Aufgabe zur Hubschrauber-Aeromechanik - IAG

F 2007 29.03.2007
Aufgabe zur Hubschrauber-Aeromechanik
Die folgende Aufgabe beschäftigt sich mit der Berechnung eines Kranhubschraubers bei der
Waldbrandbekämpfung mit Hilfe der Strahl- und der Blattelemententheorie. Der
Hubschrauber besitzt einen Sechsblatt-Hauptrotor mit 22 m Durchmesser. Bei den
Rotorblättern handelt es sich um Rechteckblätter mit symmetrischem Blattprofil und idealer
Verwindung. Sämtliche zur Lösung der Aufgabe erforderliche Angaben sind in nachstehender
Tabelle aufgeführt. Für die gesamte Aufgabe sei die Annahme kleiner Winkel zulässig.
Hubschraubermasse m (ohne Wasserballast) 9000 kg
Einbauwirkungsgrad η e 1,0
Erdbeschleuningung g 9,81m/s 2
Luftdichte ρ 1,25 kg/m 3
Blattzahl z 6
Winkelgeschwindigkeit Ω
22 rad/s
Blattverwindung
ideale Verw.
Blattprofil
symmetrisch
Rotorradius R a
11 m
Blattwurzelradius R i
2,5 m
Blatttiefe l
0,8 m
Auftriebsgradient dc a /dα
2π
Profilwiderstandbeiwert c w0
0,0087 +
0,4α 2
maximaler Auftriebsbeiwert des Profils c amax 1,0
Kranhubschrauber Erickson
Air Crane (Sikorsky S64)
a. Bestimmen Sie mit Hilfe der Strahltheorie die induzierte Geschwindigkeit, die induzierte
Leistung sowie das induzierte Antriebsmoment im Schwebeflug unter Verwendung der
Hubschraubermasse ohne Wasserballast von m = 9000 kg.
m
G mg
9000kg
⋅ 9,81 2
F
s
S
= = =
= 88290N
η 1,0
η
e e
(
2 2 ) (
2
2 )
2
⋅ Ra − Ri
= ⋅ 121m
− 6,25m
= 360,5m
S = π
π
FS
88290N
vi = =
= 9, 90
2 ⋅ ρ ⋅ S 2 1,25
kg
2
⋅
3 ⋅ 360,5m
m
m
s
[3P]
m
Pi = FS
⋅ vi
= 88290 N ⋅9,90
= 873, 868kW
s
[1P]
Pi
873868kW
M
i
= =
= 39721kNm
Ω 22rad
/ s
[1P]

. Bestimmen Sie mit Hilfe der Blattelemententheorie den kollektiven Einstellwinkel an der
Blattspitze sowie das Antriebsmoment des Rotors im Schwebeflug unter Verwendung der
Hubschraubermasse ohne Wasserballast von m = 9000 kg. Wie hoch ist damit der
Leistungsgütegrad des Hubschraubers?
Verwendet werden Rechteckblätter mit idealer Verwindung. Somit ergibt sich eine über
dem Radius konstante Verteilung der induzierten Geschwindigkeit. Der differentielle
Schub eines Kreisringelements aus der Strahltheorie darf damit dem der Blattelemente
der sechs Rotorblätter für jeden Blattradius gleichgesetzt werden. Nachdem der
Kollektivwinkel an der Blattspitze gesucht ist, wird sinnvollerweise für die Blattspitze
gleichgesetzt:
Schub eines Kreisringelements bei r = R aus der Strahltheorie:
dF ( R)
= 4π
⋅ ρ ⋅ v
S
2
i
⋅ R ⋅ dr
Entsprechender Schub aus der Blattelemententheorie:
dF
BEM
ρ
( R)
= z ⋅ ⋅
2
= 6ρ
⋅ Ω
( ΩR)
2
⋅ R
Gleichsetzen dF S = dF BEM :
2
2
dca
⎛ vi
⎞
⋅ ⋅l
⋅⎜θ
− ⎟ ⋅ dr =
dα
⎝ Ω ⋅ R ⎠
⎛ vi
⎞
⋅π
⋅l
⋅⎜θ
− ⎟ ⋅ dr
⎝ Ω ⋅ R ⎠
2
2 2 ⎛ vi
⎞
4 ⋅ vi
⋅ R = 6 ⋅ Ω ⋅ R ⋅l
⋅⎜θ
− ⎟
⎝ Ω ⋅ R ⎠
2
2
2
⋅
2 ⋅ 9,90 m 9,90 m
2 v
2
i
vi
θ = + =
s
+
s
= 0,05625 ≅ 3, 22°
2
2
3⋅
Ω ⋅ ⋅ Ω ⋅ 3⋅
22 1 ⋅11
⋅ 0,8 22 1
[5P]
R l R
2 m m ⋅11m
s
s
Differentieller induzierter Widerstand:
dW
i
ρ 2 2
= ⋅ Ω
2
⋅ r
dc v ⎛θ
a i
⋅ l ⋅ ⋅ ⋅
d r
⎜
α Ω ⋅ ⎝ r
tip
v ⎞
i
⋅ R − ⋅ dr
r
⎟
Ω ⋅ ⎠
Differentieller Nullwiderstand:
dW
0
ρ
= ⋅ Ω
2
2
⋅ r
2
⋅ l ⋅
Differentielles Antriebsmoment:
2 ρ 2 2
tip vi
( ) dr r l ⎜ ⎛
⎞
δ + δ ⋅α
⋅ = ⋅ Ω ⋅ ⋅ ⋅ δ + δ ⋅ ⎜ ⋅ R − ⎟ ⎟ ⋅ dr
0
2
( dW )
dM = r ⋅ dW = r ⋅
i
+ dW 0
Gesamtes Antriebsmoment des Rotors:
2
⎛
⎜
⎝
0
2
θ
⎜
⎝ r
Ω ⋅ r ⎟
⎠
2
⎞
⎟
⎠

M
M
∫
= z ⋅ dM
ρ
= z ⋅ ⋅ Ω
2
2
ρ
+ z ⋅ ⋅ Ω
2
2
dca
vi
⎛
⋅ l ⋅ ⋅ ⋅⎜θ
dα
Ω ⎝
⋅l
⋅δ
⋅
0
R
a
∫
R
i
tip
vi
⎞
⋅ R − ⎟ ⋅
Ω ⎠
3 ρ
r dr + z ⋅ ⋅ Ω
2
2
R
a
∫
R
i
rdr +
⎛
⋅l
⋅δ
2
⋅⎜θ
⎝
tip
vi
⎞
⋅ R − ⎟
Ω ⎠
2
⋅
R
a
∫
R
i
rdr
1,25
kg
m
m
3
9,90 ⎛
9,90 ⎞ 2
m 2
s
s r
M
1
⎡ ⎤
= 6 ⋅ ⋅ 22 2 ⋅ 0,8m
⋅ 2π
⋅ ⋅
⎜
0,05625 11m
⎟
2 s
22 1 ⎜
⋅ −
22 1 ⎟
⋅ ⎢ ⎥
2
s ⎝
s ⎠
⎣ ⎦
kg
4
11m
1,25 3
m 2 1
⎡r
⎤
+ 6 ⋅ ⋅ 22 2 ⋅ 0,8m
⋅ 0,0087 ⋅ +
2 s
⎢ ⎥
⎣ 4 ⎦
kg
2
m
11m
1,25 3
⎛
9,90 ⎞ 2
m 2 1
s ⎡r
⎤
+ 6 ⋅ ⋅ 22 2 ⋅ 0,8m
⋅ 0,4 ⋅
⎜
0,05625 11m
⎟
⋅
2 s
⎜
⋅ −
22 1 ⎟ ⎢ ⎥
2
s
⎣ ⎦ 2,5m
⎝
⎠
M = 39749 Nm + 46114Nm
+ 949Nm
= 86812Nm
[5P]
Leistungsgütegrad des Hubschraubers:
2,5m
11m
2,5m
+
FM
=
P
i
M ⋅ Ω
873,868kW
=
86812Nm
⋅ 22rad
/ s
= 0,458
[1P]
c. An welcher radialen Position wird der größte Auftriebsbeiwert im Profilsegment
erforderlich sein?
Hinweis: Keine Rechnung verlangt, anschauliche Begründung ist ausreichend.
Bei konstanter Verteilung der induzierten Geschwindigkeit und Rechteckblättern wird der
maximale Auftriebsbeiwert an der Blattwurzel, d.h. bei r = 2,5m erreicht. Dort ist der
Staudruck am geringsten, der pro differentiellem Flächenelement produzierte Schub ist
jedoch konstant über die Kreisscheibe. Der Schub ist proportional zum Staudruck, der
Blatttiefe und zum Auftriebsbeiwert. Dort, wo der Staudruck minimal wird, muss also der
Auftriebsbeiwert maximal werden.
[2P]
d. Welchen Schub kann der Hubschrauber im Schwebeflug maximal erreichen, wenn die
Strömung am gesamten Rotorblatt anliegen und der maximale Auftriebsbeiwert des
Profils voll ausgereizt werden soll? Welche Menge an Löschwasser kann aufgenommen
werden, wenn 90% des maximal erreichbaren Schubs im Schwebeflug ausgenutzt werden
sollen?
Gleichsetzen des Schubs am Kreisringelement aus Strahl- und Blattelemententheorie
liefert für r = R i (analog zu b.):
4 ⋅π
⋅ v
2
i
⋅ R
i
= 3⋅
Ω
2
⋅ R
2
i
dca
⎛ vi
⋅ l ⋅ ⋅
⎜θ
−
dα
⎝ Ω ⋅ Ri
⎞
⎟
⎠

dca
⎛ vi
Dabei entspricht der Term ⋅⎜θ
−
dα
⎝ Ω ⋅ R
i
⎟
⎠
⎞
dem Auftriebsbeiwert.
Die maximal erreichbare induzierte Geschwindigkeit, bevor die Strömung an der
Blattwurzel beginnt abzulösen, ist somit:
v
i
⎛ ca,max
⎞
=
⎜θ
−
⎟ ⋅ Ω ⋅ Ri
⎝ 2π
⎠
Eingesetzt in die obige Beziehung ergibt sich:
2
2 2 ⎛ ca,max
⎞
2 2
4 ⋅π
⋅ Ω ⋅ Ri
⋅⎜θ
− ⎟ ⋅ Ri
= 3⋅
Ω ⋅ Ri
⋅l
⋅ ca,max
c
θ −
2π
a,max
=
⎜
⎝
3
⋅
4π
l
R
2π
⎟
⎠
i
⋅ c
a,max
3 l ca,
max 3 0,8m
1,0
θ = ⋅ ⋅ ca,max
+ = ⋅ ⋅1,0
+ = 0,43555 ≅ 25, 0°
4π
R 2π
4π
2,5m
2π
i
Dies entspricht dem Einstellwinkel an der Blattwurzel. Eingesetzt in die Beziehung für v i
erhält man
⎛ ca,max
⎞ ⎛ 1,0 ⎞ rad
vi =
⎜θ
− Ω ⋅ Ri
= ⎜0,43555
− ⎟ ⋅ 22 ⋅ 2,5m
= 15,20m
/ s
2
⎟ ⋅
⎝ π ⎠ ⎝ 2π
⎠ s
Nun kann wieder die Strahltheorie zur Berechnung des Schubs herangezogen werden:
2
2 kg
2 2 m
FS = 2 ⋅ ρ ⋅ S ⋅ vi
= 2 ⋅1,25
⋅360,5m
⋅15,20
= 208225N
[5P]
3
2
m
s
Damit ergibt sich ein maximales Abfluggewicht von
m
FS
208225N
= 0,9 ⋅ ⋅η
e
= 0,9 ⋅ ⋅1,0
g 9,81m
2
s
TakeOff , max
= 19103
Die maximal aufnehmbare Wassermenge beträgt somit
m
= m − m = 19103kg
− 9000kg
kg
[1P]
Wasser, max TakeOff ,max
= 10103
e. Berechnen Sie die Abhängigkeit des kollektiven Einstellwinkels an der Blattspitze über
der Zeit θ(t), den der Pilot einsteuern muss, wenn er innerhalb von 50s eine Wassermasse
von 10t (dm/dt = 200 kg/s const.) im stationären Schwebeflug aufnehmen möchte.
Als Funktion des erforderlichen Schubs über der Zeit ergibt sich:
kg

F ( t)
=
S
g ⋅ ( m + m&
⋅t)
η
e
Damit ergibt sich als Funktion der erforderlichen induzierten Geschwindigkeit über der
Zeit:
v ( t)
=
i
FS
( t)
g ⋅ ( m + m&
⋅ t)
=
2 ⋅ ρ ⋅ S 2 ⋅η
⋅ ρ ⋅ S
e
Gemäß Aufgabenteil b. folgt damit für θ(t) an der Blattspitze
2
2 ⋅ vi
vi
2 g ⋅ ( m + m&
⋅ t)
1
θ ( t)
= + = ⋅
+ ⋅
2
2
3⋅
Ω ⋅ R ⋅ l Ω ⋅ R 3⋅
Ω ⋅ R ⋅ l 2 ⋅η
⋅ ρ ⋅ S Ω ⋅ R
θ ( t)
=
3⋅
22
1
+ ⋅
22 1 ⋅11m
s
2
9,81m
2
2 ⋅ (9000kg
+ 200
kg
⋅t)
s
⋅
s
⋅ 1
2
2 ⋅11m
⋅ 0,8m
2 1,0 1,25
kg
s
⋅ ⋅
3 ⋅360,5m
m
9,81m
2 ⋅ (9000kg
+ 200
kg
⋅t)
s
s
2
2 ⋅1,0
⋅1,25
kg
3 ⋅360,5m
m
e
g ⋅ ( m + m&
⋅ t)
2 ⋅η
⋅ ρ ⋅ S
e
−6
θ ( t)
= 1,7037 ⋅10
⋅ (9000 + 200 ⋅ t)
+ 0,0041322 ⋅ 0,010885 ⋅ (9000 + 200 ⋅ t)
[4P]
Der folgende Aufgabenteil ist unabhängig von den vorangehenden lösbar.
f. Der Pilot entleert die aufgenommenen 10t Löschwasser über dem Brandherd und hält den
kollektiven Einstellwinkel während des Entleerungsvorganges fest. In Folge der
plötzlichen Gewichtsabnahme beschleunigt der Hubschrauber dabei aus dem
Schwebeflug in einen senkrechten Steigflug. Berechnen Sie das Lastvielfache, dem der
Pilot am Ende des Entleerungsvorgangs ausgesetzt ist.
Hinweis: Aufgrund des schnellen Entleerungsvorgangs und der Trägheit des
Hubschraubers darf die Steiggeschwindigkeit zum Ende des Entleerungsvorgangs
vernachlässigt werden, so dass die Beziehung für den stationären Schwebeflug verwendet
werden darf. Weiter seien eventuelle Reaktionskräfte des ausströmenden Wassers auf den
Hubschrauber vernachlässigbar. Dieser Aufgabenteil ist in einer Zeile lösbar!
Schub am Ende des Entleerungsvorgangs = Schub zu Beginn des Entleerungsvorgangs
(Schwebeflugschub für 19t Gesamtmasse):
F
S
=
g ⋅ ( m + m
η
e
W
)
Gewicht am Ende des Entleerungsvorgangs
G = mg

Lastvielfaches am Ende des Entleerungsvorgangs:
n =
FS
G
=
m + m
m
W
19000kg
=
9000kg
= 2,11
[2P]
Gesamt: 30 Punkte