Formelsammlung (2. Teil - Marion H.)

Experimentalphysik I – Mechanik
Kapitel VI Die feste Materie
- HOOK’SCHES GESETZ
Mit Elastizitätsmodul E (Youngscher Modulus)
Mit Zugspannung
Potentielle Energie
und relative Dehnung
Parabel in Umgebung des Gleichgewichtsabstandes
Plastische Verformung (Fließen)
Kraft-Dehnungskurve
W 1 spannt, W 2

Kapitel VII Schwingungen
- FREIE UNGEDÄMPFTE SCHWINGUNG
Bewegungsgleichung:
für Federpendel
Allgemeine Lösung:
Beispiele:
o Torsionspendel
BG:
o Fadenpendel
BG:
Physikalisches Pendel (Körper schwingt
um Achse mit Abstand d zum
Schwerpunkt)
o U-Rohr
BG:
Energie im harmonischen Oszillator
Komplexe Schreibweise:
- FREIE GEDÄMPFTE SCHWINGUNG
Reibungskraft ist entgegengesetzt proportional zur Geschwindigkeit
Bewegungsgleichung:
Lösung:
Mit
und
Exponentielles Abklingen der Amplitude
Energie des gedämpften harm. Oszillators
für
d.h. Gesamtenergie fällt nach der Zeit
auf den e-ten Teil

Güte des Oszillators
mit ist die im Zeitintervall abgegebene Energie
Für schwach gedämpfte Oszillatoren gilt:
oder
Wenn
pro Periode gegeben ist:
Aperiodischer Grenzfall
Hier gibt es weitere Lösungen:
und
Starke Dämpfung
wird imaginär
Schwingung geht über in exponentielles Abklingen
A 1 und A 2 sind Anfangsbedingungen von x(0) und v(0),
- ERZWUNGENE SCHWINGUNG
Periodische äußere Kraft ,
Bewegungsgleichung:
sind Zeitkonstanten
Für Federpendel: , ,
Allgemeine Lösung der homogenen DGL + spezielle Lösung der inhomogenen DGL:
1.Term bezeichnet gedämpfte Schwingung mit
(beim Einschwingen)
2.Term ist die erzwungene, stationäre Schwingung
wird maximal für ( )
wird maximal für
wird maximal bei
Halbwertsbreite bei mit
damit ist Q ein geeignetes Maß für die Resonanzschärfe (scharf für schwache Dämpfung)
- GEKOPPELTE OSZILLATOREN
Zwei gekoppelte Bewegungsgleichungen:
Führe neue Koordinaten ein:

Also kann gekoppeltes Pendel gleichphasig mit (bei
und gegephasig (bei mit schwingen. Wenn beide
Schwingungstypen gleichzeitig auftreten Schwebung
N gekoppelte Oszillatoren Gleichungssystem mit
=
- PARAMETRISCH VERSTÄRKTE SCHWINGUNG
wird als Parameter aufgefasst, der zeitlich nicht mehr konstant ist
neue Bewegungsgleichung:
Beispiel: Fadenpendel wird bei verkürzt und bei um wieder verlängert
So wird Energie in das System gepumpt mit
Optimale Energiezufuhr bei , der Parameter wird modulisiert parametrischer Oszi
Kapitel VIII Nichtlineare Dynamik und Chaos
- NICHTLINEARER OSZILLATOR
Taylor-Entwicklung:
Von sin(x) an der Stelle 0:
…
Von cos(x) an der Stelle 0:
…
Exakte BG des Fadenpendels:
(Näherung ist nichtlineare DGL) Berechnung von T endet beim elliptischen Integral (nicht lösbar)
Beschreibung im Phasenraum
Bisher immer DGL 2.Ordnung, Überführung in System aus DGL 1.Ordnung
Beschreibe Zustand des Systems durch N zeitabhängigen Größen , die zu einem Vektor
zusammengefasst werden
Beispiel: gedämpfter harm. Oszillator,
Trajektorie
Geschwindigkeit
Amplitude

- DUFFING-OSZILLATOR
Spiegelsymmetrisches Potential:
Rücktreibende Kraft:
blaue Kurve: c>0 und >0
mit der Amplitude zunehmende
Federkonstante
magenta Kurve: c>0 und

Doppelmuldenpotential
o Lässt man Kugel im Zentrum los, fällt sie in eine der beiden Mulden und schwingt dort
relativ harmonisch (System beruhigt sich nach längerer Zeit)
o Wenn antreibende Kraft groß genug ist, dann kann das
System zwischen beiden Minima des
Doppelmuldenpotentials hin und her getrieben
werden. Es entsteht Schwingung mit zwei Frequenzen
(f in den Minima und f zwischen den Minima)
Periodenverdoppelung (Bifurkation)
o Wenn antreibende Kraft zu groß wird, verhält sich das
System chaotisch
- SELBSTERREGENDE SCHWINGUNG
Oszillator holt sich zum selbst bestimmten Zeitpunkt Energie ab
und entdämpft sich damit
Van-der-Pol Oszillator
Bewegungsgleichung
Kleine Amplitude Dämpfung negativ (Ruhelage wird instabil, System beginnt zu schwingen)
Größer werdende Amplitude nichtlinearer Term geht gegen null, Dämpfung wird positiv und
kompensiert die entdämpfende Wirkung des – Terms (Energiezufuhr und Dämpfung
kompensieren sich). Das System geht in Grenzzyklus über.
o Bei sehr kleinem ist die Schwingung bei guter Näherung harmonisch (dauert lang)
o Wenn relativ groß wird, schwingt sich das System schneller ein, weicht aber deutlich von
harmonischer Schwingung ab und die Frequenz ist etwas niedriger als (bei frei ged. Oszi)
o Wird zu groß gewählt, kommt man in den Bereich der Relaxationsschwingungen (System
bleibt lange in einem Zustand und schaltet dann schnell in anderen Zustand…)
Getriebener Van-der-Pol Oszillator
Amplitude als Funktion der Zeit ähnelt der Schwebung
Phänomene:
o Periodische (endliche Zahl an Durchstoßpunkten) oder quasiperiodische (Punkte bilden
geschlossene Kurve) Trajektorien (sieht man im Poincaré-Schnitt)
o Frequenzkamm
o Synchronisation des Oszillators mit der treibenden Frequenz (Poincaré-Schnitt besteht aus
einem Punkt, d.h. System oszilliert stabil mit antreibender Frequenz. Wenn
Frequenzdifferenz klein ist, reicht auch kleine Kraft, damit System auf treibende Frequenz
einrastet. Amplitude ändert sich kaum. Damit lässt sich starker Oszi durch schwachen Oszi
auf eine Frequenz bringen)
- BIFURKATION, EIN WEG INS CHAOS

Kapitel IX Mechanische Wellen
Schwingung: harm. Oszillation eines (oder mehrerer) Körper y(t)
Welle: Kopplung räumlich benachbarter Punkte Ausbreitung einer Welle y(x,t)
- TRANSVERSALSCHWINGUNG EINES SEILES
2.N.G. für ein Massenelement
Resultierende Kraft auf
Wellengleichung
mit
(wenn –ct, dann geht’s in +x-Richtung)
Sinusförmige (harmonische) Welle
Superpositionsprinzip
Sind Lösungen der Wellengleichung, dann ist auch Lösung
Reflexion am festen Ende
Randbedingung:
Der reflektierte Puls ist invertiert
Bei harmonischer Welle:
Stehende Welle mit Knoten bei
Reflexion am offenen Ende
Randbedingung
(da
Bei harmonischer Welle:
Stehende Welle mit Knoten bei
Eigenschwingungen eines Seils
o Beide Seiten geschlossen/offen
o Eine Seite offen, die andere geschlossen
Energietransport einer harm. Seilwelle
mit

- SCHALLWELLEN
Longitudinalwellen in Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern
Kraft:
(Druckdifferenz)
Volumenänderung:
Kompressibilität:
(Geschwindigkeitsdifferenz)
Wellengleichung für Druck
Lösung:
Auslenkungsamplitude
Wellengleichung für Schallschnelle
Lösung:
Schallgeschwindigkeit
In Luft:
Impedanz (Wellenwiderstand) ( )
Intensität
Lautstärke:
- AKUSTISCHER DOPPLER EFFEKT
1) Schallquelle bewegt sich mit Geschwindigkeit u
Wellenlänge vor (nach) Quelle wird verkürzt (verlängert):
Gemessene Frequenz vor (hinter) Quelle:
2) Beobachter bewegt sich mit Geschwindigkeit u
Schallgeschwindigkeit relativ zum Beobachter:
Gemessene Frequenz vor (nach) Beobachter:
- MACHER KEGEL
Schall wird in Konus mit Öffnungswinkel
abgestrahlt