Formelsammlung Theoretische Physik ... - Frank Reinhold

Formelsammlung Theoretische Physik
Examensvorbereitung
Frank Reinhold
6. März 2012
Inhaltsverzeichnis
1 Mechanik 2
Drehimpulskomponente L z in R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Langrange-Bewegungsgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Kanonische Impulse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Effektives Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Hamiltonfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Raumzeit-Intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Zwei-Körper-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Geschwindigkeit auf dem Rand einer rotierenden
Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Erhaltungssätze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Ruhelage einer Pendelschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Konservative Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Erwartungswert eines Zustandes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Erwartungswerte für bestimmte Operatoren . . . . . . . . . 4
Varianz eines Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Stromdichte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Schrödingergleichung mit konstantem Potential . . . . . 4
Schrödingergleichung mit Delta-Potential. . . . . . . . . . . . 5
Schrödingergleichung mit quadratischem Potential . . 5
Schrödingergleichung mit Zentralpotential. . . . . . . . . . . 5
Zeitentwicklung eines Zustandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Störungstheorie 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Ehrenfest-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Pauli-Spin-Matrix in z-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Elektrodynamik 2
Makroskopische Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 2
Lineare, isotrope, homogene Materialien. . . . . . . . . . . . . 2
Transversale Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Poynting-Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Magnetfeld, Fluss und Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . 3
Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Maxwellgleichungen im Vakuum, ohne Ladungsund
Stromdichten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Grundgleichungen der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Stetigkeit der Normalkomponente der dielektrischen
Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Potential mit Ladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Ladungsträgerdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Laplace-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Komplexer Brechungsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Elektrostatische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Ladungsdichte einer homogen geladenen Kugel . . . . . . 3
Leitende Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Dipolmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Maxwell-Gleichung der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . 3
Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Geerdete Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Übliche Anschlussbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Thermodynamik 3
Innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Freie Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Freie Energie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Hauptsätze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Spezifische Wäme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Temperaturunabhängige Wärmekapazität . . . . . . . . . . . 4
Gleichgewichtszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Quantenmechanik 4
Impulsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Kommutator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Stufenoperator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1

1 Mechanik
Drehimpulskomponente L z in R 3
L z = xẏ − yẋ = ∂L (
∂ ˙ϕ = m⃗r × ˙⃗r
)
. (1)
z
Geschwindigkeit auf dem Rand einer rotierenden Kugel
vom Radius R
V x = v x + |⃗ω × ⃗ R|, (16)
mit v x der Geschwindigkeit des Schwerpunktes und ⃗ω der Winkelgeschwindigkeit.
Langrange-Bewegungsgleichung
Kanonische Impulse
Leistung
0 = d ∂L
dt ∂ ˙ϕ − ∂L
∂ϕ . (2)
p x = ∂L
(3)
∂ẋ
n∑
H = p xj ẋ j − L. (4)
P = dW dt
j=1
= ⃗ F d⃗r
dt
= ⃗ F · ˙⃗r. (5)
Erhaltungssätze Ist die Lagrange-Funktion nicht explizit
zeitabhängig, so ist die Hamiltonfunktion erhalten.
Ist die kinetische Energie quadratisch in den Geschwindigkeiten,
bzw. die Zwangsbedingung skleronom, so ist die Hamiltonfunktion
gleich der Energie.
Ist ϕ eine zyklische Koordinate, d. h. ∂L/∂ϕ = 0, so ist die
zugehörige Drehimpulskomponente L z erhalten.
Schiefe Ebene Die Kinetische Energie ist die Translation
des Schwerpunktes plus die Rotation um den Schwerpunkt.
Ruhelage einer Pendelschwingung Die Ruhelage einer
Pendenlschwingung liegt bei z = z 0 wenn sich die Energie
E pot nicht ändert, also
0 = dEpot
dz
∣ . (17)
z=z0
Effektives Potential Ein Teilchen beschreibt eine Kreisbahn,
wenn die Energie gleich dem Minimum des effektiven
Potentials
ist.
Hamiltonfunktion
Raumzeit-Intervall
V eff (⃗r) = E(⃗r) − T (⃗r) (6)
H = ∑ j
∂L
˙q j − L. (7)
∂ ˙q
∆s 2 = (c∆t) 2 − (δ⃗r) 2 = (8)
= c 2 (t x − t 1 ) 2 − (x 2 − x 1 ) 2 − (y 2 − y 1 ) 2 − (z 2 − z 1 ) 2 . (9)
Zwei-Körper-Problem Im folgenden werden die Gleichungen
zunächst im Allgemeinen Fall aufgestellt und schließlich
für den Fall m 1 = m 2 = m näher betrachtet.
Schwerpunktmasse
Reduzierte Masse
Schwerpunktskoordinaten
M = m 1 + m 2 = 2m. (10)
µ = m 1m 2
m 1 + m 2
= m 2 . (11)
Konservative Kräfte Eine Kraft F ⃗ heißt konservativ,
wenn gilt
2 Elektrodynamik
⃗∇ × ⃗ F = 0. (18)
Makroskopische Maxwell-Gleichungen
⃗∇ × E ⃗ = − [c] ∂B
⃗
c ∂t , (19)
⃗∇ · ⃗B = 0, (20)
⃗∇ · ⃗D = 4π ϱ,
[4π]
(
)
(21)
⃗∇ × H ⃗ = [c] 4π
c [4π] ⃗j + ∂ D ⃗
∂t
. (22)
Lineare, isotrope, homogene Materialien
Transversale Felder
⃗D = ε[ε 0 ] E ⃗ = [ε 0 ] E ⃗ + 4π ⃗P ,
[4π]
(23)
⃗H = 1 ⃗B = 1 ⃗B − 4π ⃗M,
µ[µ 0 ] [µ 0 ] [4π]
(24)
⃗j = σ ⃗ E. (25)
⃗E(⃗r, t) = ⃗ E 0 · e i(⃗ k⃗r−ωt)
(26)
⃗B(⃗r, t) = ⃗ B 0 · e i(⃗ k⃗r−ωt) . (27)
Relativkoordinaten
⃗R = ⃗r 1 − ⃗r 2
. (12)
2
⃗r = ⃗r 1 − ⃗r 2 . (13)
Dispersion
k 2 = ω2
v 2 . (28)
Und damit gilt für die beiden einzelnen Koordinaten
⃗r 1 = ⃗ R + ⃗r/2, (14)
⃗r 2 = ⃗ R − ⃗r/2. (15)
Poynting-Vektor
⃗S = [ 4π/c]
⃗E × H. ⃗ (29)
4π/c
2

Magnetfeld, Fluss und Vektorpotential
⃗B = ∇ ⃗ × A ⃗ (30)
∫∫
Φ = ⃗B · df. ⃗ (31)
Satz von Gauß
∮
df ⃗ · ⃗E(r) = 1 ∫
d 3 r ϱ(r). (32)
∂V
ε 0 V
Satz von Stokes
∫
∫
Φ = df ⃗ · ⃗B =
F
F
df ⃗ ( ) ∮
· ⃗∇ × A ⃗ = d⃗s · ⃗A. (33)
∂F
Maxwellgleichungen im Vakuum, ohne Ladungs- und
Stromdichten
⃗∇ · ⃗E = 0 (34)
⃗∇ · ⃗B = 0 (35)
⃗∇ × ⃗ E = − ∂ ⃗ B
∂t
(36)
⃗∇ × ⃗ B = 1
ε 0 µ 0
∂E
∂t . (37)
Grundgleichungen der Elektrostatik Differentielle
Form
⃗∇ · ⃗E = ρ ε 0
(38)
⃗∇ × ⃗ E = 0 (39)
Komplexer Brechungsindex
k = ±n ω c . (50)
Elektrostatische Energie
∫
W = 1 2
ϱ(⃗r) · φ(⃗r) d 3 r. (51)
Ladungsdichte einer homogen geladenen Kugel
ϱ(⃗r) = dQ
dV = Q V =
Q
= const. (52)
4/3 · πR3 Leitende Kugel Bei einer leitenden Kugel befinden
sich die Ladungen ausschließlich auf der Oberfläche. Die
Flächenladungsdichte σ(⃗r) führt zur Raumladungsdichte ϱ(⃗r):
σ(⃗r) = dQ
dA = Q A =
ϱ(⃗r) = σ(⃗r) · δ(r − R) =
Q = const (53)
4πR2 Q · δ(r − R). (54)
4πR2 Dipolmoment bezüglich des Urpsrungs ⃗r
∫ ∫
⃗d = ⃗r dQ = ⃗r · ϱ(⃗r) d 3 r, (55)
bzw. bezüglich eines beliebigen Punktes ⃗a
∫ ∫
⃗d ′ = ⃗r ′ dQ = (⃗r − ⃗a) dQ = (56)
∫
∫
= ⃗r · ρ(⃗r) d 3 r − a ϱ(⃗r) d 3 r = d ⃗ − aQ. (57)
Integrale Form
⃗E = −∇φ. ⃗ (40)
∮
⃗E df ⃗ = 1 ∫
ρ d 3 r
∂V ε 0 V
∮
(41)
⃗E d⃗s = 0 (42)
dF
∫
φ = − ⃗E d⃗r. (43)
Maxwell-Gleichung der Magnetostatik
⃗∇ × B ⃗ = µ 0 ⃗j. (58)
Polarisation
⃗D = εε 0E ⃗ + P ⃗ . (59)
Geerdete Kugel mit Radius R
Stetigkeit der Normalkomponente der dielektrischen
Verschiebung
⃗n · ( ⃗ D 2 − ⃗ D 1 ) = 0 (44)
⃗t · ( ⃗ E 2 − ⃗ E 1 ) = 0. (45)
und mit ⃗n = (0, 0, 1) und φ 1 (x, y, 0) = φ 2 (x, y, 0) gilt dann
ε 1
∂φ 1
∂z
Potential mit Ladungsdichte
Ladungsträgerdichte
φ(⃗r) = 1
4πε 0
∫
∂φ 2
∣ = ε 2 ∣ . (46)
z=0 ∂z z=0
d 3 r ′ ϱ( ⃗ r ′ )
|⃗r − ⃗ r ′ | . (47)
ϱ(⃗r) = ε 0 ⃗ ∇ · ⃗ E (48)
ϕ(R) = 0 (60)
Übliche Anschlussbedingungen Stetig ist die tangentiale
Komponente des Magnetfeldes H ⃗ und die normale Komponente
der magnetischen Induktion B. ⃗
3 Thermodynamik
Innere Energie
Freie Enthalpie
U = T S − pV (61)
dU(T, V ) = δQ + δA = T dS − p dV. (62)
G = U − T S + pV (63)
dG(S, V ) = −S dT + V dp. (64)
Laplace-Gleichung
∆ϕ(⃗r) = 0. (49)
Freie Energie
F = U − T S (65)
dF (S, p) = −S dT − p dV. (66)
3

Enthalpie
4 Quantenmechanik
Hauptsätze
H = U + pV (67)
dH(T, p) = T dS + V dp. (68)
Impulsoperator
ˆp = i
d
dx . (83)
Postulate
1. dU = δQ = δA (69)
2. δQ = T dS (70)
δA = −p dV + µ dN + ⃗ H d ⃗ M (71)
3. lim T →0
S(T, V ) = 0 (72)
lim S(T, p) = 0. (73)
T →0
1. Ein Gleichgewichtszustand wird vollständig durch (extensive)
U, N, X beschreiben. Dabei ist X = V für kompressible
Systeme und X = ⃗ M für magnetische Systeme.
2. Es existiert eine Funktion S, genannt die Entropie, der
extensiven Parameter. Die extensiven Parameter nehmen
im Gleichgewicht solche Werte an, welche S maximieren.
3. Die Entropie S ist additiv, kontinuierlich, differenzierbar
und eine monoton steigende Funktion der inneren Energie.
4. Es gilt
S = 0 für T :=
Spezifische Wäme
Prozesse
1. Kreisprozesse:
∮
∮
C X = T ·
dS = 0,
δQ ≠ 0,
( ) ∂U
= 0. (74)
∂S N,X
( ) ∂S
∂T X
∮
∮
(75)
dU = 0, (76)
δA ≠ 0. (77)
Kommutator
Stufenoperator
√ ( mω
a = x +
ip )
2 mω
[A, B] = − [B, A] . (84)
a † aa = aa † a (85)
〈0|a † = 0 und a † |n〉 = |n + 1〉 (86)
〈n|a = 〈n + 1| und a|0〉 = 0. (87)
Erwartungswert eines Zustandes
∫
〈A〉 = ψ ∗ Aψ dr 3 . (88)
Erwartungswerte für bestimmte Operatoren
|ψ〉 =
Es sei
k∑
a j |n j , l j , m j 〉. (89)
j=1
Dann sind die Erwartungswerte des Hamiltonoperators H, des
Quadrates des Drehimulsoperators L 2 und der z-Komponente
des Drehimpulsoperators L 3 gegeben durch:
〈ψ|H|ψ〉 =
〈
ψ|L 2 |ψ 〉 =
〈ψ|L 3 |ψ〉 =
k∑
j=1
|a j | 2 · −R∞
n 2 j
(90)
k∑
|a j | 2 · 2 · l j (l j + 1) (91)
j=1
k∑
|a j | 2 · · m j (92)
j=1
2. Isentrope Prozesse:
dS = 0 (78)
Varianz eines Operators
√
∆C = 〈C 2 〉 − 〈C〉 2 . (93)
3. Adiabatische Prozesse, allgemein
( ) ( )
∂S
∂S
δQ = 0, dS = dT + dX = 0 (79)
∂T X ∂X T
4. Adiabatische Expansion mit Arbeitsverrichtung
δQ = 0, δA ≠ 0. (80)
5. Adiabatische Expansion ohne Arbeitsverrichtung
Stromdichte
( ) 1
j = R
m ψ∗ ˆpψ
( )
= R
im ψ∗ ψ ′ . (94)
Schrödingergleichung
)
(− 2 ⃗∇ 2 + V (⃗r) ψ(⃗r) = Eψ(⃗r). (95)
2m
δQ = 0, δA = 0, dU = 0. (81)
Temperaturunabhängige Wärmekapazität
dU = T dS = C dT. (82)
Gleichgewichtszustand Maximum der Entropie S.
Schrödingergleichung mit konstantem Potential V 0
führt zu ebenen Wellen e ikx . Fallen Teilchen von links auf
eine endliche Potentialbarriere, so gilt für die Lösung der
Schrödingergleichung
{
Ae ikx + Be −ikx x < 0
ϕ(x) =
Ce iqx x > 0 . (96)
4

Dabei ist Ae ikx die einfallende Welle, Be −ikx die reflektierte
Welle und Ce iqx die transmittierte Welle und es gilt
k 2 = 2mE
2 (97)
q 2 = 2m(E − V 0)
2 . (98)
Weiter sind in diesem Fall ϕ(x) und ϕ ′ (x) stetig bei x = 0,
woraus sich die Koeffizienten A, B, C berechnen lassen.
Schrödingergleichung mit Delta-Potential Das δ-
Potential bewirkt einen Sprung in der ersten Ableitung
∫ ε
)
lim dx
(− 2
ε→0 −ε 2m ϕ′′ (x) + δ(x)ϕ(x) = 0 (99)
⇒ ϕ ′ > (0) − ϕ′ < (0) = ϕ(0). (100)
Schrödingergleichung mit quadratischem Potential
Der Ansatz für eine Lösung ist in diesem Fall ein Produkt
aus einer Gauß-Glocke und einem Polynom erster Ordnung
ϕ(x) = (a + bx) · e −cx2 . (101)
Schrödingergleichung mit Zentralpotential
Potential
Mit dem
V (r) =
L2
2mr 2 (102)
lautet der Ansatz für die Lösung der Schrödingergleichung
ϕ nlm (r, ϑ, ϕ) = R nl (r)Y lm (ϑ, ϕ). (103)
Zeitentwicklung eines Zustandes Jeder Zustand |ϕ〉
lässt sich als Summe von Eigenzuständen |ψ j 〉 schreiben
|ϕ〉 =
k∑
a j |ψ j 〉. (104)
j=1
Für Eigenzustände hat die Zeitentwicklung die einfache Form
(
|ψ j (t)〉 = exp − iE )
jt
· |ψ j 〉
(105)
k∑
(
|ϕ(t)〉 = a j · exp − iE )
jt
· |ψ j 〉.
j=1
(106)
Störungstheorie 1. Ordnung mit gestörtem Hamiltonoperator
H ′ = H + H 0 ist die Energieverschiebung der Eigenzustände
von H
∆E j = 〈ψ j |H 0 |ψ j 〉 . (107)
Ehrenfest-Theorem
〈p(t)〉 = m · d 〈x(t)〉 . (108)
dt
Pauli-Spin-Matrix in z-Richtung
( ) 1 0
σ z =
. (109)
0 −1
5