18Stochastik II.pdf - Fachbereich Mathematik

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Vorschlag 18.13: Dunkelfeldforschung Ein Kriminologe möchte in einer Befragung (Stichprobe: 1000 Personen) herausfinden, wie viel Prozent der Bundesbürger bereits einmal einen Ladendiebstahl begangen haben. Da aber auf die direkte Frage (“Haben Sie bereits einmal einen Ladendiebstahl begangen?”) vermutlich viele Befragte nicht ehrlich antworten würden, plant er folgendes Verfahren: Er legt jedem Befragten 10 gleich aussehender Kärtchen vor. Auf 4 dieser Kärtchen steht: “Ist es richtig, dass Sie bereits einmal einen Ladendiebstahl begangen haben?” Auf den 6 anderen steht: “Ist es richtig, dass Sie noch nie einen Ladendiebstahl begangen haben?” Der Befragte zieht nun eines dieser Kärtchen, ohne dass der Kriminologe dies sehen kann, und beantwortet die darauf stehende Frage wahrheitsgemäß (mit ja oder nein). a) Wie lässt sich anhand dieses Vorgehens der Anteil der Bürger schätzen, die schon einmal einen Ladendiebstahl begangen haben? b) Was ändert sich, wenn gleich viele von beiden Sorten Kärtchen vorhanden sind? Dunkelfeldforschung: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: • Vertiefung der Behandlung bedingter Wahrscheinlichkeiten • Mathematische Argumentationen Variationen der Aufgabe: • Ausweitung zu einer Befragung an der eigenen Schule (mögliche Themen: Mogeln bei Klassenarbeiten/Fremdenfeindlichkeit/Gewalt an der Schule/Drogenkonsum); Auswertung und Veröffentlichung der Ergebnisse in der Schule (siehe die folgende Seite) (Mögliche) Lösungen: • Sei A: Die gezogene Frage wird bejaht B: Es wurde Frage 1 gezogen C: Es wurde Frage 2 gezogen p: Anteil der Bürger, die schon einmal einen Ladendiebstahl begangen haben Also: P(B) = 0,4; P(C) = 0,6 sowie P(A⎪B) = p; P(A⎪C) = 1-p Mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit (oder elementar hergeleitet) folgt daher: P( A) = 0, 4 ⋅ p + 0, 6 ⋅ ( 1 − p) = 0, 6 − 0, 2 ⋅ p ⇔ p = 3 − 5 ⋅ P( A) Setzt man nun für P(A) die relative Häufigkeit h(A) der Ja-Antworten aus der Umfrage ein, kann man also den entsprechenden Anteil p schätzen. Eignung, (mögliche) Methoden: • Partnerarbeit • Gegenseitiges Vorstellen der Ergebnisse (je zwei Partnergruppen) • Präsentation der Umfrage-Ergebnisse auf Wandplakaten o.ä. 30
Dunkelfeldforschung: „Drogenkontakt bei Schülern“ Die SV einer Schule möchte untersuchen, ob Schülerinnen und Schülern der Klassenstufen 9 und 10 bereits Drogenerfahrungen haben. (Andere mögliche Untersuchungsthemen: Mogeln bei Klassenarbeiten; Ladendiebstahl; Gewalt in der Schule; Fremdenfeindlichkeit; Zahnpflege; …) Da dies sehr heikle Themen sind, ist zu befürchten, dass eine Reihe der Betroffenen nicht wahrheitsgemäß antworten wird. Dies würde aber die ganze Untersuchung verfälschen, deshalb, wendet man eine so genannte Dunkelfeldforschung an. Das Untersuchungsteam führt folgendes Verfahren durch: Man legt den Schülerinnen und Schülern zehn gleichartige Karten vor. Auf vier dieser Karten steht die Frage: „Stimmt es, dass du bereits einmal mit Drogen in Kontakt gekommen bist?“ Auf den anderen sechs Karten steht eine zweite Frage: „Stimmt es, dass du noch nie mit Drogen in Kontakt gekommen bist?“ Jede befragte Person schaut sich diese Karten an, mischt sie dann selbst, wählt verdeckt eine Karte aus und beantwortet sie mit „Ja“ oder „Nein“. Weil man nicht weiß, welche Karte gewählt wurde und damit auch nicht, welche Frage beantwortet wurde, ist aus der Antwort der einzelnen Person kein Rückschluss auf ihren Drogenkonsum möglich. Da somit für die Personen bzgl. der Frage die Anonymität gewährleistet ist, ist damit zu rechnen, dass die Fragen korrekt beantwortet werden. Dieses Verfahren muss den Befragten vorher gut erklärt werden (z.B. durch einen Artikel in der Schülerzeichnung). Auswertung: Mit den gesammelten Daten kann man nun eine Schätzung für den Anteil der Drogenkonsumenten an der Schule vornehmen. Man zeichnet ein Baumdiagramm, in dem in der ersten Stufe die Antwort angegeben wird. Da man nicht weiß, wie groß die restlichen Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm sind, trägt man dort einfach die Variablen p für die Wahrscheinlichkeit bzw. 1-p für die Gegenwahrscheinlichkeit ein. a) Begründet, warum in beiden Zweigen die gleichen Wahrscheinlichkeiten p bzw. 1-p (aber in umgekehrter Position) stehen! b) Die Untersuchung könnte z.B. folgendes ergeben: Anzahl der Befragten: g = 78 Anzahl der Antworten Ja: j = 45 Anzahl der Antworten Nein: n = 33 Da ihr wisst, dass der Anteil der Ja-Antworten 45 hier beträgt, könnt ihr p mithilfe der Pfadregel 78 45 berechnen: = 0,4 ⋅ p + 0,6 ⋅ ( 1 − p). 78 c) Führt an eurer Schule eine Untersuchung durch, wertet sie aus und veröffentlicht die Ergebnisse mit genauen Erläuterungen in eurer Schülerzeitung. Quelle: MatheNetz9 (2001), S. 87 31
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