Klausurzusammenfassung Algebra ... - Frank Reinhold

Klausurzusammenfassung Algebra
Examensvorbereitung
Frank Reinhold
20. März 2012
Inhaltsverzeichnis
1 Gruppen 1
Beispiele spezieller Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Zyklische Gruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Isomorphiesätze der Gruppentheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Autmorphismengruppe der rationalen Zahlen . . . . . . . 2
Ordnung eines Gruppenelements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Normalisator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen . 2
Sylowgruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Einfache Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Satz von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Untergruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Zentrum einer Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Automorphismengruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Symmetrische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Ringe 2
Definition: Ring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Definition: Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Charakterisierung von Ringen (aufsteigend) . . . . . . . . . 3
Euklidische Ringe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Irreduzibilität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Multiplikativ-Inverse in K[X]/(f) finden. . . . . . . . . . . . . . 3
Cauchy-Produktformel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Euler’sche ϕ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Nilpotenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Kreisteilungspolynome und Einheitswurzeln . . . . . . . . . 3
Isomorphiesätze der Ringetheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Ringhomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Rechnen Modulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Einheiten und maximale Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Quadratische Reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Körper 4
Zerfällungskörper eines Polynoms über Q. . . . . . . . . . . . 4
Galoisgruppe einer Körpererweiterung. . . . . . . . . . . . . . . 4
Hauptsatz der Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Elemente in Q(α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Primitive Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Abbildungen in F q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Gruppen
Beispiele spezieller Gruppen
1. G = 〈g〉 für ein g der Ordnung n, dann heißt G zyklisch
der Ordnung n. Typischerweise ist G = Z/nZ.
2. Die Gruppe D n = 〈 x, y : x 2 = y n = 1, xyx = y −1〉 heißt
Diedergruppe der Ordnung 2n.
3. Es ist S n die Gruppe aller Permutationen einer Menge n,
z. B. S 3 = 〈 σ, τ : σ 3 = τ 2 = 1, τσ = σ 2 τ 〉 .
Zyklische Gruppen Eine zyklische Gruppe hat zu jedem
Teiler der Gruppenordnung genau eine Untergruppe dieser
Ordnung.
Eine Gruppe von Primzahlpotenzordnung ist zyklisch.
Ist K = F p n, so ist K × zyklisch der Ordnung (p n − 1).
Der Körper Q(ζ n) hat die multiplikative Gruppe Q(ζ n) × , die
die zyklische Gruppe 〈ζ n〉 enthält.
Jede Untergruppe und jede Faktorgruppe einer zyklischen
Gruppe sind zyklisch.
Die Automorphismengruppe Aut(G) einer zyklischen Gruppe
G der Ordnung n ist abelsch. Ist n = p k für eine Primzahl p,
so ist Aut(G) zyklisch.
Homomorphismen Seien G, H Gruppen und ϕ : G → H
ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist der Kern von ϕ
ker(ϕ) = {g ∈ G : ϕ(g) = 1} G (1)
ein Normalteiler und Das Bild von ϕ
Im(ϕ) = {h ∈ H : ∃g ∈ G : ϕ(g) = h} ≤ G (2)
eine Untergruppe. ϕ heißt injektiv genau dann, wenn ker(ϕ) =
1. Für einen Gruppenhomomorphismus
[
η : H → Aut(G), h ↦→ η(h) = g ↦→ g h] (3)
heißt
G ⋊ H = {(g, h) : g ∈ G, h ∈ H} (4)
zusammen mit der Verknüpfung
(
)
(g 1 , h 1 )(g 2 , h 2 ) = g 1 g h−1 1
2 , h 1 h 2
(5)
das semidirekte Produkt aus G und H.
Isomorphiesätze der Gruppentheorie Sei G eine Gruppe
mit Normalteiler N ⊳ G, π : G → G/N der kanonische
Epimorphismus und H ≤ G eine Untergruppe. Dann gilt
• 1. Isomorphiesatz: HN ≤ G, H ∩ N H und HN/N ∼ =
H/H∩N.
• 2. Isomorphiesatz: Aus M G und N ≤ M (also auch
N M) folgt (G/N)/(M/N) ∼ = G /M.
1

• Korrespondenzsatz: Durch die Zuordnung U ↦→ π[U] =
U/N ist eine Bijektion der Menge der Untergruppen U
von G mit N ≤ U auf die Menge der Untergruppen von
G/N definiert. Ebenso ist durch M ↦→ π[M] = M/N eine
Bijektion der Menge der Normalteiler M von G mit N ≤
M auf die Menge der Normalteiler von G/N definiert.
Autmorphismengruppe der rationalen Zahlen Sei ϕ ∈
Aut(Q, +) und a := ϕ(1) ∈ Q. Dann ist ϕ(n) = nϕ(1) = na
für alle natürlichen Zahlen n ∈ N. Gleiches Vorgehen für ganze
Zahlen und rationale Zahlen liefert die Automorphismengruppe.
Untergruppe der Ordnung
|UN| = |U| · |N| falls ggT(|U|, |N|) = 1. (9)
Gruppen vom Index 2 sind normal.
G heißt einfach, wenn 1 und G die einzigen Normalteiler sind.
Eine endliche Gruppe G heißt nilpotent, wenn alle Sylowuntergruppen
normal sind.
Zentrum einer Gruppe
Es ist
Z(G) = {h ∈ G : gh = hg ∀g ∈ G} (10)
Ordnung eines Gruppenelements Die Ordnung von g ∈
G ist die kleinste natürliche Zahl n > 0, für die g n = e gilt.
Ist G = F × H, so ist die Ordnung von g = (f, h) ∈ G gegeben
durch ord(g) = kgV(ord(f), ord(h)).
das Zentrum von G.
Die Gruppe der inneren Auto-
Automorphismengruppe
morphismen von G ist
Normalisator Sei G eine Gruppe und H ≤ G eine Untergruppe.
Dann ist der Normalisator von H in G
N G (H) = { g ∈ G : gHg −1 = H } ≤ G. (6)
Die Zahl der zu H konjugierten Untergruppen entspricht
[G : N G (H)].
Ist N ⊳ G und P eine p-Sylowgruppe von N. Dann gilt G =
N · N G (P ).
Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist isomorph zu einem,
bis auf die Reihenfolge der Faktoren, eindeutig bestimmten direkten
Produkt von zyklischen Gruppen, die entweder Primzahlpotenzordnung
haben, oder die Gruppe Z sind.
Beispiel: Sei |G| = 24 = 2 3·3. Dann ist G isomorph zu einer der
Gruppen Z/3Z×Z/8Z, Z/3Z×Z/4Z×Z/2Z, Z/3Z×Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z.
Sylowgruppen Sei G eine endliche Gruppe. Zu jedem
Primzahlpotenzteiler p k der Gruppenordnung existieren Untergruppen.
Die Zahl n p der p-Sylowgruppen folgt dabei folgenden
Gesetzmäßigkeiten
1. n p ≡ 1 mod p.
2. n p| ord(G)
p k .
Ist n p = 1, so ist die p-Sylowgruppe ein Normalteiler von G.
Sind alle p-Sylowgruppen von G Normalteiler von G, so ist G
abelsch.
Einfache Gruppen Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie
nur triviale Normalteiler besitzt.
Satz von Lagrange
Untergruppe N ≤ G
Es gilt für eine Gruppe G mit einer
|G| = |G/N| · |N| (7)
Untergruppen Sei G eine Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe.
Dann ist U ein Teiler von |G| und es bezeichnet
den Index von U in G.
[G : U] = |G|
|U|
(8)
Inn(G) = { ϕ g : G → G, h ↦→ ghg −1 ∀g ∈ G } ≤ Aut(G).
(11)
Gruppenoperationen Eine Gruppe G operiert auf einer
Menge M vermittels einer Abbildung
G × M → M, (g, m) ↦→ gm. (12)
Sei G eine Gruppe und M eine Menge. G operiert auf M.
Dann ist für m ∈ M
die Bahn von m und
der Stabilisator von m.
B m = {gm : g ∈ G} (13)
G m = {g ∈ G : gm = m} (14)
Sei m 1 , . . . , m s ein Repräsentantensystem für die Bahnen der
gegebenen Operation von G auf M. Dann gilt
|M| =
s∑
[G : G mj ] (15)
j=1
und |G m| := [G : G m] teilt |G|.
Symmetrische Gruppe
Die Ordnung eines k-Zykels ist k.
Für n ≥ 3 ist S n nicht abelsch.
Jedes π ∈ S n ist eindeutig als Produkt von paarweise disjunkten
Zykeln darstellbar.
|S n| = n!, |A n| = n!/2, A n ⊳ S n.
2 Ringe
Definition: Ring
Ring, falls gilt:
1. (R, +) ist eine abelsche Gruppe.
Eine algebraische Struktur (R, +, ·) heißt,
2. (R, ·) ist eine Halbgruppe, d. h. eine zweiseitige Verknüpfung
auf R, die das Assoziativgesetz erfüllt.
3. Es gelten die Distributivgesetze: Für alle a, b, c ∈ R ist
a(b + c) = ab + ac und (a + b)c = ac + bc.
Ein Ring heißt kommutativ, falls die Verknüpfung · kommutativ
ist. Ein Ring mit einem neutralen Element bezüglich ·
heißt Ring mit 1.
Normalteiler Sei G eine Gruppe, U ≤ G eine Untergruppe
und N G ein Normalteiler. Dann ist auch UN ≤ G eine
Definition: Ideal Eine Teilmenge I ⊂ R eines kommutativen
Ringes R heißt ein Ideal von R, wenn gilt:
2

1. I ≠ ∅.
2. Für alle a, b ∈ I ist a − b ∈ I.
3. Für alle r ∈ R und alle a ∈ I ist ra ∈ I.
Ein Hauptideal ist ein Ideal, das von nur einem Element erzeugt
wird: I = (a), a ∈ R.
Ein Ideal heißt maximal, wenn für alle Ideale J ⊆ R gilt, dass
aus I ⊆ J und J ≠ R schon I = J folgt.
Es gilt für I = (r) mit r ∈ R ∗ , dass I = R ist.
Charakterisierung von Ringen (aufsteigend) Integritätsring:
Ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit 1, die
verschieden von 0 ist, heißt Integritätsring.
Faktorieller Ring: Ein Integritätsring, in dem alle Elemente
außer 0 eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren besitzen,
heißt faktorieller Ring.
Hauptidealring: Ein faktorieller Ring, in dem jedes Ideal ein
Hauptideal ist, heißt Hauptidealring.
Euklidischer Ring: Ein Hauptidealring mit einer euklidischen
Norm N : R \ {0} → N 0 mit:
1. Für alle x, y ∈ R \ {0} gibt es q, r ∈ R mit x = qy + r mit
r = 0 oder N(r) < N(y).
2. Für alle x, y ∈ R \ {0} gilt stets N(xy) ≥ N(x).
heißt Euklidischer Ring.
Euklidische Ringe Vorgehen: bei Ringen wie etwa
R := Z[i √ {
2] = a + ib √ }
2 : a, b ∈ Z ⊂ C. (16)
Bestimme eine Normfunktion anhand der üblichen Norm im
Komplexen
N(z) = R(z) 2 + I(z) 2 . (17)
Primelemente p haben die Eigenschaft, dass sie sich nicht
durch zwei Elemente aus R \ R ∗ darstellen lassen, d. h. es gibt
kein r ∈ R mit N(r) = p, da sonst N(r 2 ) = p 2 = N(p) wäre.
In solchen Ringen funktioniert der euklidische Algorithmus, da
eine Division mit Rest existiert. Damit lässt sich der ggT zweier
Zahlen bestimmen. Bestimme dazu zunächst die größere der
beiden Zahlen mit N(x) > N(y). Bilde anschließend den Quotienten
x
y = xȳ
N(y) = a + ib√ 2 (18)
und Runde a, b auf Zahlen in Z. Anschließend folge dem euklidischen
Algorithmus wie gewohnt.
Irreduzibilität Ein Polynom von Grad deg f ∈ {2, 3} ist
genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle hat.
Ein Polynom von Grad deg f = 4 ohne Nullstelle ist entweder
irreduzibel, oder das Produkt zweier irreduzibler Polynome
mit deg g = 2.
Gauß: Ist ein Polynom f(X) ∈ Z[X] irreduzibel über Z, dann
auch über Q.
Ist ein Polynom irreduzibel über Z/nZ, dann auch über Z.
Eisenstein: Ist f(x) = ∑ n
i=1 a ix i mit a n ≠ 0 und p eine
Primzahl (bzw. ein Primelement) mit p ∤ a n, p|a i für alle
i = 0, . . . , n − 1 und p 2 ∤ a 0 , dann ist f irreduzibel.
Artin-Schreier: Ein Artin-Schreier Polynom, also ein Polynom,
von der Form X p − X + C mit einer Primzahl p hat
entweder eine Nullstelle, oder ist irreduzibel.
Es ist f(x) irreduzibel, genau dann wenn f(x − d) irreduzibel
ist.
Ist f irreduzibel über K, so ist \K[X](f) ein Körper. Dazu:
Ist F p ein Körper, dann ist F p[X] ein Hauptidealring. Weil
K genau dann ein Körper ist, wenn (f) ein maximales Ideal
ist und in Hauptidealringen genau die Primelemente maximal
sind, sowie die Eigenschaft prim und irreduzibel in Hauptidealringen
äquivalent sind, gilt das besagte.
Multiplikativ-Inverse in K[X]/(f)
∑
finden Sei f(X) =
n
i=1 a iX i , a n ≠ 0. Dann ist { 1, X, . . . , X n−1} eine Basis
des Körpers K[X]/(f), falls f irreduzibel ist und es gilt
n−1 ∑
X n = − a i X i . (19)
i=1
Dann ist das Inverse g(X) von h(X) mit folgendem Ansatz zu
bestimmen:
n−1 ∑
g(X) = b i X i , (20)
i=1
g(x) · h(x) = 1. (21)
Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich liefert ein Gleichungssystem
für die b i .
Cauchy-Produktformel für die Multiplikation von Potenzreihen:
Es gilt
(
∑ ∞
) ( ∞
) (
∑
∞∑ n
)
∑
α i x i · β i x i = α k β n−k x i (22)
i=0
i=0
Euler’sche ϕ-Funktion
Primfaktorzerlegung
n =
i=0
k=0
Ist n ∈ N eine natürliche Zahl mit
m∏
i=1
so ist der Wert der ϕ-Funktion
ϕ(n) =
m∏
i=1
Insbesondere gilt für Primzahlen q
p r i
i , (23)
p r i−1
i (p i − 1)) . (24)
ϕ(q m ) = q m−1 (q − 1), (25)
ϕ(q) = q − 1. (26)
Chinesischer Restsatz Sei R = Z/pqZ mit Primzahlen p, q.
Dann ist
R = Z/pqZ ∼ = Z /pZ × Z/qZ, a ↦→ (a 1 , a 2 ). (27)
Insbesondere gelten Voraussetzungen für a auch für das Tupel
(a 1 , a 2 ). Die Umkehrabbildung ist eine Spielerei. Ist das
Inverse zu (x, y) gesucht, so muss das Gleichungssystem
gelöst werden.
a ≡ x mod p, a ≡ y mod q, (28)
Nilpotenz Ein Element a ∈ R heißt nilpotent, wenn es eine
natürliche Zahl n ∈ N gibt, sodass a n = 0.
Kreisteilungspolynome und Einheitswurzeln
n-ten Kreisteilungspolynome gilt
Für die
f ζn (X) = Xn − 1
∏
i|n f ζ i
(X) . (29) 3

Insbesondere ist deg(f ζn (X)) = ϕ(n). Die n-te komplexe Einheitswurzel
ist
( ) 2πi
ζ n = exp , (30)
n
und erfüllt die Gleichung
ζn n = 1. (31)
Isomorphiesätze der Ringetheorie Sei R ein kommutativer
Ring mit dem Ideal I, π : R → R/I der kanonische Epimorphismus
und S ein Unterring von R. Dann ist I + S ein
Unterring von R mit dem Ideal I und es gilt
• 1. Isomorphiesatz: (I+S)/I ∼ = S /S∩I.
• 2. Isomorphiesatz: Ist A ⊆ I ein Ideal, so ist (R/A)/(I/A) ∼ =
R/I.
• Korrespondenzprinzip: Durch die Zuordnung J ↦→ π[J] =
J/I := {a + I : a ∈ J} ist eine Bijektion von der Menge
der Ideale (Primideale, maximalen Ideale) J von R mit
I ⊆ J auf die Menge der Ideale (Primideale, maximalen
Ideale) von R/I definiert.
Ringhomomorphismen Seien R, S Ringe. Eine Abbildung
ϕ : R → S heißt Ringhomomorphismus, falls ϕ(x + y) =
ϕ(x) + ϕ(y) für alle x, y ∈ R. Die Menge
ker(ϕ) = {r ∈ R : ϕ(r) = 0} (32)
ist ein Ideal in R und heißt der Kern von ϕ. Das Bild von ϕ
ist definiert als
im(ϕ) = {s ∈ S : ∃r ∈ R : ϕ(r) = s} (33)
und ist ein Teilring von S.
Jeder Ringhomomorphismus ϕ : R → S induziert einen Isomorphismus
Rechnen Modulo
R/ker(ϕ) ∼ −→ im(ϕ), ¯r ↦→ ϕ(r). (34)
Es gilt
Z[X]/(p,f(X) ∼ = (Z[X]/pZ) /(f(X)) ∼ = Fp[X] /(f(X)). (35)
Einheiten und maximale Ideale Sei M die Vereinigung
aller maximalen Ideale, dann gilt R × = R \ M. Insbesondere
ist x ∈ R × , so ist bereits (x) = R.
Für einen Körper K gilt K × = K \ {0}, für Z ist Z × = {±1},
für Z/nZ ist (Z/nZ) × = {a mod n : ggT(a, n) = 1}.
Quadratische Reste Sei p ∈ Z eine Primzahl. Für z ∈ Z
definiere
⎧
( ) z
⎪⎨ 0 p|z
= 1 z mod p ist ein Quadrat in F p . (36)
p ⎪⎩
−1 z mod p ist kein Quadrat in F p
Quadratisches Reziprozitätsgesetz: Seien p, q Primzahlen und
z, z 1 , z 2 ∈ Z. Dann gilt
( ) ( )
1. Ist z 1 ≡ z 2 mod p, dann gilt z1p
= z2p
.
( ) ( ) ( )
2. z1 z 2
= z1p z2p
.
p
( )
3. z
≡ z p−1
2 mod p.
p
3 Körper
Zerfällungskörper eines Polynoms über Q Ein
Zerfällungskörper von f ist ein kleinste Körper, über dem das
Polynom f vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Finde dazu
alle Nullstellen des Polynoms f. Adjungiere alle Nullstellen
β i von f zu Q, sodass gilt
β j /∈ Q(β i ), ∀i ≠ j. (37)
Der Grad des Zerfällungskörpers L ist dann
n∏
n∏
[L : Q] = [Q(β i ) : Q] = deg(f βi (x)), (38)
i=1
i=1
mit β i nach obigen Kriterien in der Anzahl minimiert und
f βi (x) das Minimalpolynom von β i , als das irreduzible, normierte
Polynom über Q, das β i als Nullstelle besitzt.
Ist β i = ζ n eine n-te Einheitswurzel, so ist
mit ϕ der Euler’schen ϕ-Funktion.
[Q(ζ n) : Q] = ϕ(n), (39)
Galoisgruppe einer Körpererweiterung Eine
Körpererweiterung heißt galoisch, wenn sie normal (d. h.
jedes Polynom, das eine Nullstelle hat, zerfällt in Linearfaktoren)
und separabel (d. h. für jedes a ∈ L besitzt das
Minimalpolynom f a(x) über K keine mehrfachen Nullstellen)
ist. In Körpern wie Q mit Char(Q) = 0 ist jede normale
Körpererweiterung bereits galoissch.
Ist L der Zerfällungskörper eines über Q irreduziblen Polynoms
f mit deg f = n, so ist die Galoisgruppe
eine Untergruppe der S n. Gilt zusätzlich
so folgt schon, dass G ≡ S n.
G := Gal (L/Q) ≤ S n (40)
|S n| = n! = [L : Q], (41)
Ist L der Zerfällungskörper von f = g · h mit deg g = n,
deg h = m, so permutiert die Glaoisgruppe die Nullstellen von
g und h getrennt und ist damit eine Untergruppe von S n ×S m
G := Gal (L/Q) ≤ S n × S m. (42)
Die Galoisgruppe permutiert die Nullstellen von f, man kann
also die Erzeuger der Gruppe bestimmen. Die Relation σ n =
τ m = 1 und στ = τ p σ charakterisieren die Gruppe eindeutig.
Ihre Untergruppen sind
〈
1, G, 〈σ〉 , 〈τ〉 , 〈στ〉 , σ 2 τ 〉 , . . . (43)
Insbesondere ist für jede komplexe Nullstelle λ eines reellwertigen
Polynoms auch das komplex Konjugierte ¯λ eine Nullstelle
von f und damit die komplexe Konjugation ein Element der
Galoisgruppe von Ordnung 2.
Finde Elemente der Galoisgruppe τ ∈ Gal mit | 〈τ〉 | = x durch
x = ord(τ). Beispiel: Finde τ ∈ Gal(Q(ζ 11/Q) mit | 〈τ〉 | = 2.
Dann suche τ k : ζ ↦→ ζ k mit 2 = ord(τ k ) = ord(k mod 11).
Hauptsatz der Galoistheorie Zu jeder Untergruppe der
Galoisgruppe gibt es einen Zwischenkörper
L 〈σ〉 = Q(α), (44)
wobei α das Element in L ist, das von σ fix gelassen wird.
Elemente in Q(α) Jedes Element x ∈ Q(α) ist von der
Form x = q 1 + q 2 α mit q 1 , q 2 ∈ Q. Es ist {1, α} eine Basis“ ”
4

von Q(α).
Primitive Elemente Ein Element α ∈ E heißt primitiv,
wenn E = K(α) gilt, wobei E ein Erweiterungskörper von K
ist.
Die Zahl der primitiven Elemente in E ist die Zahl der Elemente
in E abzüglich der Zahl der Elemente im größten Zwischenkörper
der Körpererweiterung.
Abbildungen in F q Jede Abbildung φ : F q → F q lässt
sich als Polynomiale Abbildung x ↦→ f(x) mit deg f ≤ q − 1
darstellen. Sei nämlich
f(x) = ∑
a∈F q
φ(a) ( 1 − (b − a) q−1) , (45)
(b − a) q−1 =
{
0 b = a
1 sonst . (46)
Außerdem ist (x + y) q = x q + y q in F q.
5