4% Kapital 5%<br />
1 0 0,00 0<br />
2 1000 1040,00 1050,00<br />
3 1000 2121,60 2152,50<br />
4 1000 3246,46 3310,13<br />
5 1000 4416,32 4525,63<br />
6 1000 5632,98 5801,91<br />
7 1000 6898,29 7142,01<br />
8 1000 8214,23 8549,11<br />
9 1000 9582,80 10026,56<br />
10 1000 11006,11 11577,89<br />
Zusatz: Was passiert, wenn man die<br />
1000 Euro jährlich spart, die man bei<br />
Plan A <strong>zu</strong>nächst nicht <strong>zu</strong> zahlen hat?<br />
In den 10 Jahren könnte Herr Huber nur<br />
ca. 1500 Euro an Zinsen erwirtschaften.<br />
Plan A bleibt trotzdem teurer.<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• Partner- bzw. Gruppenarbeit<br />
24
Vorschlag 16.14: Hypothekenzinsen<br />
In der HNA vom 5.9.01 ist die<br />
neben stehende Übersicht<br />
über die aktuellen Hypothekenzinsen<br />
erschienen. Diese<br />
Zinsen muss man beim Bau<br />
oder Kauf <strong>einer</strong> Immobilie an<br />
die Bank zahlen, wenn man<br />
sich das nötige Bargeld<br />
leihen muss.<br />
Man zahlt dann jedes Jahr<br />
einen konstanten Betrag<br />
<strong>zu</strong>rück, der sich aus dem<br />
Tilgungsteil (in der Regel 1%<br />
der Hypothek) <strong>und</strong> dem<br />
Zinsanteil des ersten Jahres<br />
(siehe Übersicht) <strong>zu</strong>sammensetzt.<br />
Es werden 100 000 Euro<br />
benötigt.<br />
Wie könnte ein Tilgungsplan<br />
aussehen?<br />
Ist die Abnahme der Schuld<br />
exponentiell?<br />
25
Hypothekenzinsen: <strong>Anregungen</strong> für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziel:<br />
•<br />
Variationen der Aufgabe:<br />
• Durch die vielen Hypothekenangebote <strong>und</strong> die offene Aufgabenstellung sind vielfältige<br />
Auseinanderset<strong>zu</strong>ngen mit der Aufgabe möglich, z.B.:<br />
(1) Zur Vereinfachung wird angenommen, dass die Tilgung nicht monatlich, sondern jährlich<br />
erfolgt. Der teuerste Anbieter ist die Raiffeisenbank Baunatal mit 5,9% Zinsen, der<br />
billigste Anbieter ist die American Express Bank mit 4,91% Zinsen.<br />
(Mögliche) Lösungen:<br />
• (1) Für die ersten 7 Jahre ergeben sich die unten stehenden Werte:<br />
Jahr Zinsen (5,9 %) Zinsen + Tilgung Tilgung neue Schuld<br />
1 5900 6900,00 1000 99000<br />
2 5841 6900,00 1059,00 97941,00<br />
3 5778,52 6900,00 1121,48 96819,52<br />
4 5712,35 6900,00 1187,65 95631,87<br />
5 5642,28 6900,00 1257,72 94374,15<br />
6 5568,07 6900,00 1331,93 93042,23<br />
7 5489,49 6900,00 1410,51 91631,72<br />
Jahr Zinsen (4,91 %) Zinsen + Tilgung Tilgung neue Schuld<br />
1 4910 5910,00 1000 99000<br />
2 4860,90 5910,00 1049,10 97950,90<br />
3 4809,39 5910,00 1100,61 96850,29<br />
4 4755,35 5910,00 1154,65 95695,64<br />
5 4698,66 5910,00 1211,34 94484,29<br />
6 4639,18 5910,00 1270,82 93213,47<br />
7 4576,78 5910,00 1333,22 91880,26<br />
Auch aus nur wenig Werten werden die durch verschiedene Zinssätze hervorgerufenen<br />
Unterschiede deutlich..<br />
Es handelt sich nicht um eine exponentielle Abnahme, sondern um eine Überlagerung eines<br />
exponentiellen Abnahmeprozesses mit einem linearen Anteil (Nachweis z.B. über veränderte<br />
Prozentsätze der Restschuldhöhe.<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• längerfristige Gruppenarbeit<br />
• <strong>zu</strong>sätzlicher schriftlicher Leistungsnachweis (das Arbeiten mit Exponentialfunktionen muss<br />
geübt sein)<br />
26
Vorschlag 16.15: Geometrische Figuren<br />
Die Abbildung zeigt den Beginn <strong>einer</strong><br />
Folge geometrischer Figuren. Das<br />
Konstruktionsprinzip ist bei jedem Schritt<br />
dasselbe:<br />
Jede Strecke wird gedrittelt. Über dem<br />
mittleren Stück wird ein gleichseitiges<br />
Dreieck aufgesetzt.<br />
Offensichtlich wird die Länge des<br />
Strecken<strong>zu</strong>ges von Schritt <strong>zu</strong> Schritt<br />
größer.<br />
Berechne die Länge des Strecken<strong>zu</strong>ges<br />
nach 4, 40, 400 <strong>und</strong> 100000 Schritten.<br />
Handelt es sich um exponentielles Wachstum?<br />
Quelle: Lambacher-Schweizer 10, S. 73.<br />
Geometrische Figuren: <strong>Anregungen</strong> für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziel:<br />
• Anwendung der Exponentialfunktion<br />
• Übung<br />
Variationen der Aufgabe:<br />
• Konstruktionsprinzip nicht vorgeben<br />
(Mögliche) Lösungen:<br />
• Zur Vereinfachung: Ausgangsstrecke 1 LE.<br />
4<br />
1. Schritt:<br />
3 =1+ 1 3<br />
2. Schritt: 4⋅ 4 9 = 16 9 =1+ 1 3 + 4 9<br />
3. Schritt: 16 ⋅ 4 27 = 64<br />
27 =1+ 1 3 + 4 9 + 16<br />
27<br />
4. Schritt: 64⋅ 4 81 = 256<br />
81 =1+ 1 3 + 4 9 + 16<br />
27 + 64<br />
81<br />
n n<br />
⎛ 4⎞<br />
4 i−1<br />
n. Schritt: ⎜ ⎟ =1+<br />
⎝ 3⎠<br />
∑<br />
3 i<br />
i=1<br />
Es handelt sich um exponentielles Wachstum mit dem Wachstumsfaktor 34<br />
.<br />
n<br />
Länge<br />
4 3,16049<br />
40 99437,3<br />
400 9,45317⋅10 49<br />
100.000<br />
1249<br />
7,<br />
47585⋅10<br />
27
Vorschlag 16.16: Deutungen der Koeffizienten der Exponentialfunktion<br />
Einige Graphen der Funktion f mit<br />
f(x) = c⋅a x sind in der neben<br />
stehenden Abbildung dargestellt:<br />
a) Was fällt auf?<br />
b) Beweise die Vermutung!<br />
c) Jetzt sei a = 2.<br />
Wie ändert sich der Graph,<br />
wenn c verändert wird?<br />
Quelle: Bürger, H.; Malle, G.: Exponentialfunktionen. In: mathematik lehren (1996), H. 75, S. 55-60.<br />
Deutungen der Koeffizienten der Exponentialfunktion: <strong>Anregungen</strong> für den<br />
Unterrichtseinsatz<br />
Ziel:<br />
• Deutung der Koeffizienten der allg. Exponentialfunktion<br />
• Erarbeitung der Eigenschaften der Exponentialfunktion<br />
(Mögliche) Lösungen:<br />
• (a) Es lassen sich eine Vielzahl von Eigenschaften angeben, u.a.:<br />
− Spiegelt man den Graph von<br />
x<br />
a an der y-Achse, so erhält man den Graph von<br />
− Für a > 1 steigt der Graph<br />
− Für 0 < a < 1, fällt der Graph<br />
− 1 x =1 ; der Graph ist eine Parallele <strong>zu</strong>r x-Achse<br />
− der Graph schneidet die x-Achse in (0/1) bzw. in (0/c)<br />
− die x-Achse ist Asymptote für Graphen mit a ≠1<br />
(c) f(x) = c ⋅ 2<br />
x<br />
: c > 1 Streckung; 0 < c < 1 Stauchung; < −1<br />
Spiegelung an der x-Achse; 1 < < 0<br />
⎛ 1<br />
a ⎟ ⎞<br />
⎜<br />
⎝ ⎠<br />
c Streckung <strong>und</strong><br />
− c Stauchung <strong>und</strong> Spiegelung an der x-Achse<br />
x<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• Partner- bzw. Gruppenarbeit<br />
28
Vorschlag 16.17: Taschengeld<br />
Peter startet in wenigen Tagen <strong>zu</strong> <strong>einer</strong> zweiwöchigen Klassenfahrt.<br />
Seine Eltern möchten ihm nach folgendem Plan Taschengeld mitgeben:<br />
Für den ersten Tag 3 Euro, dann täglich 2 Euro mehr als am Tag<br />
vorher. Peter überlegt kurz <strong>und</strong> macht einen „bescheidenen“<br />
Gegenvorschlag: Für den ersten Tag 3 Cent, dann täglich den doppelten Betrag des Vortages.<br />
Taschengeld: <strong>Anregungen</strong> für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziel:<br />
— Einführungsaufgabe <strong>zu</strong> Exponentialfunktionen<br />
— Vergleich von linearem <strong>und</strong> exponentiellem Wachstum<br />
Variationen der Aufgabe:<br />
— Welcher Vorschlag ist günstiger?<br />
— Findet möglichst viele Informationen über die vorliegenden Funktionen!<br />
Lösungsmöglichkeiten:<br />
— Tabellen aufstellen <strong>und</strong> Werte vergleichen<br />
n<br />
— Summen berechnen <strong>und</strong> evtl. Summenformel s ( a + a )<br />
n<br />
= für arithmetische Reihen<br />
erarbeiten<br />
— Graphen zeichnen (Wiederholung: lineare Funktionen)<br />
— Funktionsgleichung bestimmen<br />
— Eigenschaften von linearem <strong>und</strong> exponentiellem Wachstum erkennen<br />
Lösungen:<br />
• Vorschlag 1: Summe: 224 €; allg. f (x) 2x + 1<br />
= für ∈[ 1;14]<br />
x ∈[ 0;13]<br />
Vorschlag 2: Summe: 49 149 Cent = 491,49 €; allg.<br />
x<br />
f ( x)<br />
= 3 ⋅ 2 für x ∈[ 0;13]<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• Partner- bzw. Gruppenarbeit<br />
2<br />
1<br />
n<br />
x bzw. f ( x)<br />
= 2 x + 3 für<br />
f (x)<br />
x−1<br />
= 3 ⋅ 2 für ∈[ 1;14]<br />
x bzw.<br />
29
Vorschlag 16.18: Zerfall radioaktiver Stoffe<br />
Beim radioaktiven Zerfall wandelt sich ein Stoff unter Aussendung von radioaktiver Strahlung<br />
in einen anderen Stoff um. Der ursprüngliche Stoff wird also weniger.<br />
Die Anzahl der ursprünglich vorhandenen Atome des Stoffes bezeichnet man mit N (0)<br />
, die nach<br />
<strong>einer</strong> Zeit t noch vorhandene Anzahl mit N (t)<br />
. Dann lautet die Funktionsgleichung für den<br />
t<br />
Zerfall radioaktiver Stoffe N(t)<br />
= N(0) ⋅ a . Dabei ist a die Zerfallskonstante, die für jeden<br />
Stoff einen spezifischen Wert hat.<br />
Meistens wird beim radioaktiven Zerfall die sog. Halbwertszeit angegeben. Das ist die Zeit, in<br />
der die Hälfte der <strong>zu</strong> Beginn vorhandenen Atome zerfallen ist.<br />
1. Für radioaktives Jod gilt a = 0, 917.<br />
a) Wie viel mg sind von 3 g dieses Jods nach 45 Tagen noch vorhanden?<br />
b) Bestimme die Halbwertszeit von radioaktivem Jod!<br />
2. Das Element Radon zerfällt mit <strong>einer</strong> Halbwertszeit von 3,8 Tagen.<br />
Nach welcher Zeit ist noch ein Achtel der Ausgangsmenge Radon vorhanden?<br />
3. Thorium zerfällt nach dem Gesetz N(t)<br />
<strong>und</strong> 15 mg radioaktives Jod.<br />
Nach welcher Zeit sind von beiden Stoffen noch gleiche Mengen vorhanden?<br />
t<br />
= N(0) ⋅ 0,963 . Ein Stoff enthält 10 mg Thorium<br />
Zerfall radioaktiver Stoffe: <strong>Anregungen</strong> für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziel:<br />
• Bearbeitung von Zerfallsprozessen (Basis der Exponentialfunktion < 1)<br />
Variationen der Aufgabe:<br />
— Aufgreifen des Comics<br />
(Mögliche) Lösungen:<br />
1. a) 60,8 mg 2. 11,4 Tage<br />
b) 8 Tage 3. 8,3 Tage<br />
Hinweis:<br />
Die Ergebnisse der Aufgaben 1b, 2 <strong>und</strong> 3 können durch gezieltes Probieren gef<strong>und</strong>en werden.<br />
Eine genaue Berechnung ist erst nach der Behandlung der Logarithmengesetze möglich.<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• Partner- bzw. Gruppenarbeit<br />
30
Vorschlag 16.19: Eigenschaften der Exponentialfunktion<br />
Exponentialfunktionen sind Funktionen der Form<br />
x<br />
f(x) = b mit x ∈ ---------- <strong>und</strong> b ∈ ---------- ,<br />
d.h. für den Definitionsbereich gilt: D = ----------.<br />
Œ Die Exponentialfunktion hat nur ------------------------------ Funktionswerte y , d.h. für den<br />
Wertebereich gilt : W = ----------.<br />
Die Graphen der Exponentialfunktionen<br />
Punkte P 1 ( ----- ; ----- ) <strong>und</strong> P 2 ( ----- ; ----- ).<br />
f(x)<br />
x<br />
= b mit b 0<br />
> gehen alle durch die<br />
Ž Die Graphen der Exponentialfunktionen f(x)<br />
• mit -------------------- sind streng monoton ------------------------------ ;<br />
• mit -------------------- sind streng monoton fallend;<br />
=<br />
b<br />
x<br />
x<br />
Der Graph der Exponentialfunktion f(x) = b mit b > 0 hat die ----- - Achse als<br />
Asymptote, das bedeutet ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ .<br />
Die charakteristische Eigenschaft von<br />
exponentiellem Wachstum ist: --------------------<br />
----------------------------------------------------------------------<br />
----------------------------------------------------------------------<br />
----------------------------------------------------------------------<br />
----------------------------------------------------------------------<br />
‘ Beispiele für exponentielle Prozesse in der<br />
Realität sind: ------------------------------------------------<br />
----------------------------------------------------------------------<br />
----------------------------------------------------------------------<br />
----------------------------------------------------------------------<br />
----------------------------------------------------------------------<br />
’ Was ich sonst noch wichtig finde:<br />
---------------------------------------------------------------------<br />
---------------------------------------------------------------------<br />
x<br />
Zeichne hier die Graphen von f( x) = 2 <strong>und</strong><br />
⎛ 1<br />
g(<br />
x)<br />
=<br />
3<br />
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
x<br />
31
Vorschlag 16.21: Flucht aus Heidelberg<br />
Im Jahr 1855 flüchtete in<br />
Heidelberg ein Student<br />
nach einem Duell mit <strong>einer</strong><br />
Legitimationskarte, die er<br />
sich von einem Kommilitonen<br />
ausgeliehen hatte. Als<br />
die Flucht über die Grenze<br />
gelungen war, warf der Student<br />
die Karte fort; sie wurde<br />
als verdächtig an das<br />
Heidelberger Universitätsgericht<br />
eingesandt. In der<br />
folgenden Untersuchung<br />
antwortete der Kommilitone,<br />
dem die Karte gehörte,<br />
mit einem Satz, der sich<br />
<strong>zu</strong>nächst unter den Studenten<br />
schnell verbreitete <strong>und</strong><br />
heute als Redewendung allgemein<br />
bekannt ist. Dieser<br />
Satz ist der Lösungsspruch<br />
des Rätsels.<br />
∴ Aufgaben:<br />
a) log 3<br />
27<br />
b) log 3<br />
x = 2 → x =<br />
c) log x<br />
49 = 2 → x =<br />
d) log 3 log 4<br />
3 −<br />
4<br />
3<br />
4<br />
e)<br />
25<br />
5<br />
( log 2 ):<br />
( log )<br />
2 5<br />
5<br />
f)<br />
1<br />
log3 5 + log3<br />
5<br />
2<br />
g) log2 4 + log2<br />
4<br />
h) log216<br />
⋅ log2<br />
4<br />
i)<br />
1<br />
6log3 3 + log3<br />
9<br />
j) 4( log2 88 − log211)<br />
k)<br />
10<br />
2<br />
log (log 2 )<br />
2 2<br />
l)<br />
1<br />
2log2 5 + log3<br />
90 + log2<br />
− log310<br />
25<br />
Lösung<br />
Zuordnung:<br />
Lösung 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Buchstabe H S E V T C N O A W I<br />
Lösung 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21<br />
Buchstabe B M Q Y L Z G P X R F<br />
Als Lösungssatz ergibt sich eine Redewendung:<br />
j) l) k) g) g) h) j) l) k) d) i) f) h) d) l)<br />
k) e) f) b) l) k) d) d) a) c) g) g) k) e) f) i) d)<br />
Quelle: Altmann, C. In: mathematik lehren (1999), H. 92, S. 60.<br />
33
Vorschlag 16.22: Graph <strong>und</strong> Termveränderungen<br />
Lass die Graphen folgender Funktionen zeichnen!<br />
Welchen Einfluss hat die Veränderung des Terms auf den Verlauf des Graphen? Formuliere<br />
Regeln!<br />
Œ<br />
f<br />
1(x)<br />
= 2<br />
f (x) −<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
f (x)<br />
=<br />
−<br />
x<br />
b<br />
= ............................................................................................<br />
f = f (x) = b<br />
x + c<br />
x<br />
1(x)<br />
3<br />
x<br />
f (x) = 3 1<br />
............................................................................................<br />
2<br />
+<br />
x<br />
f (x) = 3 2<br />
............................................................................................<br />
3<br />
−<br />
Ž<br />
f<br />
1(x)<br />
= 2<br />
f (x)<br />
x<br />
x + 3<br />
2<br />
2<br />
x − 2<br />
3(x)<br />
2<br />
f<br />
f (x)<br />
=<br />
x + d<br />
b<br />
= ............................................................................................<br />
= ............................................................................................<br />
a)<br />
f =<br />
x<br />
1(x)<br />
3<br />
1 x<br />
2(x)<br />
⋅ 3<br />
2<br />
x<br />
3(x)<br />
4 ⋅ 3<br />
f<br />
f<br />
f (x)<br />
=<br />
a<br />
⋅<br />
x<br />
b<br />
= ............................................................................................<br />
= ............................................................................................<br />
b)<br />
f<br />
1(x)<br />
= 5<br />
f (x) =<br />
x<br />
1 x<br />
2<br />
⋅ 5<br />
3<br />
c)<br />
f<br />
1(x)<br />
= 2<br />
f (x) = 3<br />
x<br />
x<br />
2<br />
⋅ 2<br />
1<br />
d) f (x = ( ) x<br />
f<br />
1<br />
)<br />
2<br />
2(x)<br />
= 3<br />
⋅<br />
1<br />
( ) x<br />
2<br />
Wie geht der Graph der Funktion<br />
x<br />
f (x) = b hervor?<br />
f (x)<br />
=<br />
a<br />
⋅<br />
b<br />
x + d<br />
+<br />
c<br />
aus dem Graphen der Funktion<br />
x + 1<br />
Beispiel: f (x) = 3 ⋅ 2 − 4<br />
34
<strong>Vorschläge</strong> 16.19 – 16.22: <strong>Anregungen</strong> für den Unterrichtseinsatz<br />
Vorschlag 16.19 bzw. 16.20: Eigenschaften der Exponential- bzw. der Logarithmusfunktion<br />
Ziel:<br />
— Selbstständiges Erarbeiten der Eigenschaften beider Funktionstypen<br />
— Ausfüllen der Lücken auf den Arbeitsblättern<br />
Eignung, (mögliche) Methoden:<br />
• Die Schüler sollten in kleinen Gruppen an einem PC sitzen <strong>und</strong> sich die Graphen<br />
verschiedener Exponential- bzw. Logarithmusfunktionen mit einem entsprechenden<br />
Programm (z. B. MatheGrafix, Winfkt, MatheAss) darstellen lassen.<br />
Vorschlag 16.21: Flucht aus Heidelberg<br />
Ziel:<br />
• Übungen <strong>zu</strong> Logarithmen<br />
Lösungen:<br />
• Lösungen der Aufgaben: 3;9;7;1;5;0;6;8;4;12;10;2<br />
• Lösungssatz: MEIN NAME IST HASE ICH WEISS VON NICHTS<br />
Vorschlag 16.22: Graph <strong>und</strong> Termveränderungen<br />
Ziel:<br />
• Wiederholendes Üben der Termveränderungen bei Spiegelungen, Verschiebungen sowie<br />
Streckungen<br />
• Vernet<strong>zu</strong>ng mit anderen Funktionstypen<br />
Methode:<br />
• Gruppenarbeit am Computer<br />
35
Vorschlag 16.23: Funktionsgleichungen bestimmen<br />
Bestimme die Funktionsgleichungen <strong>zu</strong> den abgebildeten Graphen!<br />
Funktionsgleichungen bestimmen: <strong>Anregungen</strong> für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziel:<br />
• Aus günstigen Punkten wird die Funktionsgleichung ermittelt<br />
• Umkehrung <strong><strong>zu</strong>m</strong> Zeichnen der Graphen<br />
(Mögliche) Lösungen:<br />
• Die Funktionsgleichungen werden ungeordnet vorgegeben. Welche Gleichung gehört <strong>zu</strong><br />
welchem Graphen?<br />
• Basen in den vorkommenden Funktionen vorgeben<br />
(Mögliche) Methode:<br />
Partner- oder Gruppenarbeit<br />
Lösungen:<br />
a) (x) 3<br />
x<br />
1 x + 2<br />
f = d) f (x) ( )<br />
3<br />
1<br />
b) f (x) = ( ) x<br />
e)<br />
2<br />
x<br />
c) f (x) = 2 − 3<br />
f)<br />
f (x)<br />
f (x)<br />
f (x)<br />
1 1<br />
= oder = ⋅ ( ) x<br />
=<br />
=<br />
3<br />
4<br />
⋅<br />
⋅<br />
x<br />
0,8<br />
x<br />
2<br />
9<br />
3<br />
36
Vorschlag 16.24:<br />
1. Was ist der Unterschied<br />
zwischen absolutem <strong>und</strong><br />
relativem Zuwachs?<br />
4. Erkläre den Begriff<br />
Halbwertszeit.<br />
2. Was ist der Unterschied<br />
zwischen dem Wachstumsfaktor<br />
<strong>und</strong> dem Zerfallsfaktor?<br />
5. Was bedeutet äquidistant?<br />
3. Wie wird der relative<br />
Zuwachs in der Regel<br />
angegeben?<br />
6. Was sind Logarithmen?<br />
7. Wie nennt man die Zahl<br />
y in dem Term x y ?<br />
10. Wie schreibt man kurz<br />
für log 10<br />
x ?<br />
8. Wie nennt man in dem<br />
Ausdruck log a<br />
x die<br />
Zahl x?<br />
11.<br />
x<br />
Schreibe 2 = 16 als<br />
Logarithmengleichung.<br />
9. Nenne je einen anderen<br />
Begriff für die Gr<strong>und</strong>zahl<br />
<strong>und</strong> für die Hochzahl<br />
<strong>einer</strong> Potenz.<br />
12. Gib die Formel für relativen<br />
Zuwachs an.<br />
13. Bestimme x in<br />
x = log 64.<br />
2<br />
14. Bestimme x in<br />
log 625 = x .<br />
5<br />
15. Bestimme x in log3<br />
81.<br />
16. Wie berechnet man den<br />
absoluten Zuwachs?<br />
17. Wie bildet man die<br />
Differenz beim<br />
absoluten Zuwachs?<br />
18. Was gibt die Differenz d<br />
beim absoluten Zuwachs<br />
an?<br />
19. Wie bildet man den<br />
Quotienten beim<br />
relativen Zuwachs?<br />
22. Nenne je ein Beispiel<br />
aus der Natur für<br />
relativen <strong>und</strong> absoluten<br />
Zuwachs.<br />
25. Wie wird eine Potenz<br />
potenziert?<br />
20. Was gibt der Quotient<br />
beim relativen Zuwachs<br />
an?<br />
23. Nenne die Zinseszins-<br />
Formel <strong>zu</strong>r Berechnung<br />
des Endkapitals nach n<br />
Jahren.<br />
26. Nenne drei Eigenschaften<br />
der Logarithmusfunktion.<br />
21. Welcher Zuwachs wird<br />
mit der Formel<br />
d = Wi<br />
− Wi1<br />
−<br />
ausgerechnet?<br />
24. Definiere den Wachstumsfaktor<br />
q<br />
a) bei der Zinsrechnung<br />
b) allgemein bei Wachstumsvorgängen.<br />
27. Nenne drei Eigenschaften<br />
der Exponentialfunktion.<br />
28. Der Graph welcher<br />
Funktion schneidet nie<br />
die x-Achse?<br />
29. Welchen Punkt haben<br />
die Graphen aller<br />
Exponentialfunktionen<br />
gemeinsam?<br />
30. Welchen Punkt haben<br />
die Graphen aller<br />
Logarithmusfunktionen<br />
gemeinsam?<br />
Quelle: Brüdigam, B.: Mathe-Quiz selbstgemacht. In: mathematik lehren (2001) H.106, S.55-57.<br />
37
Mathe-Quiz selbstgemacht: <strong>Anregungen</strong> für den Unterrichtseinsatz<br />
Ziel:<br />
• Wiederholung <strong>und</strong> Festigung des Lernstoffes<br />
(Mögliche) Methode:<br />
— Die Schüler stellen aus den Fragekärtchen <strong>und</strong> den (angegebenen) Antworten ein Kartenspiel<br />
her <strong>und</strong> spielen das vorgegebene Spiel.<br />
— Die Fragen werden als Quiz für die ganze Klasse oder für die in Gruppen eingeteilte Klasse<br />
gestellt <strong>und</strong> beantwortet.<br />
— Die Schüler entwerfen in Gruppenarbeit Fragen (<strong>und</strong> Antworten) <strong>zu</strong> einem bestimmten<br />
Thema (hier: Exponential- <strong>und</strong> Logarithmusfunktionen). Dabei treten vier Phasen auf.<br />
1. Phase (Entwurf)<br />
Jede Gruppe stellt 12 Fragen, schneidet die Fragekarten aus <strong>und</strong> erstellt einen Antwortbogen.<br />
Es entstehen 5 – 8 (am besten verschiedenfarbige) Spielsätze.<br />
2. Phase (Testen)<br />
Jede Gruppe spielt mit den Spielsätzen der anderen Gruppen. Die Testergebnisse bzw.<br />
Kommentare werden auf den Fragekarten oder auf den Lösungsbögen notiert.<br />
3. Phase (Auswertung / Überarbeitung)<br />
Jede Gruppe überarbeitet ihren eigenen Spielsatz.<br />
4. Phase (Endfassung)<br />
Jede Gruppe nennt drei oder vier ihrer besten Fragen. Die Klasse entscheidet, welche Fragen<br />
in das endgültige Spiel aufgenommen werden. Als Hausaufgabe stellen die Schüler das<br />
Kartenspiel her.<br />
Birgit Brüdigam hat das abgebildete Spiel von <strong>einer</strong> 10. Klasse entwickeln lassen.<br />
(Mögliche) Lösungen:<br />
1. Beim absoluten Zuwachs wird die Differenz gebildet, beim relativen Zuwachs der Quotient.<br />
2. Der Wachstumsfaktor q ist größer als 1; für den Zerfallsfaktor gilt: 0 < q < 1<br />
3. In Prozent.<br />
4. Die Halbwertszeit gibt an, in welchem Zeitraum sich bei einem Zerfallsprozess die Substanz<br />
jeweils um die Hälfte verringert.<br />
5. Äquidistant bedeutet den gleichen Abstand habend.<br />
6. Der Logarithmus a <strong>einer</strong> Gr<strong>und</strong>zahl b ist die Hochzahl k, mit der man b potenzieren muss,<br />
um a <strong>zu</strong> erhalten.<br />
7. Hochzahl oder Exponent<br />
8. Numerus<br />
9. Gr<strong>und</strong>zahl = Basis; Hochzahl = Exponent<br />
10. lg x<br />
11. log 16 = x<br />
12.<br />
r<br />
=<br />
2<br />
q<br />
13. x = 6<br />
14. x = 4<br />
15. x = 4<br />
−<br />
1<br />
=<br />
Wi<br />
+ 1<br />
Wi<br />
−<br />
1<br />
=<br />
Wi<br />
+ 1 − Wi<br />
Wi<br />
38
16. d = W i<br />
− W<br />
+ 1 i<br />
17. d = W i<br />
− W<br />
+ 1 i<br />
18. Die Differenz d gibt an, um wie viel der neue Wert gegenüber dem vorhergehenden Wert in<br />
der entsprechenden Zeiteinheit gestiegen ist.<br />
Die Differenz d gibt den (regelmäßigen) Zuwachs pro Zeiteinheit an.<br />
19.<br />
q<br />
=<br />
Wi<br />
+ 1<br />
Wi<br />
20. Der Quotient q gibt an, auf welchen Anteil des vorausgegangenen Wertes der neue Wert<br />
angestiegen (bzw. gesunken) ist.<br />
21. Der absolute Zuwachs<br />
22. a) Wachstum <strong>einer</strong> Bakterienkultur - radioaktiver Zerfall - Abbau eines Pflanzenschutzmittels<br />
- Verwesung eines abgestorbenen Organismus<br />
b) Zinsen ohne Zinseszins - Füllen bei gleichmäßiger Fließgeschwindigkeit<br />
n<br />
p<br />
23. = K ⋅ q = K ⋅ ( 1 + ) n<br />
Kn<br />
100<br />
p<br />
24. a) Zinsfaktor q = 1 + mit Zinssatz p<br />
100<br />
f ( t + h<br />
b) Wachstumsfaktor q: f ( t + h)<br />
= q ⋅ f ( t)<br />
bzw. q =<br />
f ( t)<br />
x<br />
x ⋅ y<br />
25. Indem man die beiden Hochzahlen multipliziert. ( a ) = a<br />
26. Alle Graphen gehen durch (1 / 0) - monoton steigend für a > 1 - monoton fallend für<br />
0 < a < 1 - y-Achse ist Asymptote<br />
+<br />
+<br />
27. Wertebereich ist R für alle a ∈ R - alle Graphen durch (0 / 1) - monoton steigend<br />
für a > 1<br />
28. Der Graph der Exponentialfunktion<br />
29. P(0 / 1)<br />
30. P(1 / 0)<br />
y<br />
)<br />
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