Flächenintegral - imng

Reguläre Parametrisierung eines Flächenstücks
Eine stetig differenzierbare Parametrisierung
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x 1
y 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
R ∋ ⎝ . ⎠ ↦→ s(x) = ⎝ . ⎠
x n−1 y n
über einem regulären Bereich R beschreibt ein reguläres
(n − 1)-dimensionales Flächenstück S = s(R) ⊂ R n , wenn s im Inneren
von R injektiv ist und die Vektoren ∂ 1 s(x), . . . , ∂ n−1 s(x) für alle x ∈ ◦ R
linear unabhängig sind.
Flächenintegral 1-1

ξ
R
x
s
S
y
∂ i s
Der bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmte Einheitsvektor ξ,
orthogonal zu der durch ∂ 1 s(x), . . . , ∂ n−1 s(x) aufgespannten
Tangentialebene, wird als Flächennormale bezeichnet. Er bildet zusammen
mit den Vektoren ∂ i s(x) eine Basis von R n .
Flächenintegral 1-2

Flächenintegral
Das Integral einer stetigen Funktion f über einem regulären Flächenstück
S mit Parametrisierung
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x 1
y 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ . ⎠ ↦→ s(x) = ⎝ . ⎠ , x ∈ R ,
x n−1 y n
und Flächennormale ξ mit |ξ| = 1 ist als
∫ ∫
f dS = (f ◦ s) | det(∂ 1 s, . . . , ∂ n−1 s, ξ)| dR
S
R
definiert und unabhängig von der gewählten Parametrisierung.
Flächenintegral 2-1

Der Betrag der Determinante ist der Skalierungsfaktor der
Flächenelemente:
dS = | det(∂ 1 s, . . . , ∂ n−1 s, ξ)| dR .
Als Spezialfall erhält man für f = 1 den Flächeninhalt von S.
Flächenintegral 2-2

Der Betrag der Determinante ist der Skalierungsfaktor der
Flächenelemente:
dS = | det(∂ 1 s, . . . , ∂ n−1 s, ξ)| dR .
Als Spezialfall erhält man für f = 1 den Flächeninhalt von S.
Die Glattheitsvoraussetzungen an f und s können abgeschwächt werden,
indem man das Integral über einen geeigneten Grenzprozess definiert.
Darüber hinaus kann eine Fläche aus mehreren Flächenstücken
zusammengesetzt sein. Das Flächenintegral ist dann die Summe der
Integrale über die einzelnen Flächenstücke.
Flächenintegral 2-3

Beispiel:
Integration der Funktion
f (x, y) = √ x 2 + y 2
auf dem durch
⎛
(r, ϕ) ↦→ s(r, ϕ) = ⎝
(1 + r) cos ϕ
(1 + r) sin ϕ
ϕ
⎞
⎠ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , − 1 2 ≤ r ≤ 1 2
parametrisierten Teilstück einer Wendeltreppe S
Flächenintegral 3-1

Tangentenvektoren:
⎛
s r = ⎝
cos ϕ
sin ϕ
0
⎞
⎛
⎠ , s ϕ = ⎝
−(1 + r) sin ϕ
(1 + r) cos ϕ
1
⎞
⎠
Flächenintegral 3-2

Tangentenvektoren:
⎛
s r = ⎝
cos ϕ
sin ϕ
0
⎞
⎛
⎠ , s ϕ = ⎝
−(1 + r) sin ϕ
(1 + r) cos ϕ
1
⎞
⎠
Orthogonalität =⇒
| det(s r , s ϕ , ξ)| = |s r | |s ϕ | =
√
(1 + r) 2 + 1
Flächenintegral 3-3

Tangentenvektoren:
⎛
s r = ⎝
cos ϕ
sin ϕ
0
⎞
⎛
⎠ , s ϕ = ⎝
−(1 + r) sin ϕ
(1 + r) cos ϕ
1
⎞
⎠
Orthogonalität =⇒
| det(s r , s ϕ , ξ)| = |s r | |s ϕ | =
Einsetzen in Definition des Flächenintegrals
√
(1 + r) 2 + 1
∫
S
fdS =
∫ 2π 1
∫2
0
= 2π 3
− 1 2
√
(1 + r) (1 + r) 2 + 1 dr dϕ = 2π
[ ((1
+ r) 2 + 1 ) 3
2
] 1
2
− 1 2
= 2π 3
( (13
4
1
∫2
− 1 2
√
(1 + r) (1 + r) 2 + 1 dr
) 3 ( ) 3
)
2 5 2
−
4
Flächenintegral 3-4

Beispiel:
Flächenelement des Graphen S einer Funktion z(x, y):
√
dS = 1 + zx 2 + zy 2 dxdy
Flächenintegral 4-1

Beispiel:
Flächenelement des Graphen S einer Funktion z(x, y):
√
dS = 1 + zx 2 + zy 2 dxdy
Spezialisierung der allgemeinen Definition für die Parametrisierung
⎛ ⎞
x
(x, y) ↦→ s(x, y) = ⎝ y
z(x, y)
⎠
mit Flächennormale ξ parallel zu
⎛ ⎞ ⎛
1
⎝ 0 ⎠ ⎝
×
z x
s x
} {{ }
0
1
⎞
⎠
=
z y
s y
} {{ }
⎛
⎝
−z x
−z y
1
⎞
⎠
Flächenintegral 4-2

Beispiel:
Flächenelement des Graphen S einer Funktion z(x, y):
√
dS = 1 + zx 2 + zy 2 dxdy
Spezialisierung der allgemeinen Definition für die Parametrisierung
⎛ ⎞
x
(x, y) ↦→ s(x, y) = ⎝ y
z(x, y)
⎠
mit Flächennormale ξ parallel zu
⎛ ⎞ ⎛
1
⎝ 0 ⎠ ⎝
×
z x
s x
} {{ }
0
1
⎞
⎠
=
z y
s y
} {{ }
⎛
⎝
−z x
−z y
1
|ξ| = 1, ξ ⊥ s x , s y =⇒ | det(s x , s y , ξ)| = |s x × s y | =
⎞
⎠
√
1 + z 2 x + z 2 y
Flächenintegral 4-3

z.B.
z(x, y) = x 2 + 1 2 y 2 ⇒ dS = √ 1 + 4x 2 + y 2 dxdy
Flächenintegral 4-4

z.B.
z(x, y) = x 2 + 1 2 y 2 ⇒ dS = √ 1 + 4x 2 + y 2 dxdy
Integration von f (x, y) = xy über das über dem Rechteck [0, 1] × [0, 2]
liegende Flächenstück
∫
S
fdS =
∫ 1 ∫ 2
0
= 1 3
= 1 3
0
∫ 1
0
xy √ 1 + 4x 2 + y 2 dy dx
[
]
x(1 + 4x 2 + y 2 ) 3 2
2 dx = 1 ∫ 1
0 3
0
(
)
x(5 + 4x 2 ) 3 2 − x(1 + 4x 2 ) 3 2
[( )] 1
20 (5 + 4x 2 ) 5 1
1
2 −
20 (1 + 4x 2 ) 5 2 = 61
0
15 − 5 √
5
6
Flächenintegral 4-5