2012-01 Bruchzahlen - Harderweb.de

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Sachanalyse Zahlbereiche: Die Ganzen Zahlen Bruchrechnung Heinz-Jürgen Harder Verknüpfungen (Rechenregeln) innerhalb der Ganzen Zahlen Für die ganzen Zahlen mit der Verknüpfung „+“ gilt: 1. a,b ∈ (Z;+) ⇒ a + b ∈ (Z;+) 2. a,b,c ∈ (Z;+) ⇒ (a + b)+c = a +(b + c) 3. a ∈ (Z;+) ⇒ a +0=0+a = a 4. ∀a ∈ (Z;+) ∃a ′ ∈ (Z;+) ⇒ a + a ′ =0 Abgeschlossenheit Assoziativgesetz neutrales Element inverses Element Dies sind die Gruppenaxiome, d.h die ganzen Zahlen bilden bezüglich der Addition eine Gruppe. Da die Addition auch kommutativ ist, nennt man sie eine kommutative Gruppe oder auch abelsche Gruppe (nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (*1802; †1829)) (Z ;+) bildet eine (kommutative) Gruppe. (Z ; ·) bildet weiterhin eine Halbgruppe (Es gibt keine inversen Elemente). (Z ;+;·) bildet daher einen algebraischen Ring. Januar 2012 6
Sachanalyse Zahlbereiche: Die Rationalen Zahlen Bruchrechnung Heinz-Jürgen Harder Zweite Erweiterung, die Rationalen Zahlen Innerhalb der Ganzen Zahlen können weitergehende Rechenoperationen durchgeführt werden, allerdings stößt man wieder an eine Grenze bei der Lösung der Gleichung: a · x + b = 0; a, b ∈ Z ; a ≠0 ∧ a ∤ b Zwar sind alle Koeffizienten der Gleichung Elemente aus in . Z Z , jedoch gibt es keine Lösung der Gleichung Die Notwendigkeit der Lösung dieser Gleichung führt zur Erweiterung des Zahlbereichs auf den Bereich der Rationalen Zahlen: Q = {(a; b) :a ∈ Z ∧ b ∈ N} Es handelt sich bei den Rationalen Zahlen also um eine Menge von geordneten Zahlentupeln (Zahlenpaaren), wobei b 0 ist, da b aus N stammt. Januar 2012 7
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