Karteikarten zur Theoretischen Physik

Quantenmechanik # 1 Schrödinger-Gleichung
Quantenmechanik # 2 Schrödinger-Gleichung
Schrödinger-Gleichung
Hamilton-Operator
Quantenmechanik # 3 Schrödinger-Gleichung
Quantenmechanik # 4 Schrödinger-Gleichung
Orts- und Impulsoperator
Lösung der Schrödinger-Gleichung

# 2 Antwort
Der Hamilton-Operator Ĥ entsteht aus der klassischen Hamilton-Funktion H(r, p, t), typischerweise von
der Form
Ĥ = ˆπ2
[c]
+ V (r), V (r) = qΦ, ˆπ = ˆp − q
2m c A (2)
(Masse m, Ladung q), indem man die Variablen Ort und Zeit durch Operatoren ersetzt.
# 1 Antwort
Die (zeitunabhängige) Schrödinger-Gleichung
ist eine heuristische Wellengleichung für nicht-relativistische Teilchen.
Ĥψ(r, t) = Êψ(r, t) (1)
# 4 Antwort
Die Wellenfunktion ψ(r, t) als Lösung der Schrödinger-Gleichung ist ein Skalarfeld, analog zum Skalarfeld
des elektrischen Skalarpotentials Φ(r).
Die Kopenhagener Deutung der Wellenfunktion ψ(r, t) ist die einer Wahrscheinlichkeitsamplitude.
# 3 Antwort
Die Ersetzung ist (vorerst, in der Ortsdarstellung)
ˆr → r, ˆp → −i∇, Ê → i∂ t. (3)
Normierung
Die physikalische Randbedingung ist die Normierung der Wahrscheinlichkeitsaplitude
∫
R 3 |ψ(r, t)| 2 d 3 r = 1. (5)
Kanonische Vertauschungsrelation Für den Orts- und den Impulsoperator gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen
[x i , p j ] = iδ ij , [x i , x j ] = [p i , p j ] = 0, i, j ∈ {1, 2, 3} . (4)

Quantenmechanik # 5 Schrödinger-Gleichung
Quantenmechanik # 6 Schrödinger- und Heisenberg-Bild
Kontinuitätsgleichung
Schrödinger-Bild
Quantenmechanik # 7 Schrödinger- und Heisenberg-Bild
Quantenmechanik # 8 Schrödinger- und Heisenberg-Bild
Heisenberg-Bild (Matrizenmechanik)
Erwartungswert im Schrödinger- und im Heisenbergbild

# 6 Antwort
Das Schrödinger-Bild der Quantenmechanik ist ein Modell für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen.
Es gelten folgenden Annahmen:
1. Zustände sind im allgemeinen zeitabhängig: |ψ, t〉 = |ψ(t)〉.
2. Operatoren können höchstens explizit von der Zeit abhängen: dÂ
dt
Zeitentwicklungsoperator.
3. Die Dynamik des Systems wird beschrieben durch die Schrödinger-Gleichung
= ∂ . Einzige Ausnahme ist der
∂t
i d |ψ, t〉 = Ĥ |ψ, t〉 . (11)
dt
Zeitentwicklungsoperator Der zeitabhängige Zustand |ψ(t)〉 ist gegeben durch den Zustand |ψ(t 0 )〉 zu
einem festen Zeitpunkt t 0 und den unitären Zeitentwicklungsoperator Û(t, t 0)
# 5 Antwort
Die Wahrscheinlichkeitsdichte n(r, t) gehorcht einer Kontinuitätsgleichung
Wellenpaket
ṅ + ∇ · j = 0, (6)
n(r, t) = |ψ(r, t)| 2 , (7)
j(r, t) = 1
2m (ψ∗ ˆπψ + ψ(ˆπψ) ∗ ) . (8)
Ĥφ n(r) = E nφ n(r), (9)
ψ(r, t) = ∑∫ n
A nψ n(r, t), ψ n(r, t) = φ n(r)e −iEnt/ . (10)
|ψ(t)〉 = Û(t, t 0) |ψ(t 0 )〉 . (12)
# 8 Antwort
Der Erwartungswert 〈A〉 des Operators  muss in allen Bildern gleich sein. Dazu bezeichnen wir mit ÂH
den Operator im Heisenberg-Bild und mit ÂS den Operator im Schrödinger-Bild. Es gilt
und damit auch
†
 H (t) = Û (t)ÂS(t)Û(t), (14)
〈
〉
〈A〉 = ψ S (t)|ÂS(t)|ψ S (t) =
〈
〉
= ψ S (t)|Û(t)Û † (t)ÂS(t)Û(t)Û † (t)|ψ S (t) =
〉
=
〈Û † (t)ψ S (t)|Û † (t)ÂS(t)Û(t)|Û † (t)ψ S (t) , (15)
〈
〉
〈A〉 = ψ S (0)|Û † (t)ÂS(t)Û(t)|ψ S(0) =
〉
=
〈ψ H |ÂH(t)|ψ H . (16)
# 7 Antwort
Das Heisenberg-Bild der Quantenmechanik ist ein Modell für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen.
Es gelten folgenden Annahmen:
1. Zustände sind nicht zeitabhängig: |ψ〉 = const.
2. Operatoren sind zeitabhängig: Â = Â(t).
3. Die Dynamik des Systems wird beschrieben durch die Heisenberg’sche Bewegungsgleichung
d
dt Â(t) = ∂ ∂t Â(t) + i [Ĥ(t), Â(t)]
. (13)

Quantenmechanik # 9 Ehrenfest-Theorem
Quantenmechanik # 10 Ehrenfest-Theorem
Ehrenfest-Theorem
Ortsoperator im Ehrenfest-Theorem
Quantenmechanik # 11 Ehrenfest-Theorem
Quantenmechanik # 12 Ehrenfest-Theorem
Impulsoperator im Ehrenfest-Theorem
Übergang zur klassischen Mechanik im Ehrenfest-Theorem

# 10 Antwort
Da der Ortsoperator nicht explizit zeitabhängig ist, folgt mit dem Ehrenfest-Theorem für dessen Zeitentwicklung
d
dt 〈x〉 = i 〈[H, x]〉 = i 〈[ p 2
]〉
2m + V (x), x =
= i 1 〈[
p 2 , x ]〉 = i 1
〈p[p, x] + [p, x]p〉 =
2m
2m
= i 1
# 9 Antwort
Das Ehrenfest-Theorem, stellt innerhalb der Physik einen Zusammenhang zwischen der klassischen Mechanik
und der Quantenmechanik her. Es besagt, dass unter bestimmten Bedingungen die klassischen
Bewegungsgleichungen für die Mittelwerte der Quantenmechanik gelten, d. h. die klassische Mechanik ist
also in gewissem Maße in der Quantenmechanik enthalten (Korrespondenzprinzip).
Mathematische Form Die vollständige Zeitableitung des Erwartungswertes eines quantenmechanischen
Operators O steht mit dem Kommutator dieses Operators und des Hamilton-Operators H wie folgt in
Zusammenhang
d
dt 〈O〉 = i 〈 〉 ∂O
〈[H, O]〉 + . (17)
∂t
2m 〈p · (−i) + (−i) · p〉 = 1 m 〈p〉 . (18) # 11 Antwort
# 12 Antwort
Mit den beiden vorhergehenden Ergebnissen gilt
und damit
m d d
〈x〉 = 〈p〉 ,
dt
〈p〉 = − 〈∇V (x)〉 , (22)
dt
m d2 〈x〉 = − 〈∇V (x)〉 = 〈F (x)〉 . (23)
dt2 Hier wurde die Kraft F (x) als negativer Gradient des Potentials eingesetzt. Die Erwartungswerte der
Orts- und Impulsoperatoren genügen also aus der Newtonschen Mechanik gewohnten Gleichungen, wobei
wir allerdings statt des zu erwartenden F (〈x〉) den Ausdruck 〈F (x)〉 vorfinden. Das leitet zur sogenannten
klassischen Näherung über.
Für den Impulsoperator, der ebenfalls nicht explizit zeitabhängig ist, folgt mit dem Ehrenfest-Theorem
d
dt 〈p〉 = i 〈[ p 2
]〉
2m + V (x), p = i 〈[V (x), p]〉 . (19)
Mit p = −i∇ gilt weiterhin
und damit gilt
[V, −i∇] ψ = −iV ∇ψ − (−i∇(V ψ)) =
= −iV ∇ψ + i(∇V )ψ + iV (∇ψ) =
= i(∇V )ψ, (20)
d
dt 〈p〉 = i 〈i(∇V (x))〉 = − 〈∇V (x)〉 . (21)

Quantenmechanik # 13 Freies Teilchen
Quantenmechanik # 14 Freies Teilchen
Hamiltonfunktion des Freien Teilchens
Schrödinger-Gleichung des Freien Teilchens
Quantenmechanik # 15 Freies Teilchen
Quantenmechanik # 16 Freies Teilchen
Eigenlösungen des Freien Teilchens
Problematik beim Freien Teilchen

# 14 Antwort
Damit ergibt sich für die Schrödinger-Gleichung
# 13 Antwort
Der Hamilton-Operator für ein freies Teilchen (also V = 0) lautet
die mit dem Ansatz
gelöst werden kann.
− 2
2m ∇2 φ = Eφ, (25)
φ(r) = Ae ikr (26)
Ĥ = ˆp2
2m = − 2 ∆. (24)
2m
# 16 Antwort
Bei E k handelt sich um einen uneigentlichen Zustand. Es gibt keine Wahl von A ≠ 0, die zu
∫
|φ k (r)| 2 d 3 r = 1 (30)
führt, weil
divergiert. Abhilfe schafft die δ-Normierung
Orthogonalität:
Vollständigkeit:
∫R 3 |φ k (r)| 2 d 3 r = |A| 2 ∫
∫
R 3 d 3 r (31)
d 3 r φ ∗
R 3 k (r)φ k ′(r) = δ(k − k′ ), (32)
∫
d 3 r φ k (r)φ ∗
R 3 k (r′ ) = δ(r − r ′ ). (33)
# 15 Antwort
Die Eigenlösungen (d. h. die Eigenwerte und Eigenfunktionen) des freien Teilchens sind also
E k = 2 k 2
2m = ω k, (27)
1
φ k (r) =
(2π) 3/2 eikr , (28)
ψ k (r, t) =
1
(2π) 3/2 ei(kr−ω kt) . (29)

Quantenmechanik # 17 Freies Teilchen
Quantenmechanik # 18 Freies Teilchen
Eigenfunktion des Freien Teilchens
Wellenpaket
Quantenmechanik # 19 Freies Teilchen
Quantenmechanik # 20 Harmonischer Oszillator
Dreidimensionales Gauß’sches Wellenpaket
Harmonischer Oszillator

# 18 Antwort
Die Beschreibung eines freien Teilchens durch periodische Randbedingungen oder durch den Einschluss
in ein endliches Volumen V macht die Rechnung zwar bequem, aber weder ein Kasten mit undurchdringlichen
Wänden, noch periodischen Randbedingungen scheint einem realen freien Teilchen angemessen.
Da die Schrödinger-Gleichung linear ist, ist mit jeder Eigenlösung ψ k der zeitabhängigen Schrödinger-
Gleichung auch die Überlagerung dieser Eigenlösungen eine Lösung
∫
ψ(r, t) = d 3 k A(k)ψ k (r, t) =
∫
1
=
d 3 k A(k)e i(kr−ωkt) . (37)
(2π) 3/2
φ(r) und A(k) sind Fourier-Transformierte von einander. Das entspricht einer sog. Darstellung im Ortsraum
bzw. im Impulsraum.
# 17 Antwort
Mit δ-Normierung:
Im Kasten V = L xL yL z:
ψ k (r, t) =
1
(2π) 3/2 ei(kr−ω kt) . (34)
ψ n(r, t) = 1 √
V
e i(knr−ωnt) , k α,nα = π
L α
n α, n α ∈ N 0 . (35)
Mit periodischen Randbedingungen, V = L xL yL z:
ψ n(r, t) = 1 √
V
e i(knr−ωnt) ,
k α,nα = 2π
L α
n α, n α ∈ Z. (36)
Eindimensionales Gauß’sches Wellenpaket Ein Beispiel für ein Wellenpaket ist das Gauß’sche Wellenpaket,
bei welchem die Wellenvektoren eine Gauß-förmige Verteilung um den Wellenvektor k 0 haben
√ a
A(k) = √π e −(k−k 0 )2 a 2 /2 , (38)
φ(x) =
1
√
a
√ π
e −x2 /2a 2 e ik 0x . (39)
Diskrete Energieeigenwerte
s. o.
Bei periodischen Randbedingungen erhält man diskrete Energieeigenwerte,
# 20 Antwort
Der harmonische Oszillator ist ein idealisiertes System für verschiedene Anwendungen. Im Beispiel eines
zweiatomigen Moleküls ist die potentielle Energie V (r) eine Funktion des Abstandes r der beiden Atome,
und bei kleinen Auslenkungen aus dem Potentialminimum r 0 kann man um r 0 entwickeln
V (r) = V (r 0 ) + (r − r 0 )V ′ (r 0 ) + 1 2 (r − r 0) 2 V ′′ (r 0 ) + . . . (43)
Der Energie-Nullpunkt kann beliebig gewählt werden V (r 0 ) = 0. In der Minimumslage r 0 verschwindet
die Kraft V ′ (r 0 ) = 0. Der Entwicklungskoeffizient des harmonischen Terms wird oft als Kraftkonstante
V ′′ (r 0 ) = k beziechnet. Die höheren, anharmonischen Terme werden gegenüber dem harmonischen Term
vernachlässigt. Wählt man schließlich noch r 0 = 0, d. h. x = r − r 0 , setzt, ist die potentielle Energie eine
um den Urpsrung symmetrische Parabel
V (x) = 1 2 kx2 . (44)
# 19 Antwort
Weil der Hamilton-Operator des freien Teilchens im R 3 als Summe geschrieben werden kann
H = H x + H y + H z =
mit H α wie im Fall des freien Teilchens im R 1 , kann man die Eigenfunktionen im R 3 als Produkt der
Eigenfunktionen im R 1 schreiben
A(k) =
3∏
3∑
α=1
p 2 α
2m
(40)
( ) 3/2
a
A α(k α) = √π e −(k−k 0 )2 a 2 /2 , (41)
α=1
3∏
1
φ(r) = φ α(α) =
(a √ π) 3/2 e−r2 /2a 2 e ik0r . (42)
α=1
Abbildung 1: (l.) Interatomares Molekül-Potential (ausgezogen) und Näherung durch ein harmonisches
Potential (gestrichelt),
(r.) Harmonisches Potential in der Standard-Konfiguration

Quantenmechanik # 21 Harmonischer Oszillator
Quantenmechanik # 22 Harmonischer Oszillator
Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators
Rekursionsmethode beim harmonischen Oszillator
Quantenmechanik # 23 Harmonischer Oszillator
Quantenmechanik # 24 Harmonischer Oszillator
Stufenoperator
Stufenoperatoren: Rückkehr zu den ursprünglichen Operatoren

# 22 Antwort
Die Lösung des Eigenwertproblems mit der Rekursionsmethode besteht aus mehreren Schritten:
1. Bestimmung des asymptotischen Verhaltens φ as(x) am Rand des Definitionsbereichs. Die Wellenfunktion
φ(x) lässt sich dann in der Form φ(x) = φ as(x)φ P (x) schreiben.
2. Potenzreihenentwicklung von φ P (x) = ∑ ν cνxν .
3. Untersuchung des Konvergenzverhaltens der Potenzreihe. Im Allgemeinen wird die Potenzreihe,
abhängig von der Energie E bzw ε als Parameter, divergieren.
4. Die Normierbarkeitsbedingung erfordert das Abbrechen der Potenzreihe nach dem Term mit ν = n
(für verschiedene n) und macht aus der Potenzreihe ein Polynom. Die Abbruchbedingung stellt sich
als eine Bedingung an die Energie E bzw. ε dar.
Die Eigenwerte sind dann
und die Eigenfunktionen sind
ε n = n + 1 2 , En = ω 0
(
n + 1 )
, n ∈ N 0 , (49)
2
√ α
φ n(x) =
2 n n! √ π Hn(αx)e−α2 x 2 /2 , (50)
# 21 Antwort
Der Hamilton-Operator für ein Teilchen in einem harmonischen Potential ist
Schrödinger-Gleichung
H = p2
2m + 1 2 kx2 = p2
2m + mω2 x 2
. (45)
2
Damit ergibt sich für die Schrödinger-Gleichung
(− 2 d 2
2m dx 2 + 1 )
2 kx2 φ(x) = Eφ(x). (46)
Es ist geschickt, die Schrödinger-Gleichung durch eine Koordinatentransformation
ε =
E
√ mω0
, ξ = αx, α =
ω 0
auf die folgende Form zu bringen
(47)
( d 2
)
dξ 2 − ξ2 + 2ε ˜φ(ξ) = 0. (48)
mit den Hermite-Polynomen
H n(ξ) =
n∑
ν=0
(51) a νξ ν 2(ν − n)
, a ν+2 = a ν
(ν + 1)(ν + 2) . # 23 Antwort
# 24 Antwort
Die Umkehrung ist
Kommutator-Relation
√
(
x =
a + a †) , (55)
2mω 0
√
mω0
(
p = −i a − a †) . (56)
2
Die Operatoren a und a † erfüllen die Kommutator-Relation
[
a, a †] = 1 (57)
Mit den bereits angesprochenen Koordinatentransformationen kann man den Hamilton-Operator für den
harmonischen Oszillator auch folgendermaßen darstellen
H = p2
2m + kx2
2 = − 2
= ω 0
2
)
(ξ 2 − d2
dξ 2 = ω 0
2
d 2
2m dx 2 + mω2 0 x2 =
2
[(
ξ − d dξ
) (
ξ + d ) ]
+ 1 . (52)
dξ
Nun führt man geschickterweise neue Operatoren, dei sog. Leiter-, bzw. Stufenoperatoren ein
a = √ 1 (
ξ + d ) √ √
mω0
=
2 dξ 2 · x + i 1
· p,
2mω 0
(53)
a † = √ 1 (
ξ − d ) √ √
mω0
=
2 dξ 2 · x − i 1
· p.
2mω 0
(54)

Quantenmechanik # 25 Harmonischer Oszillator
Quantenmechanik # 26 Harmonischer Oszillator
Hamilton-Operator mit Stufenoperatoren
Eigenschaften der Leiteroperatoren
Quantenmechanik # 27 Harmonischer Oszillator
Quantenmechanik # 28 Harmonischer Oszillator
Anwednung der Stufenoperatoren: Erwartungswerte
Zeichnung der Wellenfunktionen und Energien des harmonischen
Oszillators

# 26 Antwort
Für die Stufenoperatoren gelten folgenden Gleichungen
aφ n = √ nφ n−1 , (59)
aφ 0 = 0, (60)
a † φ n = √ n + 1φ n+1 , (61)
φ n = 1 √
n!
(a †) n
φ0 . (62)
# 25 Antwort
Der Hamilton-Operator nimmt mit den Stufenoperatoren die folgende Form an
(
H = ω 0 a † a + 1 )
. (58)
2
# 28 Antwort
Die Wellenfunktion φ n hat n Knoten. Die klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit kommt hier als Grenzfall
für hohe Quantenzahlen heraus und stellt ein Beispiel für das Korrespondenzprinzip dar.
Abbildung 2: (l.) Potential, Energieniveaus und Wellenfunktionen der niederenergetischen Zustände des
harmonischen Oszillators,
(r.) Klassische (gestrichelte) und quantenmechanische (ausgezogene) Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
des Zustandes mit der Quantenzahl n = 10
# 27 Antwort
Die Verwendung der Stufenoperatoren erleichtert die Berechnung von Erwartungswerten ungemein.
〈
x
2 〉 n = 〈 φ n|x 2 〉
|φ n =
= 〈
φ n|
(a + a †) 〉
2
|φn =
2mω 0
= 〈
〉
φ n|a 2 + aa † + a † a + (a † ) 2 |φ n =
2mω 0
= [0 + (n + 1) + n + 0] =
2mω 0
= (2n + 1). (63)
2mω 0
〈
p
2 〉 n = mω 0
(2n + 1) = (mω 0 ) 2 〈 x 2〉 2
n . (64)
Im quantenmechanischen Grundzustand ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit Gaußförmig verteilt. Das
Maximum ist bei x = 0 (wo klassisch das Minimum ist) und nicht an den klassischen Umkehrpunkten.
Auch in den klassisch verbotenen Gebieten x mit E < V (x), also außerhalb der klassischen Umkehrpunkte,
ist die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit ungleich Null.

Quantenmechanik # 29 Stückweise konstante Potentiale
Quantenmechanik # 30 Stückweise konstante Potentiale
Konstantes eindimensionales Potential
Die eindimensionale Potentialstufe
Quantenmechanik # 31 Stückweise konstante Potentiale
Quantenmechanik # 32 Stückweise konstante Potentiale
Lösung der Schrödinger-Gleichung bei einer eindimensionalen
Potentialstufe
Streuung (eindimensional)

# 30 Antwort
# 29 Antwort
Anschlussbedingungen
Es werde eine Potentialstufe an der Stelle x = 0 betrachtet. Es sei
{
V 1 x < 0
V (x) =
V 2 x > 0 . (68)
Abbildung 4: Die eindimensionale Potentialstufe
Die Eigenlösungen der Schrödinger-Gleichung
für konstante Potentiale sind ebene Wellen
p 2
2m φ(x) = (E − V i)φ(x), x ∈ X i (65)
φ i (x) = a i e ikix + b i e −ikix , x ∈ X i (66)
⎧√ ⎨ 2m
k i =
2 (E − V i ) E > V i
√ . (67)
⎩iκ i = i 2m
2 (V i − E) E < V i
Wenn die Energie E kleiner ist als das Minimum des Potentials für asymptotisch große Abstände (d. h.
V i < E < V ∞ und V i < E < V −∞ für mindestens ein i im eindimensionalen Fall), erhält man eigentliche
Zustände mit diskreten, aus der Normierbarkeitsbedingung bestimmten Eigenwerten E.
Wenn E größer ist als eines der asymptotischen V i (d. h. E > V ∞ oder E > V −∞ im eindimensionalen
Fall), dann erhält man uneigentliche Zustände mit kontinuierlichen Werten E.
Abbildung 3: Ein (fast) willkürlich gewähltes eindimensionales Potential und der Charakter der Zustände
Das Problem ist es, die Wellenfunktionen der verschiedenen Bereiche X i aneinander anzuschließen. Die
allgemeine (normierbare) Lösung ist dann die Überlagerung der Eigenlösungen.
# 32 Antwort
Der erste Fall ist V 1 < V 2 < E. Man erhält mit b 2 = 0 und in Abhängigkeit der vorgegebenen Amplitude
a 1
a 2 = 2k 1
k 1 + k 2
a 1 , b 1 = k 1 − k 2
k 1 + k 2
a 1 . (74)
Das Verhältnis der Amplituden reflektierten bzw. der transmittierten Welle relativ zur einfallenden ist
t 21 = a 2
a 1
= 2k 1
k 1 + k 2
, r 21 = b 1
a 1
= k 1 − k 2
k 1 + k 2
. (75)
# 31 Antwort
Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind von der Form
φ i (x) = a i e ikix + b i e −ik ix
(69)
⎧√ ⎨ 2m
k i =
2 (E − V i ) E > V i
√ , (70)
⎩iκ i = i 2m
2 (V i − E) E < V i
wie wir sie bereits im vorhergehenden Abschnitt behandelt haben.
Da der Sprung endlich ist, lauten die Anschlussbedingungen
φ 1 (0) = φ 2 (0) ⇒ a 1 + b 1 = a 2 + b 2 , (71)
φ ′ 1 (0) = φ′ 2 (0) ⇒ ik 1(a 1 − b 1 ) = ik 2 (a 2 − b 2 ). (72)
Liegt die Stufe bei x = a statt bei x = 0, so setzt man
( ) ( a1 a1 e
→
ik )
1a
b 1 b 1 e −ik ,
1a
( ) ( a2 a2 e
→
ik )
2a
b 2 b 2 e −ik . (73)
2a
Man unterscheidet zwei Fälle:
V 1 < V 2 < E ⇒ k 1 und k 2 reell,
V 1 < E < V 2 ⇒ k 1 reell und k 2 imaginär.

Quantenmechanik # 33 Stückweise konstante Potentiale
Quantenmechanik # 34 Stückweise konstante Potentiale
Tunneln
Stromdichten
Quantenmechanik # 35 Stückweise konstante Potentiale
Quantenmechanik # 36 Potentialbarriere, Potentialtopf
Reflexions- und Transmissionsvermögen
Potentialbarriere

# 34 Antwort
# 33 Antwort
Mit b 2 = 0 erhält man die Stromdichten
j 1 = k 1
m
(
|a1 | 2 − |b 1 | 2) = j e + j r, (76)
j e = k 1
m |a 1| 2 , (77)
j r = − k ∣ ∣
1
∣∣∣
m |b 1| 2 b 1 ∣∣∣ 2 ∣ ∣ ∣∣∣ k 1 − k 2 ∣∣∣ 2
= −j e = −j e , (78)
a 1 k 1 + k 2
Im zweiten Fall V 1 < E < V 2 kann es im Gegensatz zum ersten behandelten Fall keine aus dem Gebiet
x > 0 einfallende Welle geben, sondern nur eine von der Grenzfläche weg exponentiell abklingende Welle
mit k 2 = iκ 2 . Die zweite Lösung mit exponentiell ansteigender Amplitude muss aus Normierungsgründen
ausgeschlossen werden (b 2 = 0).
(79) j t = k 2
m |a 2| 2 = 4k 1k 2
(k 1 + k 2 ) 2 je. # 35 Antwort
# 36 Antwort
Gegeben sei ein Potential
⎧
⎪⎨ V 1 x < x 1
V (x) = V 2 x 1 < x < x 2 . (83)
⎪⎩
V 3 x 2 < x
Die Anschlussbedingungen für die erste Stufe ist bereits aus dem vorher behandelten Fall bekannt. Die
für die zweite Stufe ist ähnlich. Der Übersicht halber behandeln wir lediglich folgenden Spezialfall.
Symmetrischer Potentialtopf
Das Potential ist dann
Es sei nun V 1 = V 3 = 0 und x 1,2 = ∓a = ∓1/2L.
V (x) =
{
0 |x| > a = 1/2L
V 0 |x| < a = 1/2L , (84)
Das Reflexions- und Transmissionsvermögen ist
∣ T =
j t ∣∣∣ k 2 ∈R 4k 1 k 2
∣ =
j e (k 1 + k 2 ) 2 , (80)
∣ R =
j t ∣∣∣ k 2 ∈R
∣ = (k 1 − k 2 ) 2
j e (k 1 + k 2 ) 2 , (81)
R + T = 1. (82)
Im klassischen Fall wird ein Teilchen mit Energie E < V 2 total reflektiert. Auch im quantenmechanischen
Fall verschwindet die Stromdichte im Gebiet x > 0. Allerdings ist im quantenmechanischen Fall im
Gegensatz zum klassischen Fall die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Gebiet x > 0 ungleich Null.
und es gilt
√
2mE
k 1 = k 3 =
2 , (85)
√
2m(E − V0 )
k 2 =
2 , (86)
k 2 1 − k2 2 = 2m
2 V 0. (87)

Quantenmechanik # 37 Potentialbarriere, Potentialtopf
Quantenmechanik # 38 Potentialbarriere, Potentialtopf
Lösung der Schrödinger-Gleichung bei einer eindimensionalen
Potentialbarriere
Lösung der Schrödinger-Gleichung bei einer eindimensionalen
Potentialbarriere Innerhalb des Kastens
Quantenmechanik # 39 Potentialbarriere, Potentialtopf
Quantenmechanik # 40 Potentialbarriere, Potentialtopf
Lösung der Schrödinger-Gleichung bei einer eindimensionalen
Potentialbarriere Außerhalb des Kastens
Gebundene Eigenzustände im Potentialtopf: Energien

# 38 Antwort
Die stationäre Schrödinger-Gleichung entspricht innerhalb des Kastens der eines freien Teilchens. Man
erhält für die Energien
E = 2 k 2
# 37 Antwort
Der Hamilton-Operator des eindimensionalen Problems lautet in Ortsdarstellung
{
H = − 2 d 2
2m dx 2 + V (x), V (x) = 0 0 ≤ x ≤ L
∞ x < 0, x > L . (88)
2m . (92) Die Schrödinger-Gleichung
i ∂ ψ(x, t) = Hψ(x, t) (89)
∂t
geht mit dem Ansatz
ψ(x, t) = φ(x)e −iEt/ (90)
in die zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung
Hφ(x) = Eφ(x) (91)
über, welche im Folgenden zu lösen sein wird (Eigenwertproblem des Hamilton-Operators).
# 39 Antwort
# 40 Antwort
Weil Teilchen innerhalb eines Potentialkastens nur in bestimmten einzelnen Zuständen n existieren
können, können sie auch nur bestimmte diskrete, von n abhängige Energiewerte haben. Dies gilt auch bei
endlich hohen Wänden.
Für die Energie eines Teilchens in Abhängigkeit von n gilt damit mit den bereits berechneten Beziehungen:
E n = 2 kn
2
2m = 2 π 2
2mL 2 = h2
8mL 2 n2 , n ∈ N. (97)
Daraus lassen sich drei Schlussfolgerungen ziehen, die das Teilchen im Potentialkasten qualitativ beschreiben:
1. Die Energie des Teilchens ist proportional dem Quadrat der Quantenzahl n: E ∝ n 2 .
2. Je länger der Potentialkasten, desto kleiner ist die Energie des Teilchens: E ∝ L −2 .
3. Je länger der Potentialkasten, desto geringer ist die Differenz zwischen zwei Energieniveaus E n und
E n+1 .
Außerhalb des Kastens muss die Wellenfunktion aufgrund des unendlich hohen Potentials identisch Null
sein. Da die Wellenfunktion jedoch überall stetig sein muss, werden somit Randbedingungen an die
Wellenfunktion im Kasten gestellt, nämlich dass die Wellenfunktion ? an den Wänden gleich 0 ist
φ(0) = φ(L) = 0. (93)
Aus der ersten Randbedingung folgt für die Wellenfunktion innerhalb des Kastens
φ(x) = A sin(kx). (94)
Mit der zweiten Randbedingung folgt, dass die Wellenzahl k nur diskrete Werte k n annehmen darf. Es
gilt
Normierung
0 = φ(L) = A sin(kL) ⇒ k = k n = π n, n ∈ N. (95)
L
Durch die Normierungsbedingung lässt sich die Amplitude A bestimmen. Man erhält
A =
√
2
L . (96)

Quantenmechanik # 41 Potentialbarriere, Potentialtopf
Quantenmechanik # 42 Potentialbarriere, Potentialtopf
Dreidimensionaler Potentialtopf: Entartung
Entartung beim Dreidimensionalen Potentialtopf
Quantenmechanik # 43 Potentialbarriere, Potentialtopf
Quantenmechanik
# 44 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Endlich hoher Potentialtopf
Schwerpunkts- und Relativbewegung

# 42 Antwort
Man spricht von Entartung, wenn unterschiedliche Wellenfunktionen dieselbe Energie besitzen. Das bedeutet
für den Quader, dass unterschiedliche Quantenzahlen n i zu derselben Summe führen.
So ist z. B. der Grundzustand nicht entartet, der 1. angeregte Zustand jedoch bereits dreifach entartet
E (2,1,1) = E (1,2,1) = E (1,1,2) = 6 2 π 2
# 41 Antwort
Im dreidimensionalen Kasten (Quader) sieht der Hamilton-Operator wie folgt aus
Separationsansatz
Ein Separationsansatz
3∑
H =
(− 2 d 2
2m dx 2 i=1
i
)
+ V i (x i ) . (98)
2mL 2 . (102) # 43 Antwort
φ(r) = φ 1 (x 2 )φ 2 (x 2 )φ 3 (x 3 ) (99)
separiert das Problem in drei eindimensionale Probleme, da die eindimensionalen Hamiltonoperatoren H i
jeweils nur auf eine der Funktionen φ i (x i ) wirken.
Quader
Die Gesamtlösung ist für den Spezialfall L = L 1 = L 2 = L 3 ist
E n1 ,n 2 ,n 3
= 2 π 2 ( n 2 )
1
2m L 2 + n2 2
L 2 + n2 3
L 2 =
= 2 π 2 (
n
2
2mL 2 1 + n 2 2 + n 2 )
3 , (100)
{∏ 3
(√ 2/L
i=1 sin ( n i πx i/L))
0 ≤ x i ≤ L
φ(r) = . (101)
0 sonst
# 44 Antwort
Das übliche Potential in einem Zweiteilchen-Problem hängt nur vom Abstand der beiden Teilchen ab
Der Hamilton-Operator ist dann von der Form
V (r 1 , r 2 ) = V (r 1 − r 2 ) = V (r) = V (r). (103)
H = p2 1
2m 2
+ p2 2
2m 2
+ V (r 1 − r 2 ). (104)
Es ist geschickt für die Betrachtung dieses Problems analog zur Mechanik die Schwerpunkts- und die
Relativkoordinaten einzuführen
mit der Gesamtmasse M und der Umkehrung
R = m 1r 1 + m 2 r 2
= m 1r 1 + m 2 r 2
, (105)
m 1 + m 2 M
r = r 1 − r 2 . (106)
r 1 = R + m 2
M r = R + µ m 1
r, (107)
r 2 = R − m 1
M r = R − µ r,
m 2
(108)
1
µ = 1 + 1 .
m 1 m 2
(109)
mit der reduzierten Masse µ. Man kann auch die entsprechenden Impulse P bzw. p einführen
Im unendlich hohen Potentialtopf ist die Wellenfunktion außerhalb des Topfes gleich Null. Im endlich
hohen Potentialtopf ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein Teilchen außerhalb des Potentialtopfes
(= klassisch verbotenes Gebiet) ungleich Null.
Abbildung 5: Die endlich hohe, eindimensionale Potentialstufe
Beim Übergang vom unendlich hohen Potentialtopf zum endlich hohen Potentialtopf rücken die Energien
näher zusammen.
P = p 1 + p 2 = i ∇ R, (110)
p = m 2
M p 1 − m 1
M p 2 = µ p 1 − µ p 2 = ∇r. (111)
m 1 m 2 i

Quantenmechanik
# 45 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Quantenmechanik
# 46 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Separationsansatz beim Zweiteilchen-Problem
Schwerpunktsbewegung beim Zweiteilchen-Problem
Quantenmechanik
# 47 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Quantenmechanik
# 48 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Zentralpotential: Radial- und Winkelbewegung: Energie
Zentralpotential: Radial- und Winkelbewegung: Schrödinger-Gleichung

# 46 Antwort
Der Hamilton-Operator des des Schwerpunkts und damit die Bewegung des Schwerpunkts ist der bzw.
die eines freien Teilchens mit der Gesamtmasse M mit den bereits bekannten Eigenlösungen
φ SP
K (R) = 1
(2π) 3/2 eiKR , (119)
E SP
K = 2 K 2
# 45 Antwort
Daraus folgt eine Separation des Hamilton-Operators in der Form
H(R, r, P, p) = P2
2M + p2
2µ + V (r) =
= H SP (R, P) + H rel (r, p), (112)
H SP (R, P) = P2
2M , (113)
H rel (r, p) = p2 + V (r). (114)
2µ
2M . (120) # 47 Antwort
Da jeder dieser beiden Operatoren von genau den Koordinaten eines Teilchens abhängt, kann auch die
Schrödingergleichung des Gesamtproblems separiert werden und man erhält
Φ(R, r) = φ SP (R)φ rel (r), (115)
(
H SP − E SP) φ SP (R) = 0, (116)
(
H rel − E rel) φ rel (r) = 0, (117)
E SP + E rel = E. (118)
# 48 Antwort
Es bezeichnet I = µr 2 das Trägheitsmoment des Moleküls im Abstand r. Die Schrödinger-Gleichung kann
damit in der Form
]
[− 2 L2
∆r +
2µ 2µr 2 + V (r) − E φ(r, ϕ, θ) = 0 (130)
geschrieben werden.
Die kinetische Energie kann wie im klassischen Fall in einen Radial- und einen Winkelanteil aufgespalten
werden. Im klassischen Fall hat man
T + R rad + T rot = µṙ2
2 + L2
2µr 2 , (121)
und im quantenmechanischen Fall ist der Operator der kinetischen Energie unter sphärischen Polarkoordinaten
Damit ist
T = − 2 ∆, (122)
2µ
∆ = ∆ r + ∆ θ,ϕ , (123)
∆ r = 1 ∂ ∂
r 2 ∂r r2 ∂r = ∂2
∂r 2 + 2 r
∆ θ,ϕ = 1
sin θ
∂
∂θ sin θ ∂ ∂θ + 1
sin 2 θ
∂
∂r , (124)
∂ 2
∂ϕ 2 . (125)
T rad = − 2 ∆r, (126)
2µ
T rot = − 2
2µ ∆ θ,ϕ = 1 L 2
2 µr 2 , (127)
( ) 2 [ 1
L 2 ∂
=
i sin θ ∂θ sin θ ∂ ∂θ + 1 ∂ 2 ]
sin 2 θ ∂ϕ 2 , (128)
L z = ∂
i ∂ϕ . (129)

Quantenmechanik
# 49 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Quantenmechanik
# 50 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Separation der Radial- und Winkelbetrachtung
Starrer Rotator
Quantenmechanik
# 51 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Quantenmechanik
# 52 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Eigenschaften des Drehimpulsoperators
Algebraische Behandlung des Drehimpulsoperators

# 50 Antwort
# 49 Antwort
Wir sprechen vom starren Rotator, wenn wir das Trägheitsmoment als zeitlich konstant annehmen und
die kinetische Energie nur aus dem Rotationsanteil besteht
H = T rot = L2
2I . (134)
Mit dem Separationsansatz
erhält man die beiden Gleichungen
φ(r, ϕ, θ) = R(r)Y (ϕ, θ) (131)
Eigenlösungen zum Drehimpuls Die Eigenlösungen, also die Eigenwerte und Eigenfunktionen zum Operator
L 2 und zum Operator L z der z-Komponente des Drehimpulses sind die Kugelflächenfunktionen mit
den Eigenwertgleichungen
L 2 Y lm = 2 l(l + 1)Y lm , l ≥ 0, (135)
L zY lm = mY lm , − l ≤ m ≤ l. (136)
Damit genügen die Eigenlösungen der Schrödinger-Gleichung
L 2
2I Y lm(ϕ, θ) = 2 l(l + 1)
Y lm (ϕ, θ) = E l Y lm (ϕ, θ). (137)
2I
Die Ganzzahligkeit der Quantenzahlen l rührt von der Normierbarkeit der Kugelflächenfunktion her, die
Ganzzahligkeit der Quantenzahl m von der Eindeutigkeit der Kugelflächenfunktion.
Die Quantenzahl l wird als Drehimpulsquantenzahl bezeichnet und steht für den Betrag des Drehimpulses
als Erhaltungsgröße. Ohne ausgezeichnete Richtung sind die Energie unabhängig von der Quantenzahl m.
Zeichnet man eine Richtung z. B. durch Anlegen eines äußeren Magnetfeldes aus, dann sind die Energien
auch von der Quantenzahl m abhängig, woher der Name Magnetquantenzahl herrührt.
Die Abstände benachbarter Energie sind
[
L 2 − λ ] Y (ϕ, θ) = 0, (132)
[− 2
2µ ∆r + λ
]
2µr + V (r) − E R(r) = 0. (133)
Dabei ist λ eine Separationskonstante, die durch die Lösung von Gleichung (132) festgelegt wird.
(138) ∆E l = E l+1 − E l = 2
I l. # 51 Antwort
# 52 Antwort
Weiterhin gilt
J 2 |jm〉 = j(j + 1) |jm〉 , (153)
J z |jm〉 = m |jm〉 , (154)
J ± |jm〉 = √ j(j + 1) − m(m ± 1) |j, m ± 1〉 . (155)
Mit der Definition
gelten folgende Eigenschaften
L α = ɛ αβγ x β pγ, (139)
L ± = L x ± iL y, (140)
L = J. (141)
J † i = J i, (142)
J † ± = J ∓, (143)
J 2 = Jx 2 + Jy 2 + Jz 2 =
= J − J + + J z + Jz 2 . (144)
Drehimpuls-Vertauschungsrelationen
Es gelten die folgenden Kommutatoren
[
Jα, J β
]
= iɛαβγ J γ, (145)
[
J± , J 2] = [ J α, J 2] = 0, (146)
[J + , J − ] = 2J z, (147)
[J z, J ± ] = ±J ± , (148)
[
J 2 , J ± J ∓
]
= 0, (149)
[J z, J ± J∓] = 0, (150)
[L α, xβ] = iɛ αβγ x γ, (151)
[L α, pβ] = iɛ αβγ p γ. (152)

Quantenmechanik
# 53 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Quantenmechanik
# 54 Zentralsymmetrische Potential, Bahndrehimpuls
Radialbewegung im zentralsymmetrischen Potential
Teilchen im Coulomb-Potential
Quantenmechanik # 55 Teilchen im elektro-magnetischen Feld
Quantenmechanik # 56 Teilchen im elektro-magnetischen Feld
Vektorpotential eines homogenen Magnetfeldes
Hamilton-Operator des elektro-magnetischen Feldes

# 54 Antwort
Die Eigenenergien für ein Teilchen im Coulomb-Potential
sind
V (r) = − 1 Ze 2
[4πε 0 ] r
E n = − µ 2
( e 2
[4πɛ 0 ]
) 2 Z 2
(158)
# 53 Antwort
Schrödinger-Gleichung Mit der Separationskonstante λ = 2 l(l+1) aus der Lösung der Winkelbewegung
erhält man für die Schrödinger-Gleichung für die Relativbewegung
]
[− 2
2µ ∆r + 2 l(l + 1)
2µr 2 + V (r) − E R(r) = 0. (156)
Wie im klassischen Fall wird der zweite Term 2 l(l+1)
2µr 2 auch Zentrifugalpotential genannt. Die Summe
aus dem zweiten und dem dritten Term stellt ein effektives Potential für die Radialbewegung dar
V eff (r) = V (r) + 2 l(l + 1)
2µr 2 . (157)
n 2 . (159) # 55 Antwort
Die Magnetquantenzahl m kommt in der Gleichung nicht vor. Weil die Magnetquantenzahl 2l + 1 verschiedene
Werte annehmen kann, ist im Fall zentralsymmetrischer Potential der Zustand mit der Drehimpulsquantenzahl
l daher (2l + 1)-fach entartet.
Wegen [H, L] = [H, L 2 ] = [L α, L 2 ] = 0 kann man ein gemeinsames System von Eigenfunktionen für
die Operatoren H, L 2 und L α wählen. Allerdings gibt es wegen [L α, L β ] = iɛ αβγ L γ kein gemeinsames
System für verschiedene Komponenten des Drehimpulses.
# 56 Antwort
Man kann den Effekt eines Magnetfeldes durch die sog. minimale Ersetzung
p → π = p − qA,
A = [c]
c A (165)
berücksichtigen. Man erhält dann für den Hamilton-Operator eines Teilchens im Magnetfeld
H = π2
2m + V (r) =
= 1
2m (p − qA)2 + qΦ. (166)
Es sei die z-Richtung in Richtung des Magnetfeldes gewählt, B = (0, 0, B). Das zum Magnetfeld gehörige
Vektorpotential A kann auf verschiedene Weisen dargestellt werden
Landau-Eichung
A = B(−γy, (1 − γ)x, 0). (160)
Die Wahl γ = 0 oder γ = 1 nennt man Landau-Eichung
A = B(0, x, 0), A = B(−y, 0, 0), (161)
weil sie eine bequeme Eichung bei der Berechnung der Landau-Niveaus eines freien Teilchens im Magnetfeld
darstellt.
Symmetrische Eichung
Die Wahl γ = 1/2 nennt man die symmetrische Eichung
A = 1 B × r. (162)
2
Coulomb-Eichung
Für alle Formen von Gleichung (160) ist die Coulomb-Eichung erfüllt
∇ · A = 0. (163)
Deshalb vertauscht der Operator des kanonischen Impulses mit dem Vektorpotential
p · A = A · p. (164)

Quantenmechanik # 57 Wasserstoffatom
Quantenmechanik # 58 Wasserstoffatom
Quantenmechanische Betrachtung des Wasserstoffatoms
Schrödinger-Gleichung des Wasserstoffproblems
Quantenmechanik # 59 Wasserstoffatom
Quantenmechanik # 60 Wasserstoffatom
Kugelflächenfunktionen
Eigenwerte des Wasserstoffatoms

# 58 Antwort
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffproblem heißt
Eφ(r) = − 2
2m ∆φ(r) −
e2 1
φ(r). (167)
4πε 0 r
Die Separation dieser Gleichung in Kugelkoordinaten führt zu drei Gleichungen, die von jeweils nur einer
der Koordinaten r, θ, ϕ abhängen. Eine vollständige Lösung φ(r) ergibt sich als das Produkt der Lösungen
dieser drei Gleichungen
φ nlm (r, θ, ϕ) = R nl (r)Y lm (θ, ϕ). (168)
Mit dem bereits bekannten Separationsansatz ergibt sich die radiale Schrödingergleichung
[− 2 d 2
]
2m e dr 2 − e2
4πε 0 r + 2 l(l + 1)
2m e r 2 − E R(r) = 0. (169)
# 57 Antwort
Die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung kann aufgrund der Kugelsymmetrie der elektromagnetischen
Wechselwirkung in drei unabhängige Gleichungen separiert werden. Jede der drei Einzelgleichungen kann
mathematisch exakt gelöst werden.
Die wichtigste Gleichung ergibt die Energiezustände und Energiewerte des Elektrons im Wasserstoffatom;
es ist üblich, die verschiedenen diskreten Energiewerte über die Hauptquantenzahl n als E n zu bezeichnen.
Der tiefste Energiezustand ist E 1 .
Die beiden anderen Gleichungen enthalten die Winkelabhängigkeit (Bahndrehimpulsquantenzahl, magnetische
Quantenzahl).
Das Wasserstoffproblem ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, die sich exakt berechnen
lassen.
# 60 Antwort
Energieeigenwerte
Drehimpulseigenwerte
Die Energieeigenwerte sind
Die Drehimpulseigenwerte sind
Hφ nlm = E nφ nlm . (172)
E n = − e2 Z 2
8πε 0 a 0
1
n 2 . (173)
L 2 φ nlm = 2 l(l + 1)φ nlm . (174)
# 59 Antwort
Dabei sind Y lm (θ, ϕ) die Kugelplächenfunktionen
Y lm (θ, ϕ) =
und P l (z) die zugeordneten Legendre-Polynome
√
2l + 1 (l − m)!
4π (l + m)! P l m (cos θ)e imϕ (170)
P l (z) = 1 d l
2 l l! dz l (z2 − 1) l . (171)
Magnetische Eigenwerte
Die magnetischen Eigenwerte sind
L zφ nlm = mφ nlm . (175)

Quantenmechanik # 61 Wasserstoffatom
Quantenmechanik # 62 Wasserstoffatom
Entartung des Wasserstoffatoms
Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms
Quantenmechanik # 63 Kontinuitätsgleichung in der Quantenmechanik
Quantenmechanik # 64 Messung
Kontinuitätsgleichung in der Quantenmechanik
Quantenmechanische Messprozesse

# 62 Antwort
Die niedrigsten Orbitale sind gegeben durch die Gleichungen
√ √
4
φ 100 =
a 3 e −r/a 0 1
·
0
4π , (176)
√ ( 1
φ 200 =
8a 3 − r ) √
+ 2 e −r/2a 0 1
·
0 a 0 4π , (177)
√ ( ) √
1 r
φ 210 =
24a 3 e −r/2a 0 3
· cos θ, (178)
0 a 0 4π
√ ( ) √
1 r
φ 2,1,±1 = ∓
24a 3 e −r/2a 0 3
·
0 a 0 8π sin θ · e±iϕ . (179)
# 61 Antwort
Alle Lösungen mit gleichem n besitzen die gleiche Energie. Man sagt daher, sie sind entartet bezüglich
der Quantenzahlen l und m.
Die Entartung bezüglich m gilt für alle kugelsymmetrischen Potentiale, weil dann die Energie eines
Eigenzustandes nicht von der Orientierung des Drehimpulses bezüglich der z-Achse abhängen kann. Die
Entartung bezüglich l hingegen ist eine Besonderheit von 1/r-Potentialen.
# 64 Antwort
Weil die Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsamplitude deterministisch ist, ist nur die Wahrscheinlichkeit
für den Ausgang eines Messprozesses (nicht der Ausgang des Messprozesses selbst) deterministisch.
Mögliche Messwerte einer Observablen F bei einer einzigen Messung sind die Eigenwerte des zugehörigen
selbstadjungierten Operators ˆF = F (ˆr, ˆp, t). Das Eigenwertproblem lautet
ˆF φ n(r) = F nφ n(r). (182)
Für eigentliche Zustände gilt die Orthonormalität 〈φ n|φ m〉 = δ m,n und die Vollständigkeit
# 63 Antwort
Mit Wellenfunktion ψ(r, t) ist die Wahrscheinlichkeitsstromdichte
⃗j = − ı
2m (ψ∗ grad ψ − ψ grad ψ ∗ ) (180)
und mit dem Betragsquadrat der Wellenfunktion ρ(⃗r, t) = |ψ(⃗r, t)| 2 gilt die Kontinuitätsgleichung
∂ρ
+ div⃗j = 0. (181)
∂t
φ(r) = ∑∫ n
φ n(r) 〈φ n|ψ〉 . (183)
Warum steht Masse m im Nenner?
Impuls?

Quantenmechanik # 65 Messung
Quantenmechanik # 66 Messung
Mittelwert
Unschärfe
Quantenmechanik # 67 Messung
Quantenmechanik # 68 Kanonischer und generalisierter Impuls
Zustandsänderung durch Messung: Projektionspostulat
Kanonischer und generalisierter Impuls

# 66 Antwort
Befindet sich das System in einem Eigenzustand einer Observablen, dann ist der Messwert scharf, Eigenwert,
Messwert und Erwartungswert sind gleich, und die Unschärfe
√ 〈( ) 〉 2
∆F ψ = ˆF − 〈F 〉ψ . (185)
ψ
verschwindet.
Zwei Observablen sind genau dann gleichzeitig messbar, wenn ihre zugehörigen Operatoren kommutieren.
# 65 Antwort
Der statistische Mittelwert vieler identischer Messungen an identischen Systemen ist der Erwartungswert
〈
ψ| ˆF
〉
ψ
∑
n
〈F 〉 ψ = =
| 〈φn|ψ〉 |2 F n
. (184)
〈ψ|ψ〉
∑n | 〈φn|ψ〉 |2
Mit dem Mittelwert ist eine mittlere quadratische Abweichung = Varianz verknüpft.
# 68 Antwort
Als Funktion des Ortes und der Geschwindigkeit ist der generalisierte Impuls die Ableitung der Lagrange-
Funktion L nach der Geschwindigkeit ˙q
p j = ∂L
∂ ˙q j
. (189)
Beim Übergang zur Quantenmechanik wird der kanonische Impuls durch den Impulsoperator ersetzt
∂
p j → ˆp j = −i . (190)
∂x j
# 67 Antwort
Ein Quantenobjekt im Zustand |ψ〉 ist mit der Wahrscheinlichkeit 〈ψ|E R (A)|ψ〉 nach der Projektion auf
eine Teilmenge A von möglichen Messergebnissen der Observablen R im Zustand
∣ ψ
′ 〉 = ÊR(A) |ψ〉
‖E R (A)ψ‖ . (186)
Der Zustandsvektor des Objektes wird dabei auf den vorgesehenen Teilbereich des Hilbertraums projiziert
und anschließend normiert.
Beispiel: Wasserstoffatom
Ein Wasserstoffatom befinde sich im Zustand
|ψ〉 = 1/ √ 6 · (2|ψ 100 〉 − |ψ 210 〉 + |ψ 211 〉) . (187)
Eine Messung von E liefert das Ergebnis E = −E R = E 1 . Der Zustand nach der Messung wird von der
Projektion von |ψ〉 auf den zu n = 1 gehörigen Eigenraum beschrieben, also auf |ψ 100 〉. Der normierte
Zustandsvektor nach der Messung ist also |ψ 100 〉.
Bei einer Messung von L z erhält man das Ergebnis Null. Der Zustand nach der Messung ist die Projektion
von |ψ〉 auf den zu m = 0 gehörigen Eigenraum. Der normierte Zustandsvektor nach der Messung ist also
1/ √ 5 · (2|ψ 100 〉 − |ψ 210 〉) . (188)

Quantenmechanik # 69 Kanonischer und generalisierter Impuls
Quantenmechanik # 70 Störungstheorie
Generalisierter Impuls bei Klassischen Bewegungen
Zeitunabhängige Störungstheorie nach Schrödinger
Quantenmechanik # 71 Störungstheorie
Quantenmechanik # 72 Störungstheorie
Bestimmung der Störterme
Stark-Effekt

# 70 Antwort
Anwendbar bei Systemen, bei denen der Hamilton-Operator aus einem diagonalisierbaren Anteil und
genau einer Störung besteht, die beide zeitunabhängig sind
H = H 0 + λH 1 . (197)
Es seien zum ungestörten Hamilton-Operator H 0 die orthonormalen Eigenvektoren ∣ n 0 〉 und Eigenwerte
En 0 bekannt und nicht entartet. Man setzt für die gestörten Eigenwerte und -zustände eine Potenzreihe
in λ an
|n〉 = ∣ ∣ n
0 〉 + λ ∣ ∣ n
1 〉 + λ 2 ∣ ∣ n
2 〉 + . . . (198)
E n = E 0 n + λE1 n + λ2 E 2 n + . . . (199)
Konvergiert diese Reihe, so erhält man den Eigenzustand |n〉 des gestörten Systems und dessen Energie
E n, bzw. durch Abbruch der Reihe eine Approximation der entsprechenden Ordnung an diese. Einsetzen
der Potenzreihe liefert
(H 0 + λH 1 ) (∣ ∣ n
0 〉 + λ ∣ ∣ n
1 〉 + λ 2 ∣ ∣ n
2 〉 + . . . ) =
= (E 0 n + λE 1 n + λ 2 E 2 n + . . .) (∣ ∣ n
0 〉 + λ ∣ ∣ n
1 〉 + λ 2 ∣ ∣ n
2 〉 + . . . ) . (200)
Zusammenfassen von Gliedern gleicher Potenz in λ liefert die Folge von Gleichungen
H 0 |n 0 〉 = En
0 ∣
∣n 0〉 , (201)
∣
H 0 ∣n 1 〉 ∣
+ H 1 ∣n 0 〉 = En
0 ∣ n
1 〉 + En
1 ∣ n
0 〉 , (202)
∣
H 0 n 2〉 ∣
+ H 1 n 1〉 = En
0 ∣
∣n 2〉 + En
1 ∣
∣n 1〉 + En
2 ∣
∣n 0〉 . (203)
Diese Gleichungen können iterativ nach E k n und ∣ ∣ n k 〉 aufgelöst werden, der Term k = 0 steht für die
ungestörte Schrödinger-Gleichung.
# 69 Antwort
Bei der Bewegung eines Teilchens der Masse m in einem Potential V (x, t) ohne Zwangsbedingung in
kartesischen Koordinaten
ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls
L = 1 2 mẋ2 − V (x, t) (191)
p = mẋ. (192)
Bei der Bewegung eines Teilchens der Masse m in einem Potential V (r, ϕ, z, t)
L = 1 2 m ( ṙ 2 + r 2 ˙ϕ 2 + ż 2) − V (r, ϕ, z, t) (193)
ist in Zylinderkoordinaten der zum Winkel konjugierte generalisierte Impuls die Komponente des Drehimpulses
in Richtung der Zylinderachse
p ˙ϕ = ∂L
∂ ˙ϕ = mr2 ˙ϕ. (194)
Bei Bewegung einer Punktladung q der Masse m im elektromagnetischen Feld
L = 1 2 mẋ2 − qφ(t, x) + qẋ · A(t, x) (195)
hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des
Feldes
p = mẋ + qA(t, x). (196)
# 72 Antwort
Der Stark-Effekt ist der Effekt, den ein homogenes elektrisches Feld E auf die Zustände eines Systems
hat. Wenn man ein einzelnes Teilchen mit der Ladung q betrachtet, ist der Störoperator
H 1 = −qEr, (211)
und wenn man die z-Richtung eines Koordinatensystems in Richtung des elektrischen Feldes legt, hat
man E = Ee z und
H 1 = −qEz = −qEr cos θ. (212)
Der lineare Stark-Effekt verschwindet normalerweise für ungestörte Zustände irgend eines Systems in
irgend einem nicht-entarteten Zustand mit definierter Parität
φ ± (r) = ±φ ± (−r), (213)
denn die Energiekorrektur in erster Ordnung der Störung ist
∫
E± 1 ∝ 〈φ ±|r|φ ± 〉 = d 3 r r|φ ± (r)| 2 = 0. (214)
# 71 Antwort
Eine geeignete zusätzliche Annahme zur eindeutigen Bestimmung der Störterme ist die Definition
〈
n 0 |n 〉 = 1. (204)
Da der ungestörte Zustand ∣ ∣ n 0 〉 normiert sein soll, folgt sofort
und daraus
〈
n 0 |n 〉 = 〈 n 0 | ∣ ∣ n
0 〉 + λ ∣ ∣ n
1 〉 + λ 2 ∣ ∣ n
2 〉 + . . . 〉 = 1, (205)
⇒ λ 〈 n 0 |n 1〉 + λ 2 〈 n 0 |n 2〉 + . . . = 0 (206)
〈
n 0 |n k〉 = δ 0,k . (207)
Dies bedeutet, dass alle Korrekturen aus dem orthogonalen Komplement zu 〈 n 0〉 stammen. Man erhält
in erster Ordnung die Korrektur
En 1 = 〈 n 0 |H 1 |n 0〉 , (208)
∣
∣n 1〉 = ∑ ∣
∣m 0〉 m 0 |H 1 |n 0〉
E 0 m≠n
n − , E0 m
(209)
und für die Korrektur der Energie in zweiter Ordnung
E 2 n = ∑ m≠n
∣ 〈 m 0 |H 1 |n 0〉∣ ∣ 2
E 0 n − E 0 m
= 〈 n 0 |H 1 |n 1〉 . (210)

Quantenmechanik # 73 Störungstheorie
Quantenmechanik # 74 Störungstheorie
Beispiel: Linearer Stark-Effekt am Wasserstoff-Atom
Variationsrechnung als Alternative
Quantenmechanik # 75 Störungstheorie
Quantenmechanik # 76 Störungstheorie
Beispiel: Wechselwirkung der Elektronen im Helium-Atom: Teil 1
Beispiel: Wechselwirkung der Elektronen im Helium-Atom: Teil 2

# 74 Antwort
Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für den Grundzustand sei
Es sei | ˜φ〉 ein beliebiger Zustandsvektor, dann gilt
und Gleichheit gilt für den exakten Grundzustand.
H |φ 0 〉 = E 0 |φ 0 〉 . (220)
〈 ˜φ|H| ˜φ〉
≥ E 0 , (221)
〈 ˜φ| ˜φ〉
Variationsverfahren Man wählt eine Funktion ˜φ = φ(p) mit Parameter p = {p i } geschickterweise so,
dass sie der richtigen Funktion vermutlich nahe kommt. Dann variiert man die Parameter derart, dass
die Energie
minimal wird
E(p) = 〈φ(p)|H|φ(p)〉
〈φ(p)|φ(p)〉
(222)
∂E
∂p i
= 0. (223)
Bei der Wahl der Variationsfunktion wählt man die korrekte Symmetrie und das richtige asymptotische
Verhalten.
# 73 Antwort
Die Situation ist eine andere, wenn es sich um entartete Zustände handelt, wie z. B. um den ersten
angeregten, vierfach entarteten Zustand des Wasserstoff-Atoms mit der Hauptquantenzahl n = 2. Dann
muss man entartete Störungstheorie treiben. Wenn man die vier Zustände 2p x, 2p y, 2p z, 2s mit k =
1, 2, 3, 4 durchzählt, ist die Störmatrix
⎛
⎞
0 0 0 0
〈
k|H1 |k ′〉 = 3a 0 qE ⎜0 0 0 0
⎟
⎝0 0 0 1⎠ , (215)
0 0 1 0
denn die benötigten Matrixelemente sind
〈
2lm|H1 |2l ′ m ′〉 = −qE 〈 2lm|z|2l ′ m ′〉 , (216)
und die meisten davon verschwinden, weil der Integrand ungerade ist. Die Lösungsbedingung ist dann
⎛
−E 1 ⎞
0 0 0
det ⎜ 0 −E 1 0 0
⎝ 0 0 −E 1 ⎟
3a 0 qE⎠ = 0, (217)
0 0 3a 0 qE 0
und als Lösungen ergeben sich die Energiekorrekturen
{
Ek 1 = 0 κ = k = 1, 2 = 2p x, 2p y
E± 1 = ±3a , (218)
0qE κ = ±
mit den zugehörigen normierten Eigenvektoren
( 1000
)
( 0100
)
,
,
(
1 0011
)
√ ,
2
(
1 001−1 )
√ . (219)
2
# 76 Antwort
Diese Wellenfunktion ist Eigenfunktion zum Hamilton-Operator
H 0 = ∑ i
( p 2
i
2m −
Für V 12 = 0 wäre Gleichung (227) die exakte Lösung.
Ze2 1
[4πε 0 ] |r i |
)
. (233)
Man fasst jetzt Z als Variationsparameter auf. Man erhält dann mit den Wellenfunktionen
〈
Φ
E Z Z |H|Φ Z〉
=
〈Φ Z |Φ Z = ( 2Z 2 − 4Z 0 Z + 5/4Z ) E 0 . (234)
〉
Die Energie wird minimal für
0 = dE
dZ = (4Z − 4Z 0 + 5/4) E 0 ⇒ Z = Z 0 − 5/16. (235)
# 75 Antwort
Der Hamilton-Operator für das He-Atom mit der Kernladungszahl Z 0 = 2 ist
H = H 1 + H 2 + V 12 , (224)
H i = p2 i
2m − Z 0e 2
]4πε 0
1
|r i | , (225)
V 12 =
e2 1
[4πε 0 ] |r 1 − r 2 | . (226)
Im Grundzustand werden sich die beiden Elektronen in 1s-ähnlichen Zuständen befinden. Die Wellenfunktion
ist dann
Φ(r 1 , r 2 ) = φ Z 0
(r 1 )φ Z 0
(r 2 ), (227)
φ Z 0
(r i ) = Ne −Z 0 r i/a 0 , (228)
N = 1 √ π
( Z
a 0
) 3/2
. (229)
Weil jetzt aber jedes Elektron den abschirmenden Einfluss des anderen spürt, kann man davon ausgehen,
dass die Wellenfunktion durch eine abgeschirmte Ladung Z bestimmt wird
Φ Z (r 1 , r2) = φ Z (r 1 )φ Z (r 2 ), (230)
φ Z (r) = Ne −Zr/a 0, (231)
N = 1 √ π
( Z
a 0
) 3/2
. (232)

Quantenmechanik # 77 Kohärente und inkohärente Zustände
Quantenmechanik # 78 Kohärente und inkohärente Zustände
Kohärente und inkohärente Zustände
Eigenschaften Kohärenter Zustände
Mechanik # 79 Newton’sche Mechanik
Mechanik # 80 Newton’sche Mechanik
1. Newton’sches Axiom (Trägheitssatz)
2. Newton’sches Axiom (Aktionsprinzip)

# 78 Antwort
• Normierung: Der Vorfaktor des kohärenten Zustandes dient also der Normierung 〈α|α〉 = 1.
• Orthogonalität: Kohärente Zustände sind nicht orthogonal 〈β|α〉 ̸= δ(α − β).
• Eigenzustände: Der kohärente Zustand ist ein rechtsseitiger Eigenzustand des Vernichtungsoperators
a und es gilt a |α〉 = α |α〉. Der Bra-Vektor ist ein linksseitiger Eigenzustand des Erzeugungsoperators
mit komplex-konjugiertem Eigenwert 〈α| a † = α ∗ 〈α|.
• Unschärfe: Kohärente Zustände besitzen minimale Unschärfe 1/4| 〈α|[p, x]|α〉 | 2 = 2 /4.
• Harmonischer Oszillator: In einer wechselwirkungsfreien Theorie (im harmonischen Oszillator)
bleiben kohärente Zustände kohärent. Sie sind jedoch nicht Eigenzustände des freien Hamilton-
Operators. Vielmehr rotiert die Phase von α mit der Oszillatorfrequenz ω, d. h. ein kohärenter
Zustand geht in einen anderen kohärenten Zustand über.
# 77 Antwort
In Fock-Raum-Schreibweise ergibt sich der kohärente Zustand |α〉 als unendliche Linearkombination von
Zuständen fester Teilchenzahl |n〉 nach
|α〉 = e −|α|2 /2
∞∑
n=0
α n
√
n!
|n〉 . (236)
Dabei ist α eine beliebige, nicht-verschwindende komplexe Zahl, die den kohärenten Zustand vollständig
definiert. Die Wahrscheinlichkeit, eine Besetzung von genau n Teilchen zu messen, ist
P (n) = | 〈n|α〉 | 2 = |α|2n e −|α|2 . (237)
n!
Die Verteilung entspricht also der Poisson-Verteilung. Demnach ist |α| 2 der Erwartungswert der Besetzungszahl
des kohärenten Zustandes.
Anschauliche Erklärung Der kohärente Zustand entspricht einem gauß’schen Wellenpaket, das im harmonischen
Oszillator hin- und herläuft, ohne Orts- und Impulsunschärfe zu verändern.
# 80 Antwort
Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und
geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.
Bzw.: In einem Inertialsystem wird die Änderung des Impulses eines Massenpunktes durch eine Kraft ⃗ F
hervorgerufen, sodass gilt:
⃗F = d⃗p
dt . (239)
# 79 Antwort
Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch
einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.
Bzw.: In einem Inertialsystem ist der Impuls eines freien Massenpunktes, d. h. eines Massenpunktes, auf
den keine Kraft wirkt, erhalten.
⃗F = 0 ⇔ ⃗p(t) = const . (238)

Mechanik # 81 Newton’sche Mechanik
Mechanik # 82 Newton’sche Mechanik
3. Newton’sches Axiom (Reaktionsprinzip)
4. Newton’sches Axiom (Superpositionsprinzip)
Mechanik # 83 Erhaltungssätze und Kräfte
Mechanik # 84 Erhaltungssätze und Kräfte
Impulserhaltung
Drehimpulserhaltung

# 82 Antwort
Wirken auf einen Punkt (oder einen starren Körper) mehrere Kräfe ⃗ F 1 , . . . , ⃗ F n so addieren sich diese
vektoriell zu einer resultierenden Kraft
auf.
⃗F =
n∑
⃗F i (241)
i=1
# 81 Antwort
Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio),
so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).
Bzw.: Für die Kräfte ⃗ F ij und ⃗ F ji , die zwei Massenpunkte i und j aufeinander ausüben, gilt
⃗F ij = − ⃗ F ji . (240)
Somit sind die Kräfte dem Betrage nach gleich groß und einander entgegengesetzt gerichtet (Actio =
Reactio).
# 84 Antwort
Falls Kraft zentral, also nur vom Betrag des Richtungsvektors abhängt und in dessen Richtung zeigt
⃗F (⃗r) = F (r) · ⃗e r. (244)
# 83 Antwort
Falls Kraft verschwindet
⃗F = 0. (242)
Beweis. Die Drehimpulserhaltung folgt dann aus
dL
⃗
dt = d (
m⃗r × ˙⃗r
) ( )
= m ˙⃗r × ˙⃗r + ⃗r × ¨⃗r = ⃗r × F ⃗ = 0. (245)
dt
Die Impulserhaltung folgt dann aus
d⃗p
dt = d dt (m⃗v) = m⃗a = ⃗ F = 0. (243)

Mechanik # 85 Erhaltungssätze und Kräfte
Mechanik # 86 Scheinkräfte
Energieerhaltung
Scheinkräfte
Mechanik # 87 Trägheitstensor
Mechanik # 88 Lagrangeformalismus
Trägheitstensor
Lagrangefunktion

# 86 Antwort
Bei Bewegungen im Nicht-Inertialsystem gilt
# 85 Antwort
Falls Kraft konservativ, also
Dabei ist
m¨⃗r = − ∂V
∂⃗r − m¨⃗r 0 − m ˙⃗ω × ⃗r − 2m(⃗ω × ⃗v) − m⃗ω × (⃗ω × ⃗r). (250)
Trägheitskraft der Translation: − m¨⃗r 0 , (251)
Trähgheitskraft bzgl. Rotation: − m ˙⃗ω × ⃗r, (252)
Corioliskraft − 2m(⃗ω × ⃗v), (253)
Zentrifugalkraft − m⃗ω × (⃗ω × ⃗r). (254)
⃗∇ × ⃗ F = 0. (246)
Bzw. ⃗ F (⃗x) ist als Gradient eines skalaren Feldes, dem Potential V (⃗x), darstellbar, und es gilt
Beweis. Die Energieerhaltung folgt dann aus
⃗F (⃗x) = − ⃗ ∇V (⃗x). (247)
E = 1 2 m⃗v2 + V (r), (248)
dE
dt = m¨⃗r · ˙⃗r dV (r)
+ = m¨⃗r · ˙⃗r +
dt
dV (r) d⃗r
d⃗r dt =
= ⃗ F (⃗r) · ˙⃗r + ∇V (r) · ˙⃗r = ⃗ F (⃗r) · ˙⃗r − ⃗ F (⃗r) · ˙⃗r = 0. (249)
# 88 Antwort
# 87 Antwort
Konservative Kräfte sind vorausgesetzt, wenn man mit L = T − V arbeiten will. Ansonsten konstruiert
man ein verallgemeinertes Potential und bringt die Kraft in die Bewegungsgleichung ein.
Der Trägheitstensor ist definiert als
ϑ jk = ∑ i
m i
(
⃗r
2
i δ jk − rijr ik
)
. (255)
Steiner’scher Satz
Für die Verschiebung des Trägheitstensors mit Hilfe des Steiner’schen Satzes gilt
ϑ ′ ij = ϑ ij + M ( δ ij ⃗a 2 − a i a j
)
. (256)

Mechanik # 89 Lagrangeformalismus
Mechanik # 90 Lagrangeformalismus
Langrange-Bewegungsgleichung
Erhaltungssätze
Mechanik # 91 Kinematik der Keplerbewegung
Mechanik # 92 Kinematik der Keplerbewegung
Gravitationskraft
Wer kreist um wen?

# 90 Antwort
# 89 Antwort
Zyklische Koordinaten Ist φ eine zyklische Koordinate, d. h. dL/dφ = 0, so ist die zugehörige Drehimpulskomponente
L z erhalten.
Ist die Lagrangefunktion nicht explizit zeitabhängig, so ist die Hamil-
Erhaltung der Hamiltonfunktion
tonfunktion
erhalten.
H = ∑ j
˙q j
∂L
∂ ˙q j
− L (262)
Energieerhaltung Ist die kinetische Energie quadratisch in den Geschwindigkeiten, bzw. die Zwangsbedingung
skleronom, d. h. die Zwangsbedingung hängt nicht explizit von der Zeit ab, so ist die Hamiltonfunktion
gleich der Energie.
Bewegungsgleichungen
Kanonische Impulse
Leistung
0 = d ∂L ∂L
−
dt ∂ ˙φ ∂φ . (257)
p x = ∂L
(258)
∂ẋ
n∑
H = p xj ẋ j − L. (259)
P = dW dt
j=1
= ⃗ F d⃗r
dt
= ⃗ F · ˙⃗r. (260)
Effektives Potential
effektiven Potentials
Ein Teilchen beschreibt eine Kreisbahn, wenn die Energie gleich dem Minimum des
V eff (⃗r) = E(⃗r) − T (⃗r) (261)
ist.
# 92 Antwort
Bei der Bewegung der Erde um die Sonne kreisen beide Himmelskörper um den gemeinsamen Schwerpunkt.
Das Inertialsystem im 1. Axiom ist also das Schwerpunktsystem.
# 91 Antwort
Zwischen zwei Punktmassen m 1 und m 2 herrscht die Gravitationskraft.
Diese ist eine Zentralkraft.
⃗F G = −∇V ⃗ G (|⃗x|), V G (|⃗x|) = V G (r) = −G m 1m 2
. (263)
r

Mechanik # 93 Kepler’sche Gesetze
Mechanik # 94 Kepler’sche Gesetze
1. Kepler’sches Gesetz (Ellipsensatz)
2. Kepler’sches Gesetz (Flächensatz)
Mechanik # 95 Kepler’sche Gesetze
Mechanik # 96 Kepler’sche Gesetze
3. Kepler’sches Gesetz
Zwei-Körper-Problem

# 94 Antwort
In gleichen Zeiten überstreicht die gedachte Verbindungslinie zwischen Sonne und Planet gleiche Flächen.
Beweis. Da die Gravitationskraft eine Zentralkraft ist, gilt die Drehimpulserhaltung L = const . und
damit lässt sich der Flächensatz beweisen.
Die Fläche eines infinitesimalen Sektors (also ist r dort zeitlich konstant) ist
# 93 Antwort
Jeder Planet unseres Sonnensystems bewegt sich auf einer Ellipsenbahn, in deren einem Brennpunkt die
Sonne steht.
dA = 1 2 r2 · dϕ, (264)
2 dA
dt
dϕ
= r2
dt = r2 ω = L = const . (265)
m
Abbildung 6: 1. Kepler’sches Gesetz: Der Ellipsensatz
Abbildung 7: 2. Kepler’sches Gesetz: Der Flächensatz
# 96 Antwort
Im folgenden werden die Gleichungen zunächst im Allgemeinen Fall aufgestellt und schließlich für den
Fall m 1 = m 2 = m näher betrachtet.
Schwerpunktmasse M = m 1 + m 2 = 2m, (270)
Reduzierte Masse µ = m 1m 2
m 1 + m 2
= m 2 , (271)
Schwerpunktskoordinaten R ⃗
⃗r 1 − ⃗r 2 = , (272)
2
Relativkoordinaten ⃗r = ⃗r 1 − ⃗r 2 . (273)
Und damit gilt für die beiden einzelnen Koordinaten
⃗r 1 = ⃗ R + ⃗r/2, (274)
⃗r 2 = ⃗ R − ⃗r/2. (275)
# 95 Antwort
Die Quadrate der Umlaufzeiten T 1 , T 2 verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen der Bahnen
a 1 , a 2 zweier Planeten
Beweis. Für Kreisbeweggungen gilt F G = F Z , also
( ) 2 ( ) 3 T1 a1
= · M + m 2
. (266)
T 2 a 2 M + m 1
G m 1m 2
r 2 = m 1
v 2
r , (267)
⇒ Gm 2
r
⇒ T 2
r 3
= (2πr)2
T 2 = 4π2 r 2
T 2 , (268)
= 4π2
Gm 2
. (269)

Mechanik # 97 Kepler’sche Gesetze
Elektrodynamik # 98 Maxwell Gleichungen
Lösung des Kepler-Problems
Integrale Form
Elektrodynamik # 99 Maxwell Gleichungen
Elektrodynamik # 100 Maxwell Gleichungen
Differentielle Form
Maxwellgleichungen im Vakuum, ohne Ladungs- und Stromdichten

# 98 Antwort
∮
∫
∫
∂
⃗B · d⃗s = µ 0 ε 0 ⃗E · dA ⃗ + µ 0 ⃗j · dA, ⃗ (279)
∂t A
A
∮
⃗E · d⃗s = − ∂ ∫
⃗B · dA, ⃗ (280)
∂t A
∫
⃗E · dA ⃗ = 1 ∫
ϱ dV, (281)
A ε 0 V
∫
⃗B · dA ⃗ = 0. (282)
A
# 97 Antwort
Es gelten die Energie- und Drehimpulserhaltung
E = T + V = 1 2 m (
˙⃗r 2 + r 2 ˙ϕ 2) + V (r) =
= 1 2 m ˙⃗r 2 + L2 + V (r), (276)
2mr2 V eff (r) =
L2 + V (r). (277)
2mr2 Löse (276) nach ṙ = dr auf. Separation der Variablen löst die Differentialgleichung und liefert die Bewegungsgleichung
für
dt
⃗r(t).
Die Bewegungsgleichung für ϕ(t) ergibt sich aus
dϕ
dr = dϕ dt
dt dr = ˙ϕ 1 ṙ = L 1
mr 2 ṙ . (278)
# 100 Antwort
# 99 Antwort
⃗∇ · ⃗E = 0 (287)
⃗∇ · ⃗B = 0 (288)
⃗∇ × ⃗ E = − ∂ ⃗ B
∂t
(289)
⃗∇ × ⃗ B = 1
ε 0 µ 0
∂E
∂t . (290)
rot ⃗ B = µ 0 ε 0
∂ ⃗ E
∂t + µ 0 ⃗ j, (283)
rot ⃗ E = − ∂ ⃗ B
∂t , (284)
div ⃗ E = 1 ε 0
ϱ, (285)
div ⃗ B = 0. (286)

Elektrodynamik # 101 Maxwell Gleichungen
Elektrodynamik # 102 Maxwell Gleichungen
Grundgleichungen der Elektrostatik
Maxwell-Hertz’sche Wellengleichungen
Elektrodynamik # 103 Maxwell Gleichungen
Elektrodynamik # 104 Maxwell Gleichungen
Oersted- und Faraday-Experiment
Anschauliche Erklärung der Maxwellgleichungen

# 102 Antwort
# 101 Antwort
Differentielle Form
∂ 2 ⃗ E
∂x 2
= µ 0ε 0
∂ 2 ⃗ B
∂t 2 ,
∂ 2 ⃗ B
∂x 2
= µ 0ε 0
∂ 2 ⃗ E
⃗∇ · ⃗E = ρ ε 0
(291)
⃗∇ × ⃗ E = 0 (292)
∂t 2 . (297) # 103 Antwort
⃗E = − ⃗ ∇ϕ. (293)
Integrale Form
∮
⃗E df ⃗ = 1 ∫
ρ d 3 r
∂V ε 0 V
∮
(294)
⃗E d⃗s = 0 (295)
dF
∫
ϕ = − ⃗E d⃗r. (296)
# 104 Antwort
Erste Maxwell’sche Gleichung Ein Magnetisches Wirbelfeld entsteht auf zwei Arten:
1. Durch die zeitliche Änderung des elektrischen Flusses.
2. Durch einen Leitungsstrom I.
Die Wurzeln der ersten beiden Maxwell’schen Gleichungen sind der Oersted und der Faraday-Versuch.
Zweite Maxwell’sche Gleichung Ein elektrisches Wirbelfeld wird durch die zeitliche Änderung des magnetischen
Flusses erzeugt. Diese stammt aus dem Faraday’schen Induktionsgesetz. Der Urpsrung der
Induktion ist die Lorentzkraft.
Vierte Maxwell’sche Gleichung Es gibt keine magnetischen Monopole. ∇ ist ein Maß für die Quellenstärke
eines Feldes, aber das B-Feld ⃗ hat keine Quelle.
Abbildung 8: (l.) Oersted-Versuch: Das Magnet eines geraden Leiters,
(r.) Faraday-Versuch: Das Faraday’sche Induktionsgesetz
Oersted-Versuch
Das Magnetfeld eines geraden Leiters ist
B = µ 0I
2πr . (298)
Faraday-Versuch
Das Farada’sche Induktionsgesetz lautet
U = − dΦ
dt = − d( A ⃗ · ⃗B) . (299)
dt

Elektrodynamik # 105 Mathematische Sätze
Elektrodynamik # 106 Mathematische Sätze
Satz von Stokes
Satz von Gauß
Elektrodynamik # 107 Elektromagnetische Felder
Elektrodynamik # 108 Elektromagnetische Felder
Transversale Felder
Dispersionsrelation

# 106 Antwort
# 105 Antwort
∮
df ⃗ · ⃗E(r) = 1 ∫
d 3 r ϱ(r). (301)
∂V
ε 0 V
∫
∫
Φ = df ⃗ · ⃗B = d ⃗ ( ) ∮
f · ⃗∇ × A ⃗ = d⃗s · ⃗A. (300)
F
F
∂F
# 108 Antwort
# 107 Antwort
Es gilt
Dabei nennt man die zweite Gleichung Dispersionsrelation.
E 0 = ω k B 0, (306)
k = ω c . (307)
Ausbreitungsrichtung
⃗E(⃗r, t) = E ⃗ 0 · e i(⃗ k⃗r−ωt)
(302)
⃗B(⃗r, t) = B ⃗ 0 · e i(⃗k⃗r−ωt) . (303)
Wellen breiten sich entlang von ⃗ k aus. Ihre Geschwindigkeit ist c = ω/k.
Energiedichte
Die Energiedichte ist
u = 1 (
ε 0E ⃗ 2 + 1 )
B ⃗ 2
,
2 µ 0
〈u〉 = 1 2 ε 0E ⃗ 0. 2 (304)
Energiestromdichte
Die Energiestromdichte ist
⃗ϱ = 1 E ⃗ × ⃗
c
B, 〈⃗ϱ〉 =
µ 0 2 ε 0E ⃗ ⃗ k
0
2 | ⃗ k| . (305)

Elektrodynamik # 109 Kontinuitätsgleichung
Thermodynamik # 110 Erster Hauptsatz der Thermodynamik
Kontinuitätsgleichung
Erster Hauptsatz: Anschauliche Formulierung
Thermodynamik # 111 Erster Hauptsatz der Thermodynamik
Thermodynamik # 112 Erster Hauptsatz der Thermodynamik
Erster Hauptsatz: Mathematische Formulierung
Erster Hauptsatz: Spezialfälle

# 110 Antwort
# 109 Antwort
Ableitung der Energieerhaltung Jedes System besitzt eine innere Energie U (= extensive Zustandsgröße).
Diese kann sich nur durch den Transport von Energie in Form von Arbeit W und/oder Wärme Q über
die Grenze des Systems ändern.
Die Kontinuitätsgleichung
− ∂ ∂t ϱ(⃗r, t) = ∇ ⃗j(⃗r, t) (308)
entspricht der Ladungserhaltung. Eine Stromdichte heißt stationär, wenn gilt
∂
∂t ⃗ j = 0. (309)
# 112 Antwort
• Für isolierte Systeme (mikrokanonisches Ensemble): dU = 0.
• Für geschlossene Systeme (kanonisches Ensemble): dU = ∂Q + ∂W .
• Offene Systeme (großkanonisches Ensemble): dU = ∂Q+∂W +∂E C , mit Teilchenaustauschkontakt.
# 111 Antwort
dU = ∂Q + ∂W. (310)
Dabei ist U eine Zustandsgröße, die von anderen unabhängigen Variablen abhängt. Für ein ideales Gas
gilt z. B. U = U(T ).

Thermodynamik # 113 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Thermodynamik # 114 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Zweiter Hauptsatz: Anschauliche Formulierung
Zweiter Hauptsatz: Mathematische Formulierung
Thermodynamik # 115 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Thermodynamik # 116 Dritter Hauptsatz der Thermodynamik
Zusammenfassung der Aussagen des zweiten Hauptsatzes
Dritter Hauptsatz: Anschauliche Formulierung

# 114 Antwort
# 113 Antwort
Wirkungsgrad
η =
dS ≥ ∂Q T . (311)
Wgesamt
Q zugeführt
, (312)
η Carnot = 1 − T 2
T 1
= 1 + ∆Q 2
∆Q 1
. (313)
Es gibt kein perpetuum mobile zweiter Art.
Clausius’sche Aussage Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die nur einen kälteren Wärmebad
Wärme entzieht und diese einem heißen zuführt.
Reversible Kreisprozesse
Ein Kreisprozess ist genau dann reversibel, wenn gilt
n∑
i=1
∂Q i
T i
= 0. (314)
Die Entropie ist im Gleichgewichtszustand maximal.
# 116 Antwort
Es ist nicht möglich, ein System bis zum absoluten Nullpunkt abzukühlen.
# 115 Antwort
1. Wärme kann nicht von selbst von einem Körper niedriger Temperatur auf einen Körper höherer
Temperatur übergehen.
2. Wärme kann nicht vollständig in Arbeit umgewandelt werden. Dies wäre eine Realisierung eines
Perpetuum Mobile zweiter Art.
3. Der Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses kann nicht übertroffen werden.
4. Alle spontan (in eine Richtung) ablaufenden Prozesse sind irreversibel.
5. Alle Prozesse, bei denen Reibung stattfindet, sind irreversibel.
6. Ausgleichs- und Mischungsvorgänge sind irreversibel.
7. In einem geschlossenen adiabaten System kann die Entropie nicht geringer werden.
8. Das Gleichgewicht isolierter thermodynamischer Systeme ist durch ein Maximalprinzip der Entropie
ausgezeichnet.

Thermodynamik # 117 Dritter Hauptsatz der Thermodynamik
Thermodynamik # 118 Thermodynamische Potentiale
Dritter Hauptsatz: Mathematische Formulierung
Maxwell-Relationen
Thermodynamik # 119 Thermodynamische Potentiale
Thermodynamik # 120 Thermodynamische Potentiale
Innere Energie
Freie Enthalpie

# 118 Antwort
# 117 Antwort
( ) ( )
∂T
∂p
= −
,
∂V S,N ∂S V,N
( ∂T
∂N i
)
V,S,N j
=
( ) ∂µi
. (316)
∂S V,N
S(T = 0) = 0. (315)
# 120 Antwort
# 119 Antwort
G = U − T S + pV (319)
dG(S, V ) = −S dT + V dp. (320)
U = T S − pV (317)
dU(T, V ) = δQ + δA = T dS − p dV. (318)

Thermodynamik # 121 Thermodynamische Potentiale
Thermodynamik # 122 Thermodynamische Potentiale
Freie Energie
Enthalpie
Thermodynamik # 123 Thermodynamische Potentiale
Thermodynamik # 124 Entropie
Arbeit
Postulate zur Entropie

# 122 Antwort
# 121 Antwort
H = U + pV (323)
dH(T, p) = T dS + V dp. (324)
F = U − T S (321)
dF (S, p) = −S dT − p dV. (322)
# 124 Antwort
1. Ein Gleichgewichtszustand wird vollständig durch (extensive) U, N, X beschreiben. Dabei ist X = V
für kompressible Systeme und X = ⃗ M für magnetische Systeme.
2. Es existiert eine Funktion S, genannt die Entropie, der extensiven Parameter. Die extensiven Parameter
nehmen im Gleichgewicht solche Werte an, welche S maximieren.
3. Die Entropie S ist additiv, kontinuierlich, differenzierbar und eine monoton steigende Funktion der
inneren Energie.
4. Es gilt
S = 0 für T :=
( ) ∂U
= 0. (325)
∂S N,X
# 123 Antwort
• Isochore: dV = 0, ∂A = 0.
• Isobare: dp = 0, ∂A = −p 0 dV .
• Isotherme: dT = 0, ∂A = −p(T 0 , V ) dV .
• Adiabate: dS = 0, ∂A = p(T (V ), V ) dV .

Thermodynamik # 125 Entropie
Thermodynamik # 126 Wärmekapazität
Definition der Entropie
Wärmekapazität
Thermodynamik # 127 Wärmekapazität
Thermodynamik # 128 Wärmekapazität
Wärme
Beispiel: Ideales Gas

# 126 Antwort
# 125 Antwort
C V =
( ) ∂Q
= T
∂T V
( ) ∂S
=
∂T V
( ) ∂U
. (327)
∂T V
Gibt an, mit welcher Temperaturänderung ein System auf die Wärmezufuhr ∂Q reagiert.
( ) ∂Q
C X = . (328)
∂T X
Dabei ist X eine Zustandsgröße, also eine Konstante bei der Wärmezufuhr. Weiter ist U = U(T, q 1 , . . . , q m),
wobei q i generalisierte Koordinaten sind und es gilt
dS =
( ) ∂S
∂T V
dT +
( ) ∂S
dV. (326)
∂V T
∂Q = dU − ∂W = dU −
=
∂Q =
( ) ∂U
dT +
∂T q
)
( ∂U
∂T
m∑
F i dq i =
i=1
( ) ∂U
m∑
dq i − F i dq i (329)
∂q i T,q j i=1
(
m∑ ( ) )
∂U
dT +
− F i dq i . (330)
q
∂q
i=1 i T,q j
# 128 Antwort
# 127 Antwort
Für ein ideales Gas gilt
C p − C V = nR = Nk B . (331)
∂Q = T dS.
• Adiabate: ∂Q = 0
• Isotherme: ∂Q = T 0 dS = T 0
( ∂S
∂V
• Isochor: ∂Q = T dS = C V dT .
[( )
• Isobar: ∂Q = T dS = T ∂S
∂T
)
T dV = T 0
P dT + ( ∂S
∂p
( ) ∂p
∂T
V
dV.
)T dp ]
= C p dT .

Thermodynamik # 129 Boltzmann-Verteilung
Boltzmann-Verteilung

# 129 Antwort
Die Boltzmann-Verteilung
(
F (E) ∝ exp − E )
, (332)
kT
beschreibt die Verteilung des Betrags v = |⃗v| der Teilchengeschwindigkeiten in einem idealen Gas.