Skript - Frank Reinhold

Universität Regensburg
Fakultät Physik
Experimentalphysik 1
Mechanik
PD Dr. Ulrich T. Schwarz
Wintersemester 2007/2008
L A TEX: Frank Reinhold

Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 7
2 Grundbegriffe der Bewegung 9
2.1 Ort und Bahn eines Massepunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
a) Gleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
b) Gleichförmige Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
c) Allgemeine krummlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Newtonsche Axiome 21
3.1 Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Newtonsche Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
a) Hrafreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
b) Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
c) Rollreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
d) Strömungswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
a) Torsionswaage - Cavendich Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
b) Fallgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
c) Äquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Keplersche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Energie- und Impulserhaltung 31
4.1 Arbeit und kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Erhaltung von kinetischer und potentieller Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Potentielle Energie beim Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Potentielle Energie ausgedehnter Masseverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5 Äquipotentialflächen der potentiellen Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.6 Konservative Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.7 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.8 Stoßprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
a) Vollkommen inelastischer zentraler Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
b) Vollkommen elastischer zentraler Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.9 Kraftstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.10 Masseschwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.11 Reduzierte Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.12 Stoßprozesse, Teil II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
a) Elastischer Stoß im Laborsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
b) Elastische Stöße im Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Rotation 53
5.1 Drehimpulserhaltung für einen Massepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
a) Drehmoment und Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3

Inhaltsverzeichnis
b) Erhaltung der Drehimpulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 System von Massepunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
a) Drehimpuls und Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
b) Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Starre Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
a) Allgemeine freie Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
b) Bewegung des Schwerpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
c) Bestimmung des Schwerpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
d) Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
e) Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Rotationsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5 Rotation eines beliebigen Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.6 Der symmetrische Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
a) Kräftefreier symmetrischer Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
b) Euler-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
c) Präzession des symmetrischen Kreisels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.7 Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
a) Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
b) Rotierendes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6 Die feste Materie 77
6.1 Hookesches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Querkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 Scherung und Torionsmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7 Schwingungen 81
7.1 Freie, ungedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
a) Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
b) Energie im harmonischen Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2 Freie gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
a) Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
b) Energie des gedämpften harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
c) Die Güte des Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
d) Aperiodischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
e) Starke Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.3 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.4 Gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
a) Gekoppeltes Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
b) N gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.5 Parametrisch verstärkte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8 Nichtlineare Dynamik - Chaos 97
8.1 Nichtlinearer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
a) exakte Bewegungsgleichung des Fadenpendels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
b) Berechnung der Schwingungsperiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
c) Beschreibung im Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2 Duffing-Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.3 Selbsterregende Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.4 Bifurkation, ein Weg ins Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
a) Kontinuierlich (Verhulst-Gleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
b) Diskret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9 Mechanische Wellen 107
4

Inhaltsverzeichnis
9.1 Seilwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
a) Puls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
b) Sinusförmige (harmonische) Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
c) Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
d) Reflexion am festen Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
e) Reflexion am offenen Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
f) Eigenschwingung einer Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
g) Energietransport einer harmonischen Seilwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.2 Schallwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
a) Longitudinale Wellen in Gasen, Flüssigkeiten, Festkörpern . . . . . . . . . . . . . . 115
b) Stehende Schallwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
c) Intensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
d) Wellen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
e) Akustischer Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
f) Mach’scher Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.3 Wasserwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.4 Frequenzspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.5 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
a) Überlagerung zweier Wellen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten . . . . . . . . 123
b) Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Abbildungsverzeichnis 125
Literaturverzeichnis 129
5

Inhaltsverzeichnis
6

1 Einführung
Abbildung 1.1: Die klassische Mechanik
Klassische Mechanik:
• Zeit hängt nicht vom Bezugssystem ab
• Massepunkte, asugedehnte Körper
7

1 Einführung
8

2 Grundbegriffe der Bewegung
2.1 Ort und Bahn eines Massepunktes
kartesische Koordinaten
Abbildung 2.1: kartesische Koordinaten
Zylinderkoordinaten
⃗r = (x, y, z) (2.1)
Abbildung 2.2: Zylinderkoordinaten
9

2 Grundbegriffe der Bewegung
⃗r = (r, ϕ, z) (2.2)
x = r cos ϕ (2.3)
y = r sin ϕ (2.4)
z = z (2.5)
Beispiel: Pendel in der Tafelebene
Abbildung 2.3: Pendel in der Tafelebene
⃗r(t) = (L, ϕ(t), 0) (2.6)
⇒ Reduktion auf 1-dimensionales System
Sphärische Koordinaten (Kugelkoordinaten)
10

2.2 Geschwindigkeit
Abbildung 2.4: Kugelkoordinaten
⃗r = (r, ϑ, ϕ) (2.7)
x = r sin ϑ cos ϕ (2.8)
y = r sin ϑ sin ϕ (2.9)
z = r cos ϑ (2.10)
2.2 Geschwindigkeit
Die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall ∆t ist
∆⃗r
∆t
[ m
s
]
(2.11)
Abbildung 2.5: Geschwindigkeit
Die Momentangeschwindigkeit ⃗v eines Massepunktes ist die Änderung des Ortsvektors ⃗r in einer
infinitesimal kleinen Zeit
∆⃗r
⃗v = lim
∆t→0 ∆t = d⃗r
dt = ˙⃗r (2.12)
Die Geschwindigkeit ist ein Vektor
⃗r = (v x , v y , v z ) =
( dx
dt , dy
dt , dz )
= (ẋ, ẏ, ż) (2.13)
dt
⃗v ist tangential zur Bahnkurve
11

2 Grundbegriffe der Bewegung
Weg-Zeit-Diagramm
Abbildung 2.6: Tangentenvektor
Abbildung 2.7: Weg-Zeit-Diagramm
1-dimensionale Bewegung, Projektion auf 1-Achse
v z (t 0 ) = dz
∣ (2.14)
dt t=t0
Betrag der Geschwindigkeit
|⃗v| = v =
√
v 2 x + v 2 y + v 2 z (2.15)
Geradlinig gleichförmige Bewegung
Geschwindigkeit ist zeitabhängig
⃗v(t) = d⃗r
dt = ⃗v 0 (2.16)
Versuch: Luftkissenfahrzeug
12

2.2 Geschwindigkeit
Abbildung 2.8: Luftkissenfahrzeug
∆x = 2rπ
n Löcher (2.17)
n
x = ∑ ∆x i (2.18)
i
v = ∆x
∆t ≈ dx
dt
∫ t
d⃗r
⃗r(t) =
dt ′ dt′ =
0
∫ t
0
für kleine ∆x (2.19)
⃗v 0 t + const. (2.20)
⇒ ⃗r(t) = ⃗v 0 t + ⃗r 0 (2.21)
Integrationskonstante aus Anfangsbedingung ⃗r(t = 0) = ⃗r 0 .
Beispiel: Wähle Koordinatensystem so, dass ⃗v 0 ‖ê x .
⇒ 1-dimensionale Bewegung
x(t) = v x t + x 0 (2.22)
Abbildung 2.9: 1-dimensionale Bewegung
Bewegte Bezugssysteme
• Der Raum ist isotrop und homogen
• Die Grundgesetze der Physik sind für zwei gleichförmig zueinander bewegte Beobachter gleich
System S ′ (z.B. Zug) bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit ⃗u relativ zum System S (z.B. Bahnsteig)
13

2 Grundbegriffe der Bewegung
Abbildung 2.10: Bewegte Bezugssysteme
Galilei-Transformation
⃗r = ⃗r ′ + ⃗ut (2.23)
⃗v = ⃗v ′ + ⃗u (2.24)
t = t ′ (2.25)
• Mit konstanter Geschwindigkeit bewegte Bezugssysteme heißen Inertialsysteme
• Zeit ist unabhängig vom Intertialsystem (für |⃗u| ≪ c)
• Die Gesetze der klassischen Mechanik sin invariant gegen Galilei-Transformation, d.h. gleiches Cerhalten
unabhängig vom gewählten Inertialsystem
2.3 Beschleunigung
Bechleunigung ⃗a (acceleration) definiert als Änderung der Geschwindigkeit ⃗v in einem infinitesimalen
Zeitraum
Die Beschleunigung ist die 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit
⃗a = d⃗v
dt = d ( ) d⃗r
= d ˙⃗r
dt dt dt = ¨⃗r
Im kartesischen Koordinatensystem ist
⃗a = (a x , a y , a z ) =
∆⃗v
⃗a = lim
∆t→0 ∆t = d⃗v
dt = ˙⃗v (2.26)
[ m
s 2 ]
( dvx
dt , dv y
dt , dv ) (
z d 2 )
r x
=
dt dt 2 , d2 r y
dt 2 , d2 r z
dt 2
a) Gleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung
Beschleunigung ⃗a = ⃗a 0 ist zeitunabhängig.
Geschwindigkeit:
⃗v(t) − ⃗v 0 =
∫ t
0
d⃗v
dt ′ dt ′ =
∫ t
0
(2.27)
(2.28)
⃗a 0 dt ′ = ⃗a 0 · t (2.29)
14

2.3 Beschleunigung
Integrationskonstante ⃗v 0 : ⃗v(t = 0) = ⃗v 0 Anfangsgeschwindigkeit.
Ort:
⃗r(t) − ⃗r 0 =
∫ t
0
d⃗r
dt ′ dt ′ =
∫ t
0
⃗v(t ′ ) dt ′ =
Integrationskonstante ⃗r 0 : ⃗r(t = 0) = ⃗r 0 Anfangsort.
∫ t
0
⃗a 0 t ′ + ⃗v 0 dt ′ = 1 2 ⃗a 0t 2 + ⃗v 0 t (2.30)
⃗r(t) = 1 2 ⃗a 0t 2 + ⃗v 0 t + ⃗r 0 (2.31)
⃗v(t) = ⃗a 0 t + ⃗v 0 (2.32)
⃗a(t) = ⃗a 0 (2.33)
Beispiel: Freier Fall mit horizontaler Bewegung
Abbildung 2.11: Freier Fall mit horiontaler Bewegung
x-Richtung
r x = 1 2 gt2 + v 0,x t + r 0,x = 1 2 gt2 (2.34)
y-Richtung
r y = 1 2 a 0,yt 2 + v 0,y t + r 0,y = v 0 t (2.35)
Zeit bis zum Aufschlag
r x = 1 2 gt2 = h t =
√
2h
g
(2.36)
15

2 Grundbegriffe der Bewegung
Bahnkurve
x = 1 2 gt2 (2.37)
y = v 0 t (2.38)
⃗r(t) = 1 2
⇒ x = 1 2 g y2
⎛
⎝ g 0
0
⎞
v 2 0
⎠ t 2 +
⎛
⎝ 0 v 0
0
⎞
⎠ t +
(2.39)
⎛
⎝ 0 ⎞ ⎛ ⎞
1
2
0⎠ = ⎝
gt2
v 0 t ⎠ = (2.40)
0 0
= 1 2 ⃗at2 + ⃗v 0 t + ⃗r 0 (2.41)
b) Gleichförmige Kreisbewegung
(nicht konstante Beschleunigung), Betrag der Geschwindigkeit ist konstant |⃗v| = const., ⃗v ‖ momentanen
Tangente, Richtung von ⃗v ändert sich ständig.
Kreisbogen
Betrag der Geschwindigkeit
Abbildung 2.12: Gleichförmige Kreisbewegung
∆s = 2πR ∆ϕ(Grad)
360 ◦ = 2πR ∆ϕ(Bogenmaß) = ∆ϕR (2.42)
2π
∆s
v = lim
∆t→0 ∆t = ds
dt = d dϕ
(ϕR) = R
dt dt
(2.43)
Definition: Winkelgeschwindigkeit
ω = dϕ
dt = ˙ϕ
[ 1
s
]
(2.44)
Damit folgt
v = Rω
[ m
s
]
(2.45)
16

2.3 Beschleunigung
Zeit für Umlauf (Periode)
vT = 2πR (2.46)
RωT = 2πR (2.47)
ω = 2π
T
(2.48)
Frequenz
f = 1 T = ω 2π
(2.49)
Richtung der Beschleunigung
⃗v 2 = v 2 = const. (2.50)
d⃗v 2
dt
d⃗v
= 2⃗v = 2⃗v⃗a = 0
dt
(2.51)
⇒ ⃗v⊥ d⃗v bzw. ⃗v⊥⃗a
dt
(2.52)
Beschleunigung ist senkrecht auf Geschwindigkeit für die gleichmäßige Kreisbewegung, ⃗v‖ˆt Einheitstangente
ˆt, ⃗a‖ˆr Radiusvektor ˆr, ⃗a zeigt zum Mittelpunkt des Kreises.
Betrag der Beschleunigung
Abbildung 2.13: Betrag der Beschleunigung
∆⃗v = ⃗v(t + ∆t) − ⃗v(t) (2.53)
∆⃗v ≈ v sin(∆ϕ) ≈ v∆ϕ kleine Winkel (2.54)
|∆⃗v|
|⃗a| = lim = v dϕ
∆t→0 ∆t dt = vω = ω2 R (2.55)
⃗a = −Rω ⃗ 2 Zentripetalbeschleunigung (2.56)
für gleichmäßige Kreisbewegung.
Alternative Betrachtung
17

2 Grundbegriffe der Bewegung
gleichmäßige Kreisbewegung ϕ = ωt
Abbildung 2.14: Alternative Betrachtung
Vektorielle Schreibweise der Winkelgeschwindigkeit ⃗ω:
( ) R cos(ωt)
⃗R(t) = (2.57)
R sin(ωt)
⃗v(t) = d R(t) ⃗ ( )
−Rω sin(ωt)
=
(2.58)
dt Rω cos(ωt)
⃗a(t) = d⃗v(t) ( )
−Rω
=
2 cos(ωt)
dt −Rω 2 = −ω 2 R(t) ⃗ (2.59)
sin(ωt)
Abbildung 2.15: Vektorielle Schreibweise ⃗ω
⃗ω ‖ Drehachse, ⃗v = ⃗ω × ⃗r, ⃗v steht senkrecht auf ⃗ω und ⃗r (und ⃗ R).
⃗v, ⃗ω und ⃗r bilden ein Rechtssystem
ω ist axialer Vektor (Pseudovektor), ⃗r, ⃗v, ⃗a sind polare Vektoren.
Punktspiegelung
|⃗v| = |⃗ω × ⃗r| = ωr sin ϑ = ωR (2.60)
⃗r, ⃗v,⃗a −→ − ⃗r, −⃗v, −⃗a (2.61)
⃗ω −→ ⃗ω (2.62)
⃗v = ⃗ω × ⃗r −→ (−⃗v) = ⃗ω × (−⃗r) (2.63)
18

2.3 Beschleunigung
c) Allgemeine krummlinige Bewegung
⃗v ändert sich ini Betrag und Richtung
⃗v = vˆt, Einheitsvektor in tangentiale Richtung ˆt.
Beschleunigung
Abbildung 2.16: Allgemeine krummlinige Bewegung
Tangential- und Normalbeschleunigung
⃗a = d⃗v
dt = d dt (vˆt) = dv
dt ˆt + v dˆt
dt
(2.64)
19

2 Grundbegriffe der Bewegung
20

3 Newtonsche Axiome
3.1 Kraft
Eigenschaften:
Betrag, Richtung, Angriffspunkt
Kraft als Vektor
Überlagerung von Kräften: Vektor-Addition
⃗F = (F x , F y , F z ) (3.1)
⃗F = ∑ i
⃗F i Superpositionsprinzip (3.2)
Abbildung 3.1: Superpositionsprinzip
Kraft kann z.B. durch Verformung eines Körpers gemessen werden: Federwaage
Abbildung 3.2: Hook’sches Gesetz
21

3 Newtonsche Axiome
Hook’sches Gesetz
mit F x ist Rückstellkraft, C ist Federkonstante Kraftfelder:
Jedem Punkt im Raum kann eine Kraft zugeordnet werden
Beispiel: Schwerefeld der Erde = Zentralkraftfeld
F x = −C · ∆x (3.3)
⃗F = ⃗ F (⃗r) (3.4)
Abbildung 3.3: Schwerefeld der Erde
mit Masse der Erde M und Gravitationskonstante G
3.2 Newtonsche Axiome
⃗F = −G mM ˆr (3.5)
r2 1. Newtonsches Axiom (Trägheitsprinzip)
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, solange keine
Kraft auf ihn wirkt.
Impuls als Maß für Bewegungszustand eines Körpers der trägen Masse m
[ ] kg · m
⃗p = m⃗v
s
(3.6)
Der Impuls eines freien Körpers ist konstant.
2. Newtonsches Axiom (Aktionsprinzip)
Wenn eine Kraft ⃗ F auf einen Körper wirkt, ändert sich sein Impuls ⃗p = m⃗v so, dass
Für m = const. gilt
⃗F = d⃗p
dt
(3.7)
⃗F = d (m⃗v) = md⃗v = m⃗a (3.8)
dt dt
22

3.3 Reibung
Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse m und direkt proportional
zur Kraft, die auf ihn wirkt
F
⃗a = ⃗ [F ] = kg · m
m
s 2 = N (3.9)
Das 2. Newtonsche Axiom gilt auch, wenn sich die Masse ändert
⃗F = d⃗p
dt = md⃗v dt + v dm
dt
(3.10)
Wirken mehrere Kräfte ⃗ F i auf einen Körper, so erfolgt die Beschleunigung ⃗a in Richtung der resultierenden
Kraft ⃗ F = ∑ i ⃗ F i .
3. Newtonsches Axiom (Reaktionsprinzip)
Wenn eine Kraft ⃗ F , die auf einen Körper wirkt, ihren Ursprung in einem anderen Körper hat, so wirkt
auf diesen die entgegengesetzte gleiche Kraft − ⃗ F .
actio = reactio (3.11)
⃗F 12 = − ⃗ F 21 (3.12)
Definition der Masse über die Beschleunigung:
Kraft F wirkt auf m 1 → a 1
Kraft F wirkt auf m 2 → a 2
a 1
F = m 1 a 1 = m 2 a 2 ⇒ m 2 = m 1
a 2
(3.13)
⇒ Massenskala über Verhältnis der Beschleunigungen (Primärnormal-Platin-Iridium-Zylinder)
Einheit der Kraft:
1N entspricht der Kraft, die benötigt wird, um einen Körper der Masse 1kg mit 1 m s 2
F
⃗a = ⃗ [ m
m
s kg]
2 = N
zu beschleunigen.
(3.14)
3.3 Reibung
Ursprung der Reibung ist die Anziehung der Atome/Moleküle zweier eng beieinander liegenden Kontaktflächen
a) Hrafreibung
Maximale Haftkraft ∝ Normalkraft F N zwischen beiden Flächen
Haftreibungskoeffizient µ h
F h,max = µ h · F N (3.15)
Abbildung 3.4: Haftreibung
23

3 Newtonsche Axiome
b) Gleitreibung
F g = µ g · F N (3.16)
Gleitreibungskoeffizient µ g
µ g und µ h hängen von der Oberflächenstruktur ab, aber nicht von der makroskopischen Berührungsfläche.
c) Rollreibung
F R = µ R · F N (3.17)
Rollreibungskoeffizient µ R
d) Strömungswiderstand
Geschwindigkeitsabhängige Reibung
F S = b · v n (3.18)
Formabhängiger Reibungskoeffizient b, n liegt zwischen 1 (niedrige Geschwindigkeit) und 2 (hohe Geschwindigkeit).
Beispiel: Fallschirmspringer
Abbildung 3.5: Fallschirmspringer
⇒ Grenzgeschwindigkeit
F = mg − bv 2 = ma (3.19)
mg = bv 2 Gleichgewicht (3.20)
v =
√ mg
b
(3.21)
3.4 Gravitationsgesetz
Alle Körper des Universums ziehen sich gegenseitig an.
24

3.4 Gravitationsgesetz
Abbildung 3.6: Gravitationsgesetz
⃗F 12 = γ · m1m 2
r 2 · ˆr 12 (3.22)
−11 Nm2
mit schweren Massen m 1 und m 2 und Gravitationskonstante γ = 6, 67428(67) · 10
kg 2
a) Torsionswaage - Cavendich Experiment
siehe Online-Handout
b) Fallgesetz
Alle Körper erfahren beim freien Fall die gleiche Beschleunigung unabhängig von Größe, Form oder sonstiger
Beschaffenheit.
Beschleunigung in der Nähe der Erdoberfläche
a = F m = γ · m · M E
m · R 2 E
(3.23)
a = g = γ · ME
R 2 E
mit Erdmasse M E = 5, 975 · 10 24 kg, Erdradius (Äquator) R E = 6, 378 · 10 6 m
= 9, 81 N kg = 9, 81m s 2 (3.24)
c) Äquivalenzprinzip
Sind schwere Masse m S im Gravitationsgesetz F = γ m S1m S2
r12
2
Axiom a = F m T
identisch?
Fallbeschleunigung
g = γ m SM E
m T R 2 E
Experiment zeigt, dass alle Körper gleich schnell fallen
und träge Masse m T
im 2. Newtonschen
(3.25)
m S = m T = m (3.26)
so festge-
−11 Nm2
Eigentlich folgt nur m S ∝ m T . Die Proportionalitätskonstante ist durch γ = 6, 67 · 10
kg 2
legt, dass m S = m T ist.
Genaueres Experiment (Newton):
Für Pendelschwingungen ist die Periodendauer T unabhängig von der Art des Pendelkörpers.
25

3 Newtonsche Axiome
Abbildung 3.7: Pendelschwingung
F T = −G sin ϕ = −m S g sin ϕ (3.27)
G = m s g (3.28)
Weg
s(t) = rϕ(t) (3.29)
Beschleunigung
Aktionsprinzip
a = d2 (rϕ)
dt 2
= r d2 ϕ
dt 2 r = const. (3.30)
Bewegungsgleichung
Ansatz: periodische Bewegung
in (3.33)
m T a = F (3.31)
m T r d2 ϕ
dt 2 = −msg sin ϕ ≈ −m Sgϕ (3.32)
d 2 ϕ
dt 2
= − m Sg
m T r ϕ (3.33)
ϕ(t) = A cos(ωt + φ) (3.34)
dϕ(t)
= −Aω sin(ωt + φ)
dt
(3.35)
d 2 ϕ(t)
dt 2 = −Aω 2 cos(ωt + φ) = −ω 2 ϕ(t) (3.36)
−ω 2 ϕ(t) = − m S g
ϕ(t) (3.37)
m T r
26

3.5 Keplersche Gesetze
ist zu allen Zeiten erfüllt für
ω =
√
mS g
m T r
(3.38)
Anfangsbedingungen (z.B.): maximale Auslenkung ϕ 0 zur Zeit t = 0 und dϕ
dt = 0 für t = 0
A = ϕ 0 φ = 0 (3.39)
ϕ(t) = ϕ 0 cos(ωt) (3.40)
Abbildung 3.8: Periodische Bewegung
√
Schwingungsperiode T = 2π ω = 2π mT ·r
m S·g ist unabhängig von der Art der Pendelmasse, wenn m S =
m T = m. Dann gilt
√ g
ω =
r
(3.41)
Historie:
Baron Eötvös (1898), R. H. Diche (1961), Gleichheit von m S und m T mit relativem Fehler 10 −12 .
3.5 Keplersche Gesetze
1. Keplersches Gesetz
Die Planeten bewegen sich um die Sonne auf Ellipsenbahnen und die Sonne steht in einem der beiden
Brennpunkte der Ellipse.
Abbildung 3.9: 1. Keplersches Gesetz
27

3 Newtonsche Axiome
Ellipsenform in Polarkoordinaten
r = a ·
r − ε 2
r − ε cos ϕ
(3.42)
mit großer Halbachse a und Elliptizität ε, Brennpunkte F und F ′ .
2. Keplersches Gesetz (Flächensatz)
Zieht man einen Radiusvektor von der Sonne zum Planeten, so überstreicht er in gleichen Zeiten gleiche
Flächen.
Fläche des Dreiecks
Abbildung 3.10: 2. Keplersches Gesetz
Abbildung 3.11: Flächensatz
A = 1 2
Definition: Vektor ⃗ V A , dessen Betrag die Flächengeschwindigkeit ist.
|⃗r| · |d⃗r | sin γ (3.43)
dt
⃗V A = 1 d⃗r
⃗r ×
2 dt
(3.44)
1. und 2. Keplersches Gesetz: ⃗ V A ändert weder Richtung noch Betrag.
dV ⃗ A
dt
dV ⃗ A
dt
= 0 (3.45)
= d (
⃗r × d⃗r )
= d⃗r
dt dt dt × d⃗r
dt + ⃗r × d2 ⃗r
dt 2 = 0 (3.46)
⇒ ⃗r × d2 ⃗r
= ⃗r × ⃗a = 0
dt2 (3.47)
⇒ ⃗r‖⃗a (3.48)
⇒ ⃗r‖ ⃗ F (3.49)
28

3.5 Keplersche Gesetze
Die Kraft ist immer parallel zur Verbindungslinie Sonne-Planet:
⇒ Zentralkraft
3. Keplersches Gesetz
Das Verhältnis aus dem Quadrat der Umlaufzeit zur dritten Potenz der längeren Halbachse ist für alle
Planetenbahnen gleich.
Annahme:
Planetenbahnen ∼ Kreisbahnen
⇒ Zentripetalbeschleunigung
a 3
m3
= 3, 354 · 1018 = const. (3.50)
T
2
s2 Ersetze 1
T 2
⇒
a = ω 2 r = 4π2
T 2 r (3.51)
mit c
r 3 a = 4π 2 · c · 1
r 2 (3.52)
F = ma = 4π 2 · c · m
r 2 (3.53)
m
r 2 -Abhängigkeit des Gravitationsgesetzes.
”Der Mond fällt wie der Apfel”:
Kreisbahn
Beschleunigung
In ∆t = 1s zurückgelegte ”Fallstrecke”
Apfel fällt
R M = 3, 8 · 10 8 m ∼ 60R E (3.54)
T M = 27, 3 Tage (3.55)
a r = ωM 2 R M = 4π2
TM
2 R M (3.56)
∆r M = 1 2 a rt 2 = 2π2
T 2 R M = 1, 3mm (3.57)
∆r A = g 2 ∆t2 = 4, 9m ≈ 3700∆r M (3.58)
passt zu F ∝ 1
r 2 , da R M
RE
∼ 60.
29

3 Newtonsche Axiome
30

4 Energie- und Impulserhaltung
Erfahrungstatsache:
In einem abgeschlossenen System bleibt die Energie erhalten.
Formen der Energie:
Gravitationsenergie, kinetische Energie, Wräme, elastische Energie, chemische Energie, Strahlungsenergie,
Kernenergie, Massenenergie, elektrische Energie.
Abgeschlossenes System:
Energie kann zugeführt werden, indem Arbeit am System verrichtet wird, oder abgeführt, wenn das
System Arbeit verrichtet.
4.1 Arbeit und kinetische Energie
Einfaches Beispiel: Ein Körper wird mit konstanter Kraft beschleunigt (keine Reibung).
Abbildung 4.1: Arbeit und kinetische Energie
Arbeit = Kraft in Bewegungsrichtung × Verschiebung
W = F x · ∆x = | ⃗ F | · ∆x · cos ϕ = ⃗ F · δ⃗x (4.1)
kg · m2
[W ] = N · m =
s 2 = J (4.2)
konstante Kraft ⇒ konstante Beschleunigung (m = const.).
2. Newtonsches Axiom
F x = m · a x (4.3)
Mittlere Geschwindigkeit
v = a x t + v 0 ⇒ t = v − v 0
a x
(4.4)
〈v〉 = 1 2 (v + v 0) (4.5)
∆x = 〈v〉t (4.6)
⇒ ∆x = 1 2 (v + v 0) · v − v 0
= 1 v 2 − v0
2 (4.7)
a x 2 a x
∆x · a x = 1 2 (v2 − v 2 0) (4.8)
31

4 Energie- und Impulserhaltung
Arbeit
F x · ∆x = 1 2 mv2 − 1 2 mv2 0
Änderung der kinetischen Energie (4.9)
Kinetische Energie
Allgemeine Herleitung: 2. Newtonsches Axiom
Eliminiere dt
Mit Impuls ⃗p = m⃗v
E kin = 1 2 mv2 = p2
2m
⃗p = m⃗v (4.10)
kg · m2
[E kin ] =
s 2 = J (4.11)
d⃗p = ⃗ F · dt | · ⃗v (4.12)
⃗v · d⃗p = ⃗v · ⃗F · dt (4.13)
d⃗r = ⃗v · dt | · ⃗F (4.14)
⃗F · d⃗r = ⃗ F · ⃗v · dt (4.15)
⃗v · d⃗p − ⃗ F · d⃗r = 0 (4.16)
Etwas Mathe
⃗p · d⃗p
m
− ⃗ F ˙ d⃗r = 0 (4.17)
dp 2 = d(⃗p · ⃗p) = ⃗pd⃗p + d⃗p · ⃗p = 2⃗p · d⃗p (4.18)
( ) ⃗p
2
⇒ d − F
2m } ⃗ {{
· d⃗r
}
= 0 (4.19)
} {{ } Arbeit
Änderung der E kin
⇒ dE kin − dW = 0 (4.20)
Abbildung 4.2: Arbeit und kinetische Energie
∆E kin > 0 (4.21)
∆W = F ⃗ · ∆x > 0 (4.22)
Arbeit, die entlang einer Bahnkurve geleistet wird
W =
∫ ⃗r(t)
⃗r(t 0)
⃗F · d⃗r ′ [J] ”Kraft mal Weg” (4.23)
Nur die Tangentialkomponente der Kraft trägt zur Arbeit bei
32

4.2 Erhaltung von kinetischer und potentieller Energie
Abbildung 4.3: Tangentialkomponente der Kraft
⃗F r · d⃗r = 0 (4.24)
Leistung:
Rate, mit der eine Kraft Arbeit verrichtet
P = dW dt
[ J
s = W ]
(4.25)
dW = ⃗ F · d⃗r = ⃗ F⃗v · dt (4.26)
⇒ ⃗p = ⃗ F · ⃗v (4.27)
4.2 Erhaltung von kinetischer und potentieller Energie
Beispiel: Arbeit und potentielle Energie bei der Deformation einer Feder.
Abbildung 4.4: Deformation einer Feder
W =
∫ x
0
F dx = c
∫ x
0
x dx = c 2 x2 (4.28)
Arbeit wird am System verrichtet
⇒ Erhöhung der potentiellen Energie E pot
33

4 Energie- und Impulserhaltung
Abbildung 4.5: Potentielle Energie E pot
Allgemein
dE kin + dE pot − dW = 0 (4.29)
Abgeschlossenes System (dW = 0)
d(E kin + E pot ) = 0 (4.30)
Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie bleibt in einem abgeschlossenen System erhalten.
Beispiel: Fadenpendel
Abbildung 4.6: Fadenpendel
34

4.2 Erhaltung von kinetischer und potentieller Energie
Verrichtete Arbeit
∫ ⃗r2
∫ h
W = −m⃗g · d⃗r = mg dz = mgh (4.31)
⃗r 1 0
E kin + E pot = E ges = mgh (4.32)
1
2 mv2 + mgz = mgh (4.33)
⇒ v(z) = √ 2g(h − z) (4.34)
Maximalgeschwindigkeit
v max = √ 2gh (4.35)
Energieerhaltung/Feder
Abbildung 4.7: Energieerhaltung (Feder)
E kin = E tot − E pot = 1 2 cx2 max − 1 2 cx2 (4.36)
1
2 mv2 = 1 2 c(x2 max − x 2 ) (4.37)
v =
√ c
m (x2 max − x 2 ) (4.38)
Frei fallender Körper/Erdbeschleunigung
35

4 Energie- und Impulserhaltung
Abbildung 4.8: Erdbeschleunigung
Anfangsbedingung
v 0 = v(z = 0) = 0 (4.39)
E tot = E kin + E pot = 0 (4.40)
= E kin (z = 0) + E pot (z = 0) = 0 (4.41)
⇒ E kin = 1 2 mv2 = −mgz z < 0 (4.42)
v = √ −2gz (4.43)
4.3 Potentielle Energie beim Gravitationsgesetz
Abbildung 4.9: E pot beim Gravitationsgesetz
Kraft
⃗F = γ m 1m 2
r 2 ˆr (4.44)
36

4.3 Potentielle Energie beim Gravitationsgesetz
Arbeit
W ABC =
W AB′ C =
∫ ⃗r2
⃗r 1
∫ ⃗r2
∫ B ∫ C
F ⃗ d⃗r = ⃗F d⃗r + ⃗F d⃗r (4.45)
A
B
} {{ }
=0 ( ⃗ F ⊥d⃗r)
∫ C
∫ B
′
F ⃗ d⃗r = ⃗F d⃗r + F ⃗ d⃗r = W ABC (4.46)
⃗r 1 A
B
} ′
{{ }
=0 ( ⃗ F ⊥d⃗r)
Zerlege beliebigen Weg in Wegstücke mit ⃗ F ⊥d⃗r (W = 0) und ⃗ F ‖d⃗r (W ≠ 0).
⇒ Arbeit hängt nur von Anfangs- und Endradius |⃗r 1 | und |⃗r 2 | ab.
W =
∫ r2
r 1
γ m 1m 2
r 2 dr = −γm 1 m 2 ·
( 1
r 2
− 1 r 1
)
(4.47)
Abbildung 4.10: r-E pot -Diagramm
Bezugspunkt R E möglich
( 1
E pot = γm 1 M E − 1 )
R E r
(4.48)
Geschickter: Bezugspunkt r 1 → ∞
E pot = −γ m 1M E
r
(4.49)
2. kosmische Geschwindigkeit
E kin + E pot = 0 (4.50)
1
2 mv2 0 − γm M √
E
= 0 ⇒ v 0 = 2γ M E
= 11, 2 km (4.51)
R E R E s
37

4 Energie- und Impulserhaltung
4.4 Potentielle Energie ausgedehnter Masseverteilungen
Abbildung 4.11: Ausgedehnte Masseverteilung
Gesamtarbeit um m 0 nach ∞ zu verschieben
E pot =
Verallgemeinerung für N Massen
∫ ∞
r 01
⃗ F01 d⃗r +
∫ ∞
r 02
(
F02 ⃗ m1
d⃗r = −γm 0 + m )
2
r 01 r 02
(4.52)
E pot = −γm 0 ·
Potentielle Energie einer Masse m 0 in der Nähe einer Kugelschale der Masse M
N∑
i=1
m i
r 0i
(4.53)
Abbildung 4.12: Potential einer Kugelschale
1. Fall:
außerhalb der Kugelschale
2. Fall:
innerhalb der Kugelschale
E pot = −γm 0
∫
M
E pot = −γ m 0M
r
E pot = −γ m 0M
R
dm
s
(4.54)
(4.55)
= const. (4.56)
38

4.5 Äquipotentialflächen der potentiellen Energie
Abbildung 4.13: E-r- und F -r-Diagramm einer Kugelschale
m 0 kann innerhalb der Kugelschale ohne Arbeit verschoben werden (kräftefrei). Außerhalb E pot ∝ 1 r wie
Punktmasse.
Potential einer Vollkugel (analog)
Abbildung 4.14: E-r- und F -r-Diagramm einer Vollkugel
4.5 Äquipotentialflächen der potentiellen Energie
Äquipotentialflächen:
Orte gleicher Energie
E pot (x, y, z) = const. (4.57)
Verschiebung entöang der Äquipotentialflächen benötigt keine Kraft (W = 0). Allgemein gilt
dE pot = dW = − ⃗ F · d⃗r (4.58)
Kraft steht senkrecht auf Äquipotentialflächen. In Richtung der Kraftlinien gilt
Vektoriell geschrieben mit Gradienten-Operator
Skalares Feld E pot (⃗r) ⇒ Vektorfeld ⃗ F (⃗r)
dE pot = −F dr (4.59)
oder F = − dE pot
dr
⎛
⎜
⃗F = −gradE pot = −∇E pot = − ⎝
dE pot
dx
dE pot
dy
dE pot
dz
⎞
(4.60)
⎟
⎠ (4.61)
39

4 Energie- und Impulserhaltung
Beispiel: Potential einer Punktfläche
4.6 Konservative Kräfte
E pot = −γ mM 0
= −γmM 0 (x 2 + y 2 + z 2 ) − 1 2 (4.62)
r
d
dx (x2 + y 2 + z 2 ) − 1 1
2 = −
2 (x2 + y 2 + z 2 ) − 3 x
2 2x = −
r 3 (4.63)
⎛
− ∇E pot = γmM 0
⎝ − ⎞
x
r 3
− y ⎠
1
r
= −γmM 3
0
− z
r 2 · ⃗r r = −γmM 1
0 · ˆr (4.64)
r2 r 3
Eine Kraft ist konservativ, wenn die Gesamtarbeit, die sie an einem Teilchen verrichtet, das sich auf einer
beliebigen geschlossenen Bahn bewegt, gleich Null ist.
Abbildung 4.15: Konservative Kraft
Konservative Kräfte...
• hängen nur von Ortskoordinaten ab.
W 12 (Weg A) = −W 21 (Weg B) = W 12 (Weg B) (4.65)
• Potentielle Energie kann unabhängig vom Integrationsweg definiert werden.
• Erhaltung von E tot = E pot + E kin (energy is conserved).
Nicht-konservative Kräfte...
• geschwindigkeitsabhängige Kräfte (Reibung).
• zeitabhängige Kräfte.
• E tot ist abhängig vom Weg und bleibt nich erhalten.
4.7 Impulserhaltung
Konsequenz aus dem 3. Newtonschen Axiom.
Zwei wechselwirkende Körper. Keine Kraft von außen.
40

4.7 Impulserhaltung
Abbildung 4.16: Zwei wechselwirkende Körper ohne äußere Kräfte
Für beliebige Kräfte (Gravitation, elastischer und inelastischer Stoß, ...) gilt
Mit dem 2. Newtonschen Axiom
Gesamtimpuls
actio = reactio ⃗ F12 = − ⃗ F 21 (4.66)
⃗F 12 + F ⃗ 21 = d⃗p 1
dt + d⃗p 2
dt = d(m 1⃗v 1 )
+ d(m 2⃗v 2 )
= 0
dt dt
(4.67)
d
dt (⃗p 1 + ⃗p 2 ) = d ⃗p = 0
dt
(4.68)
⃗p = m 1 ⃗v 1 + m 2 ⃗v 2 = const. (4.69)
Der Gesamtimpuls ⃗p eines Systems zweier Körper ändert sich nicht unter dem Einfluss innerer Kräfte
zwischen den Körpern.
Allgemein für N Körper
Abbildung 4.17: Gesamtimpuls für N Körper
N∑
⃗F ik = 0 (4.70)
i,k=1
i≠k
Kräftepaare sind entgegengesetzt gleich groß.
41

4 Energie- und Impulserhaltung
Änderung der einzelnen Impulse
⇒
d
dt
N∑
i=1
N∑
i=1
d⃗p i
dt =
d⃗p i
dt =
4.8 Stoßprozesse
N ∑
i,k=1
i≠k
N ∑
i,k=1
i≠k
Abgeschlossenes System ohne äußere Kräfte
⃗F ik Gesamtkraft auf i-ten Körper (4.71)
⃗F ik = 0 (4.72)
⃗p i = d ⃗p = 0 Gesamtimpuls bleibt erhalten (4.73)
dt
N∑
⃗p i = const. (4.74)
i=1
Gesamtimpuls vor Stoß = Gesamtimpuls nach Stoß.
Zwei Körper (Atome, Billardkugeln)
Versuch: Wasserrakete
m 1 ⃗v 1 + m 2 ⃗v 2 = m 1 ⃗v ′ 1 + m 2 ⃗v ′ 2 (4.75)
Abbildung 4.18: Wasserrakete
m R v R = m T v T (4.76)
v R = m T
m R
v T (4.77)
Raketengleichung
Treibstoff Luft: m T ≪ m R ⇒ v R ≪ v T (4.78)
Treibstoff Wasser: m T = m R ⇒ v R = v T (4.79)
Fall A:
Kinetische Energie bleibt beim Stoß erhalten
v R = ln m R + m T
m R
v T (4.80)
E kin = p2 1
+ p2 2
= p′2 1
+ p′2 2
= E kin ′ (4.81)
2m 1 2m 2 2m 1 2m 2
42

4.8 Stoßprozesse
Fall B:
Teil der kinetischen Energie wird in andere Energieformenumgewandelt (Reibung, Verformung)
für Q = 0: elastischer Stoß
für Q ≠ 0: inelastischer Stoß
E kin = p2 1
+ p2 2
= p′2 1
+ p′2 2
+ Q = E kin ′ + Q (4.82)
2m 1 2m 2 2m 1 2m 2
a) Vollkommen inelastischer zentraler Stoß
Körper bewegen sich vor und nach dem Stoß auf der gleichen Geraden (Luftschiene).
keine Energieerhaltung
aber Impulserhaltung
Im bewegeten Bezugssystem
Abbildung 4.19: Inelastischer Stoß
Q ≠ 0 (4.83)
m 1 ⃗v 1 + m 2 · 0 = (m 1 + m 2 )⃗v 1 ′ (4.84)
⇒ ⃗v 1 ′ m 1
= ⃗v 1
m 2 + m 1
(4.85)
⃗u = − 1 2 ⃗v 1 m 1 = m 2 (4.86)
Abbildung 4.20: Inelastischer Stoß im bewegten Bezugssystem
b) Vollkommen elastischer zentraler Stoß
Impulserhaltung
Energieerhaltung
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v ′ 1 + m 2 v ′ 2 (4.87)
1
2 m 1v 2 1 + 1 2 m 2v 2 2 = 1 2 m 1v ′2
1 + 1 2 m 2v ′2
2 (4.88)
43

4 Energie- und Impulserhaltung
2 Gleichungen, 2 Unbekannte
m 1
2 (v2 1 − v 1 ′2 ) = m 2
2 (v2 2 − v 2 ′2 ) (4.89)
m 1 (v 1 − v 1)(v ′ 1 + v 1) ′ = m 2 (v 2 − v 2)(v ′ 2 + v 2) ′ (4.90)
m 1 (v 1 − v 1) ′ = m 2 (v 2 − v 2) ′ (4.91)
v 1 + v 1 ′ = v 2 + v 2 ′ (4.92)
⇒ v 2 ′ − v 1 ′ = −(v 2 − v 1 ) (4.93)
Umkehrung der Relativgeschwindigkeiten
Versuch: elastischer Stoß auf ruhende Masse
Umkehrung der Relativgeschwindigkeit
Impulserhalt
Abbildung 4.21: Elastischer Stoß auf ruhende Masse
v ′ 2 − v ′ 1 = −(v 2 − v 1 ) (4.94)
v ′ 2 − v ′ 1 = v 1 (4.95)
m 1 v ′ 1 + m 2 v ′ 2 = m 1 v 1 v ′ 1 = v ′ 2 − v 1 (4.96)
m 1 (v ′ 2 − v 1 ) + m 2 v ′ 2 = m 1 v 1 (4.97)
m 2 v ′ 2 = m 1 v 1 − m 1 v ′ 2 + m 1 v 1 (4.98)
m 2 v ′ 2 = 2m 1 v 1 − m 1 v ′ 2 | + m 1 v ′ 2 (4.99)
v ′ 2(m 1 + m 2 ) = 2m 1 v 1 (4.100)
v ′ 2 = 2m 1
m 1 + m 2
v 1 (4.101)
Fall 1: m 1 = m 2
v ′ 2 = 2m 1
m 1 + m 1
v 1 = v 1 (4.102)
v ′ 1 = v ′ 2 − v 1 = v 1 − v 1 = 0 (4.103)
Fall 2: m 1 = 2m 2
v ′ 2 =
4m 2
m 2 + 2m 2
v 1 = 4 3 v 1 (4.104)
v ′ 1 = v ′ 2 − v 1 = 1 3 v 1 (4.105)
44

4.9 Kraftstoß
Fall 3: m 1 = 1 2 m 2
v ′ 2 =
m 2
1
2 m v 1 = 2
2 + m 2 3 v 1 (4.106)
v ′ 1 = v ′ 2 − v ′ 1 = 2 3 v 1 − v 1 = − 1 3 v 1 (4.107)
Versuch: Astroblaster
Abbildung 4.22: 3-stufiger Astroblaster aus Sicht eines mitbewegten Beobachters
v ′ 2 = 2m 1
m 1 + m 2
v ′ 1 (4.108)
v ′ 3 = 2m 2
m 2 + m 3
v ′ 2 = 2m 2
m 2 + m 3
v ′ 2 ·
0 = dv′ 3
dm 2
=
2m 1
m 1 + m 2
v ′ 1 = (4.109)
4m 1 m 2 v 1
′ =
(m 2 + m 3 )(m 1 + m 2 ) = 4m 1 m 2 v 1
′
m 1 m 2 + m 2 2 + m = (4.110)
1m 3 + m 2 m 3
4m 1 v 1
′ =
(4.111)
m 1 + m 2 + m 3 + m1m3
m 2
)
−4m 1
(1 − m1m3
m 2 2
(
m 1 + m 2 + m 3 + m1m3
m 2
) 2
(4.112)
⇒ 4m2 1m 3
m 2 = 4m 1 (4.113)
2
⇒ m 1m 3
m 2 = 1 (4.114)
2
⇒ m 2 = √ m 1 m 3 (4.115)
geometrisches Mittel ergibt Maximum von ⃗v ′ 3.
4.9 Kraftstoß
2. Newtonsches Axiom
d⃗p = ⃗ F (t) dt (4.116)
45

4 Energie- und Impulserhaltung
Impulsübertrag oder Kraftstoß
4.10 Masseschwerpunkt
Abbildung 4.23: F -t-Diagramm zum Kraftstoß
⃗r s =
⃗J = ∆⃗p =
∑
∑ i m i⃗r i
i m i
∫ tf
t i
⃗ F (t) dt (4.117)
= 1 M · ∑
m i ⃗r i (4.118)
i
Schwerpunktsgeschwindigkeit
Gesamtimpuls
Abbildung 4.24: Massenschwerpunkt
⃗v s = d⃗r s
dt = 1 M · ∑
m i ⃗v i (4.119)
i
⃗p = ∑ ⃗p i = M⃗v s (4.120)
i
Bewegungsgleichung für N Körper
⃗F 1,2 + ⃗ F 1,3 + . . . + ⃗ F 1,N + ⃗ F 1,ext = d dt (m 1⃗v 1 ) (4.121)
. (4.122)
⃗F i,1 + ⃗ F i,2 + . . . + ⃗ F i,N + ⃗ F i,ext = d dt (m i⃗v i ) (4.123)
. (4.124)
⃗F N,1 + ⃗ F N,2 + . . . + ⃗ F N,N−1 + ⃗ F N,ext = d dt (m N⃗v N ) (4.125)
46

4.10 Masseschwerpunkt
Für N ≥ 3 nicht allgemein lösbar.
⇒ Störungsrechnung
⇒ numerisch
Alle Gleichungen addieren
∑
i,k
i≠k
⃗F i,k
} {{ }
=0
+ ∑ i
⃗F i,ext = ∑ i
∑
⃗F i,ext = ∑
i
i
d
dt ⃗p i (4.126)
d
dt ⃗p i (4.127)
Eine äußere Kraft ⃗ F verursacht eine Schwerpunktbeschleunigung ⃗a s
M · ⃗a s = d⃗p
dt = ⃗ F (4.128)
Der Schwerpunkt eines Systems von Körpern bewegt sich wie ein Körper der Masse M auf den eine
äußere Kraft ⃗ F wirkt.
Transformation: Laborsystem ↔ Schwerpunktsystem:
Abbildung 4.25: Transformation: Labor- Schwerpunktsystem
⇒
⃗r i = ⃗r i,s + ⃗r s (4.129)
⃗v i = ⃗v i,s + ⃗v s (4.130)
∑
m i ⃗r i,s = 0
∣ d (4.131)
dt
i
∑ i
m i ⃗v i,s = ∑ i
⃗p i,s = 0 (4.132)
Die Summe aller Impulse im Schwerpunktsystem ist Null.
47

4 Energie- und Impulserhaltung
4.11 Reduzierte Masse
Bewegungsgleichung für zwei Körper
Relativgeschwindigkeit
reduzierte Masse
d⃗v 1
dt = ⃗ F 1,2
m 1
(4.133)
d⃗v 2
dt = F ⃗ 2,1
F1,2 ⃗ = −F m ⃗ 2,1 (4.134)
( 2
d
1
dt (⃗v 1 − ⃗v 2 ) = − 1 )
·
m 1 m ⃗F 1,2 (4.135)
2
Bewegung eines Teilchens mit reduzierter Masse
⃗v 1,2 = ⃗v 1 − ⃗v 2 (4.136)
µ = m 1m 2
m 1 + m 2
[kg] (4.137)
⃗F 1,2 = µ d⃗v 1,2
dt
(4.138)
4.12 Stoßprozesse, Teil II
Abbildung 4.26: Wechselwirkungsgebiet
a) Elastischer Stoß im Laborsystem
sinnvoll für ⃗v 2 = 0
Imulserhaltung
⃗p 1 = ⃗p ′ 1 + ⃗p ′ 2 (4.139)
Energieerhaltung
⃗p 2 1
= ⃗p′2 1
+ ⃗p′2 2
(4.140)
2m 1 2m 1 2m 2
48

4.12 Stoßprozesse, Teil II
Abbildung 4.27: Impulserhaltung
⇒
p 2 1
= (p 1 − x) 2 + y 2
2m 1
+ x2 + y 2
(4.141)
2m 1 2m 2
(
x − µ ) 2 ( ) 2 µ
p 1 + y 2 = p 1 (4.142)
m 1 m 1
( )
= Kreis mit Mittepunkt M = µ
m 1
p 1 , 0 und Radius µ m 1
p 1 . Mit m 1 > m 2 ⇒ µ m 1
p 1 < 1 2 .
Abbildung 4.28: Elastischer Stoß im Laborsystem
Maximaler Ablenkwinkel
sin ϑ 1,max = m 2
m 1
(4.143)
Spezialfall: m 1 = m 2 = m ⇒ µ = 1 2 m
Die Teilchen fliegen nach dem Stoß senkrecht auseinander
49

4 Energie- und Impulserhaltung
Billard-Kugeln:
Abbildung 4.29: Elastischer Stoß im Laborsystem, Spezialfall m 1 = m 2
Spezialfall: m 1 ≪ m 2 ⇒ µ m 1
≈ 1
Abbildung 4.30: Billardkugeln
Maximaler Impulsübertrag
Abbildung 4.31: Elastischer Stoß im Laborsystem, Spezialfall m 1 ≪ m 2
⃗p ′ 2,max = 2⃗p 1 (4.144)
50

4.12 Stoßprozesse, Teil II
Energieübertrag
b) Elastische Stöße im Schwerpunktsystem
sinnvoll, wenn ⃗v 1 ≠ 0 und ⃗v 2 ≠ 0.
Gesamtimpuls ∑ i ⃗p i = 0 im Schwerpunktsystem
∆E kin,max = (2p 1) 2
2m 2
= 4 m 1
m 2
E kin,1 (4.145)
Abbildung 4.32: Elastischer Stoß im Schwerpunktsystem
⃗p 1,s + ⃗p 2,s = ⃗p ′ 1,s + ⃗p ′ 2,s = 0 (4.146)
oder: ⃗p 1,s = −⃗p ′ 1,s (4.147)
⃗p 2,s = −⃗p ′ 2,s (4.148)
Stoß = Drehung der Impulsvektoren.
Jeder Stoßpartner behält im Schwerpunktsystem seine kinetische Energie (elastischer Stoß).
Inelastischer Stoß im Schwerpunktsystem:
Gesamtimpuls bleibt Null.
Abbildung 4.33: Inelastischer Stoß im Schwerpunktsystem, Newton-Diagramm
51

4 Energie- und Impulserhaltung
⃗p ′ 1,s = −⃗p ′ 2,s (4.149)
Energie im Schwerpunktsystem wird gleich aufgeteilt. ”Newton-Diagramm”.
52

5 Rotation
5.1 Drehimpulserhaltung für einen Massepunkt
a) Drehmoment und Drehimpuls
Abbildung 5.1: Drehmoment
Bewegungsgleichung
⃗F = m · d⃗v
(
dt
⃗r × F ⃗ = m ⃗r × d⃗r )
dt
d d⃗r
(⃗r × ⃗v) =
dt dt × ⃗v
} {{ }
=⃗v×⃗v=0
∣
∣⃗r× (5.1)
= m d (⃗r × ⃗v) (5.2)
dt
+⃗r × d⃗v
dt
(5.3)
Drehmoment
⃗M = ⃗r × ⃗ F ⇒ ⃗ M⊥⃗r, ⃗ M⊥ ⃗ F (5.4)
M = rF sin ϕ (5.5)
Drehimpuls
Abbildung 5.2: Drehimpuls
53

5 Rotation
Rotation
⃗L = m(⃗r × ⃗v) = ⃗r × ⃗p ⇒ ⃗ L⊥⃗r, ⃗ L⊥⃗p (5.6)
L = rp sin δ (5.7)
d ⃗ L
dt = ⃗ M
(
Translation: d⃗p )
dt = F ⃗
(5.8)
b) Erhaltung der Drehimpulse
Wenn ⃗ M = 0 ⇒ d⃗ L
dt = 0 ⇒ ⃗ L = const. nach Betrag und Richtung.
Beispiel: Planetenbewegung
Zentralkraft, Gravitationskraft
Abbildung 5.3: Planetenbewegung
⃗r‖ F ⃗ G (5.9)
⃗M = ⃗r × F ⃗ G = 0 (5.10)
⇒ L ⃗ = const. (5.11)
Keplerscher Flächensatz
dA wird in dt überschritten
Abbildung 5.4: Keplerscher Flächensatz
dA = 1 2 r · dr · sin ϕ = 1 |⃗r × d⃗r| (5.12)
2
dA
dt = 1 d⃗r
2 ∣⃗r × dt ∣ = 1 L
|⃗r × ⃗v| = = const. (5.13)
2 2m
54

5.1 Drehimpulserhaltung für einen Massepunkt
Polarkoordinaten r, ϕ
Gravitationskraft
Potentielle Energie
Gesamtenergie
v r = dr
dt ,
Abbildung 5.5: Polarkoordinaten
v t = r · dϕ
dt ,
v = √
v 2 r + v 2 t (5.14)
F r = γ M Sonnem
r 2 , F t = 0 (5.15)
E pot = −γ M 0m
r
= − c r
(5.16)
E = 1 2 m(v2 r + v 2 t ) − c r
(5.17)
Drehimpuls
L = m|⃗r × ⃗v| = mrv sin ϕ = mrv t
E = 1 2 mv2 r +
Effektive Potentielle Energie
L 2
2mr 2 − c r
} {{ }
eff. pot. Energie E ′ pot
E ′ pot =
L2
2mr 2 − c r
v t = L mr
(5.18)
(5.19)
(5.20)
55

5 Rotation
Abbildung 5.6: Effektive Potentielle Energie
Man kann zeigen, dass die große Halbachse a der Ellipse nur von Gesamtenergie E abhängt
a =
c
2|E|
(5.21)
5.2 System von Massepunkten
a) Drehimpuls und Drehmoment
Zunächst 3 Massepunkte
innere Kräfte: Fjk i (z.B. Gravitation)
Abbildung 5.7: Drehimpuls und Drehmoment bei 3 Massepunkten
d(m 1 ⃗v 1 )
= F
dt
1 = F ⃗ 12 i + F ⃗ 13 i + F ⃗ 1 e |⃗r 1 × (5.22)
d(m 2 ⃗v 1 )
= F
dt
2 = F ⃗ 23 i + F ⃗ 21 i + F ⃗ 2 e |⃗r 2 × (5.23)
d(m 3 ⃗v 1 )
= F
dt
3 = F ⃗ 31 i + F ⃗ 32 i + F ⃗ 3 e |⃗r 3 × (5.24)
⃗F ij i = −F ⃗ ji i (5.25)
interne Kräfte fallen weg, nur externe Kräfte gehen ein
N∑
j=1
(
⃗r j × F ⃗ )
j
e = d dt ·
Gesamtes Drehmoment (Vektoren werden addiert)
N∑
m j (⃗r j × ⃗v j ) (5.26)
j=1
⃗M =
N∑
j=1
(
⃗r j × F ⃗ )
j
e
(5.27)
Gesamter Drehimpuls (Vektoren werden addiert)
N∑
⃗L = m j (⃗r j × ⃗v j ) (5.28)
j=1
56

5.3 Starre Körper
b) Drehimpulserhaltung
keine äußeren Kräfte ⇒ ⃗ M = 0 ⇒ ⃗ L = const. nach Betrag und Richtung
5.3 Starre Körper
a) Allgemeine freie Bewegung
Abbildung 5.8: Linienflüchtigkeit der Kraft
Überlagerung einer Rotation um den Schwerpunkt und Translation des Schwerpunktes.
Abbildung 5.9: Allgemeine freie Bewegung
⃗F ′ = − ⃗ F ′′ (5.29)
| ⃗ F | = | ⃗ F ′ | = | ⃗ F ′′ | (5.30)
⃗F ′ und ⃗ F Kräftepaar übt nur ein Drehmoment aus (Rotation). ⃗ F ′′ greift am Schwerpunkt an (Translation).
b) Bewegung des Schwerpunktes
m d2 ⃗r
dt 2 = ⃗ F e =
N∑
⃗F j e (5.31)
j=1
57

5 Rotation
c) Bestimmung des Schwerpunktes
Beispiel: Scheibe
Abbildung 5.10: Bestimmung des Schwerpunktes
Drehmoment auf ∆m i durch Schwerkraft
∆M i = ⃗r i × (∆m i ⃗g) (5.32)
Gesamtdrehmoment
N∑
⃗M = (⃗r i × (∆m i ⃗g)) = (5.33)
i=1
( N
)
∑
= ∆m i ⃗r i × ⃗g (5.34)
i=1
Schwerpunkt
⃗r s = 1 N∑
m · m i ⃗r i (5.35)
i=1
⃗M = m⃗r s × ⃗g (5.36)
Stabile Aufhängung, wenn ⃗ M = 0
⇒ für ⃗r s ‖⃗g, S liegt unter Aufhängepunkt.
d) Trägheitsmoment
Beispiel: Rotierende Platte
58

5.3 Starre Körper
Abbildung 5.11: Rotierende Platte
Winkelgeschwindigkeit ⃗ω
Definition: Umlaufgeschwindigkeit
⃗v j = r j ω (5.37)
Drehimpuls der Platte (r bzw. r j ist Abstand zur Drehachse)
N∑
⃗L = m j (⃗r j × ⃗v j ) (5.38)
j=1
∣ ∣∣∣∣∣ | L| ⃗ N∑
N∑
=
m j r j v j =
m j rj 2 ω
(5.39)
∣
∣ ∣
j=1
N∑
⃗L = m j rj 2 ⃗ω (5.40)
j=1
Trägheitsmoment
N∑
I = m j rj 2 (5.41)
j=1
j=1
kontinuierliche Massenverteilung
∫
I = r 2 dm (5.42)
M
Drehimpuls (im Allgemeinen haben ⃗ L und ⃗ω verschiedene Richtungen)
⃗L = I⃗ω (Translation ⃗p = m⃗v) (5.43)
Berechnung von Trägheitsmomenten
Hohlzylinder:
59

5 Rotation
Abbildung 5.12: Trägheitsmoment eines Hohlzylinders
Masse M HZ .
Trägheitsmoment
∫
∫
I HZ = r 2 dm = r0
2
M HZ
dm = r0M 2 HZ
M HZ
(5.44)
Kugel:
Abbildung 5.13: Trägheitsmoment einer Kugel
60

5.3 Starre Körper
Masse M K
Trägheitsmoment
Dichte ϱ = const., r ist Abstand zur Drehachse
Kugelkoordinaten R, θ, ϕ:
mit 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ R < ∞
∫
∫
I = r 2 dm = ϱ
M K
r 2 dm
V K
(5.45)
Volumenelement
Trägheitsmoment
I = ϱ
∫ 2π ∫ π
ϕ=0
(∫ 2π
= ϱ ·
= ϱ · (2π) ·
e) Steinerscher Satz
θ=0
dϕ
ϕ=0
Abbildung 5.14: Kugelkoordinaten R, θ, ϕ
∫ r0
dV = (dR)(R dθ)(R sin θ dϕ) = (5.46)
= R 2 dR · sin θ dθ dϕ (5.47)
(R 2 sin 2 θ) · (R 2 dR · sin θ dθ dϕ) = (5.48)
R=0 } {{ } } {{ }
=r 2 =dV
) (∫ π
) (∫ r0
)
· sin 3 θ dθ · R 4 dR = (5.49)
θ=0
R=0
) )
(
− cos θ + 1 3 cos3 θ
·
( 1
5 r5 0
Trägheitsmoment für eine Achse A, die nicht durch den Schwerpunkt geht.
= ϱ · 4
3 πr3 0 · 2
5 r2 0 = 2 5 M Kr 2 0 (5.50)
61

5 Rotation
Abbildung 5.15: Steinerscher Satz
∫ ∫
∫
∫
∫
I A = ⃗r 2 dm = (⃗a + ⃗r s ) 2 dm = ⃗r s 2 dm + 2⃗a ⃗r s dm +⃗a 2 dm = (5.51)
V
V
V
V
V
} {{ } } {{ }
=0
=M
= I S + Ma 2 (5.52)
5.4 Rotationsenergie
Kinetische Energie eines starren Körpers um eine feste Achse
E rot = ∑ i
1
2 m iv 2 i = ∑ i
r i,⊥ ist senkrechter Abstand zur Drehachse. Mit Drehimpuls ⃗ L = I⃗ω folgt
1
2 m ir 2 i,⊥ω 2 = 1 2 Iω2 (5.53)
E rot = L2
2I
Kinetische Energie bei Translation und Rotation um Achse des Schwerpunktes
(5.54)
E kin = 1 2
= 1 2
Abbildung 5.16: Rotation um Schwerpunktachse
∫
∫
V
V
( ) 2 d⃗r
dt
∫
V
(
(
dR
⃗ ) 2 ∫
dR
dm + d⃗r s
dt
V dt dt dm + 1 ∫
2
} {{ }
=0
d( R ⃗ ) 2
+ ⃗r s )
dm = (5.55)
dt
V
( ) 2 d⃗rs
dm = (5.56)
dt
= 1 2 M⃗v2 s + 1 2 Iω2 = E kin + E rot (5.57)
62

5.4 Rotationsenergie
Beispiel: Körper rollt schiefe Eben hinab, ohne zu gleiten
Abbildung 5.17: Schiefe Ebene
Momentane Drehachse A. Berührungspunk ⃗ω und ⃗ L zeigen aus Heftebene heraus. Änderung des Drehimpulses
⃗ M = d⃗ L
dt und Gesamtmasse M 0.
⃗M zeigt in gleiche Richtung wie ⃗ L
⇒ ⃗ L nimmt zu.
Bewegungsgleichung (1-dimensional mit Beträgen)
⃗M = ⃗r × ⃗ F (5.58)
| ⃗ M| = M 0 gr sin α (5.59)
zurückgelegte Strecke
| ⃗ M| = dL
dt = d dt (Iω) = I · d2 ϕ
dt 2 (5.60)
s = rϕ (5.61)
Translationsgeschwindigkeit
v trans = r dϕ
dt
(5.62)
Trägheitsmoment bezüglich Rotationsachse A (Steinerscher Satz)
I = I s + M 0 r 2 (5.63)
⇒ d2 ϕ
dt 2 = | M| ⃗ = M 0gr sin α
I I s + M 0 r
Integration (= gleichmäßig beschleunigte Bewegung)
(5.64)
Translationsbeschleunigung
ϕ = | ⃗ M|
2I t2 + ω 0 t + ϕ 0 (5.65)
a = r d2 ϕ
dt 2 = g sin α
1 + Is
M 0r 2
= g sin α
1 + k
k :=
I s
M 0 r 2 (5.66)
Geschwindigkeit am Ende der Bahn
63

5 Rotation
Abbildung 5.18: Geschwindigkeit am Ende der Bahn
Geschwindigkeit aus Energieerhaltung
Kugel: k = 2 5 , Vollzylinder: k = 1 2 , Hohlzylinder: k = 1
5.5 Rotation eines beliebigen Körpers
Bisher: Drehimpuls ⃗ L‖ Winkelgeschwindigkeit ⃗ω
Allgemein: ⃗ L ̸ ‖⃗ω
Beispiel: Hantel
s = 1 2 at2 (5.67)
v = at (5.68)
⇒ v = √ √ √
2gs sin α 2gh
2as =
=
(5.69)
1 + k 1 + k
E rot + E trans = E pot (5.70)
1
2 I sω 2 + 1 2 mv2 = mgh (5.71)
v 2
I s
r 2 + mv2 = 2mgh (5.72)
v 2 (k + 1) = 2gh (5.73)
√
2gh
⇒ v =
(5.74)
k + 1
⇒ v Kugel > v Vollzylinder > v Hohlzylinder (5.75)
Abbildung 5.19: Hantel
64

5.5 Rotation eines beliebigen Körpers
⃗L = m 1 (⃗r 1 × ⃗v 1 ) + m 2 (⃗r 2 × ⃗v 2 ) m 1 = m 2 = m, ⃗v 1 = −⃗v 2 (5.76)
⃗L = m(⃗r 1 − ⃗r 2 ) × ⃗v 1 = m⃗r H × ⃗v 1 (5.77)
⃗L ist nicht parallel zu ⃗ω. Widerspruch zu ⃗ L = I⃗ω mit Skalar I!
⃗L verändert sich ständig.
⇒ Drehmoment wirkt auf Hantel (und Lagerachse), ”Unwucht”
Trägheitstensor Ĩ eines beliebig geformten Körpers
Abbildung 5.20: Trägheitstensor Ĩ
Drehimpuls
⃗L i = ∆m i (⃗r i × ⃗v i ) = ∆m i (⃗r i × (⃗ω × ⃗r i )) = (5.78)
= ∆m i [⃗r i 2 ω 2 − (⃗r i ⃗ω)⃗r i ] ⃗a × ( ⃗ b × ⃗v) = (⃗a⃗c) ⃗ b − (⃗a ⃗ b)⃗c (5.79)
Gesamtdrehimpuls
∫
⃗L = ⃗r 2 ⃗ω − (⃗r⃗ω)⃗r dm (5.80)
V
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
L x I xx I xy I xz ω x
⃗L = ⎝L y
⎠ = ⎝I yx I yy I yz
⎠ · ⎝ω y
⎠ (5.81)
L z I zx I zy I zz ω z
mit
∫
∫
∫
I xx = y 2 + z 2 dm I yy = x 2 + z 2 dm I zz = x 2 + y 2 dm (5.82)
V
V
V
∫
∫
∫
I xy = I yx = − xy dm I xz = I zx = − xz dm I yz = I zy = − yz dm (5.83)
V
V
V
65

5 Rotation
Tensorschreibweise
Der Trägheitstensor ist ein Tensor 2. Stufe.
⃗L = Ĩ⃗ω (5.84)
Rotationsenergie
Beispiel: rotationssymmetrischer Körper, ⃗ω‖ẑ (feste Achse)
E rot = 1 2 ⃗ωT Ĩ⃗ω (5.85)
Symmetrie
Drehimpuls
Abbildung 5.21: Rotationssymmetrischer Körper
I xz = I zx = 0 (5.86)
I zy = I yz = 0 (5.87)
I xy = I yx = 0 (5.88)
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
L x I xx 0 0 0
⎝L y
⎠ = ⎝ 0 I yy 0 ⎠ · ⎝ 0 ⎠ (5.89)
L z 0 0 I zz ω z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0
⃗L = ⎝ 0 ⎠ ∥ 0
⎝ 0 ⎠ (5.90)
L z ω z
L z = I zz ω z (5.91)
∫
∫
I zz = x 2 + y 2 dm = r⊥ 2 dm (5.92)
v
Hauptträgheitsachsen:
Für jeden noch so komplizierten Körper gibt es drei aufeinander senkrecht stehende Drehachsen, die sich
dadurch auszeichnen, dass für eine Rotation um die Achsen L‖⃗ω ⃗ gilt. In diesem Hauptachsensystem gilt
⎛ ⎞
I a 0 0
Ĩ = ⎝ 0 I b 0 ⎠ I a ≤ I b ≤ I c (5.93)
0 0 I c
V
66

5.6 Der symmetrische Kreisel
Abbildung 5.22: Hauptachsensystem
Drehimpuls im Hauptachsensystem
⃗L = (L a , L b , L c ) = (ω a I a , ω b I b , ω c I c ) (5.94)
Rotationsenergie
E rot = 1 2 (ω2 aI a + ωb 2 I b + ωc 2 I c ) (5.95)
Asymmetrischer Kreisel (”Schuhkarton”, NO 2 -Molekül): I a ≠ I b ≠ I c ≠ I a
Symmetrischer Kreisel
• prolat: I a < I b = I c (Zigarre)
• oblat: I a = I b < I c (Frisbee)
Hauptachsen = Freie Achsen
Einfache Rotation um freie Achse ohne äußeres Drehmoment möglich. Allerdings: Nur Rotation um Achse
mit kleinstem und größtem Trägheitsmoment sind stabil!
5.6 Der symmetrische Kreisel
Rotation um eine frei orientierbare Achse.
Abbildung 5.23: Kräftefreier (l.) und schwerer (r.) Kreisel
a) Kräftefreier symmetrischer Kreisel
z.B. oblater Kreisel I a = I b = I ⊥ < I c
67

5 Rotation
Abbildung 5.24: oblater Kreisel
â, ˆb, ĉ Einheitsvektoren in Richtung der Hauptachsen (körperfestes Bezugssystem).
Momentane Drehachse
kinetische Energie
⃗ω = ω a â + ω bˆb + ωc ĉ = (ω a , ω b ω c ) (5.96)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
I a 0 0 ω a
⃗L = ⎝ 0 I b 0 ⎠ ⎝ω b
⎠ = I a ω a â + I b ω bˆb + Ic ω c ĉ (5.97)
0 0 I c ω c
E rot = 1 2 (I aω 2 a + I b ω 2 b + I c ω 2 c ) (5.98)
b) Euler-Gleichungen
Vorsicht: â, ˆb, ĉ rotieren mit Kreisel, sind zeitlich nicht konstant.
dL
⃗
dt = I dω a
a
dt â + I dω b
b
dt ˆb dω c
+ I c
dt ĉ + I dâ
aω a
dt + I dˆb
bω b
dt + I dĉ
cω c
dt
(5.99)
Das körperfeste Bezugssystem dreht sich mit ⃗ω.
Damit ist
dâ
= ⃗ω × â
dt
(5.100)
dˆb
dt = ⃗ω × ˆb (5.101)
dĉ
= ⃗ω × ĉ
dt
(5.102)
dL
⃗
dt = d⃗ L ′
dt + ⃗ω × L ⃗ (5.103)
68

5.6 Der symmetrische Kreisel
dL ⃗ ′
dt
Drehimpulsänderung durch Änderung der ω a , ω b , ω c im körperfesten System. Für die Komponenten
im Hauptachsensystem folgen die Euler-Gleichungen
Weiter mit Kräftefreier Kreisel
Daraus folgt
I a
dω a
dt + (I c − I b )ω c ω b = M a (5.104)
I b
dω b
dt + (I a − I c )ω a ω c = M b (5.105)
I c
dω c
dt + (I b − I a )ω b ω a = M c (5.106)
⃗M = 0 I a = I b Ω := I c − I a
I a
ω c (5.107)
Lösung (mit Konstanten A, C)
dω a
dt + Ωω b = 0 (5.108)
dω b
dt + Ωω a = 0 (5.109)
dω c
= 0
dt
(5.110)
ω a = A cos(Ωt) (5.111)
ω b = A sin(Ωt) (5.112)
ω c = C (5.113)
Abbildung 5.25: Rastpol- und Nutationskegel
c) Präzession des symmetrischen Kreisels
schwerer Kreisel
⃗L‖⃗ω‖Figurenachse (5.114)
⇒ keine Nutation
69

5 Rotation
Abbildung 5.26: schwerer Kreisel
⃗M = ⃗ R × m⃗g (5.115)
⃗M = d⃗ L
dt
führt zur Präzessionsbewegung ⊥ ⃗ R und ⃗g
Abbildung 5.27: schwerer Kreise (von oben)
⃗M = ⃗ R × m⃗g (5.116)
⃗M⊥ ⃗ L ⇒ d ⃗ L⊥ ⃗ L (5.117)
⇒ Betrag von ⃗ L ändert sich nicht.
d ⃗ L = ⃗ Mdt
d ⃗ L
dt = Ldϕ dt = M (5.118)
⇒ Präzessionsfrequenz
ω p = dϕ
dt = M L
(5.119)
70

5.7 Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem
5.7 Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem
a) Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem
Abbildung 5.28: Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem
⃗r = ⃗r ′ + ⃗ut + 1 2 ⃗at2 (5.120)
⃗v = ⃗v ′ + ⃗u + ⃗at (5.121)
t = t ′ (5.122)
Keine Reibung zwischen Kugel und Wagen.
Laborsystem
Abbildung 5.29: Kugel auf Wagen
d⃗p Kugel
dt
= 0 (5.123)
71

5 Rotation
Beschleunigtes Bezugssystem (Scheinkraft)
b) Rotierendes Bezugssystem
d⃗p ′ Kugel
dt ′ = −⃗am = ⃗ F (5.124)
Allgemein gilt ⃗ω beliebig
Inertialsystem O (z.B. Laborsystem)
Beobachter im rotierenden Bezugssystem O ′
r und r ′ bezeichnen den selben Punkt.
Abbildung 5.30: Rotierendes Bezugssystem
⃗r = xˆx + yŷ + zẑ = (x, y, z) (5.125)
⃗v = dx dy ˆx +
dt dt ŷ + dz
dt ẑ (5.126)
⃗r ′ = x ′ˆx ′ + y ′ ŷ ′ + z ′ ẑ ′ (5.127)
⃗v ′ = d⃗r′
dt = dx′
dt ˆx′ + dy′
dt ŷ′ + dz′
dt ẑ′ (5.128)
Abbildung 5.31: Rotierendes Bezugssystem
72

5.7 Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem
(1, 1, 0) = (sin ωt + cos ωt, − sin ωt + cos ωt, 0) (5.129)
ˆx ′ = (cos ωt, sin ωt, 0) (5.130)
ŷ ′ = (− sin ωt, cos ωt, 0) (5.131)
ẑ ′ = (0, 0, 1) (5.132)
(1, 1, 0) = x ′ˆx ′ + y ′ ŷ ′ + z ′ ẑ ′ (5.133)
Geschwindigkeit für Beobachter O ausgedrückt in Koordinaten von O ′ (berücksichtigen, dass ˆx ′ , ŷ ′ , ẑ ′
zeitabhängig sind).
⃗v = dx′
dt ˆx′ + dy′
dt ŷ′ + dz′
dt ẑ′ +x ′ dˆx′
} {{ }
dt
⃗v ′
+ y′
dŷ′
dt
+ z′
dẑ′
dt
(5.134)
Änderung der Einheitsvektoren
dˆx ′
dt = ⃗ω × ˆx′ (5.135)
dŷ ′
dt = ⃗ω × ŷ′ (5.136)
dẑ ′
dt = ⃗ω × ẑ′ (5.137)
(5.138)
Damit wird
x ′ dˆx′
dt
+ y′
dŷ′
dt
dẑ′
+ z′
dt = x′ (⃗ω × ˆx ′ ) + y ′ (⃗ω × ŷ ′ ) + z ′ (⃗ω × ẑ ′ ) = (5.139)
= ⃗ω × (x ′ˆx ′ + y ′ ŷ ′ + z ′ ẑ ′ ) = ⃗ω × ⃗r ′ (5.140)
⇒ ⃗v = ⃗v ′ + ⃗ω × ⃗r ′ (5.141)
Beschleunigung für Beobachter O in Koordinaten von O ′
⃗a = d2 x ′
dt 2 ˆx′ + d2 y ′
dt 2 ŷ′ + d2 z ′ ( dx
′
dˆx ′
dt 2 ẑ′ + 2
} {{ }
dt dt + dy′ dŷ ′
dt dt + dz′ dẑ ′ )
+ x ′ d2ˆx ′
dt dt dt
} {{ }
2 + y′ d2 ŷ ′
dt 2 + z′ d2 ẑ ′
dt 2 = (5.142)
} {{ }
=⃗a ′ =⃗ω×⃗v ′ ⃗ω×(⃗ω×⃗r ′ )
= ⃗a ′ + 2 · (⃗ω × ⃗v ′ ) + ⃗ω × (⃗ω × ⃗r ′ ) (5.143)
Wirkt auf einen Körper eine äußere Kraft ⃗ F , dann stellt der Beobachter in O ′ eine Kraft ⃗ F ′ fest
⃗F ′ = m⃗a ′ = F ⃗ − 2m(⃗ω × ⃗v ′ ) − m(⃗ω × (⃗ω × ⃗r ′ ))
} {{ } } {{ }
Corioliskraft Zentrifugalkraft
(5.144)
73

5 Rotation
Abbildung 5.32: Coriolis- und Zentrifugalkraft
Coriolis-Kraft
tritt nur auf, wenn sich Körper im rotierenden System bewegt.
⃗F ′ c = −2m(⃗ω × ⃗v ′ ) (5.145)
Beispiel: Hoch- und Tiefdruckgebiet Betrag der Corioliskraft parallel zur Erdoberfläche (geographische
Breite α)
Foucaultsches Pendel
F ′ c = 2mv ′ ω sin α (5.146)
Bewegungsgleichungen
a = d2 (rϕ)
dt 2
Abbildung 5.33: Focaultsches Pendel
= r d2 ϕ
dt 2
+ r
ϕd2 dt 2 = r d2 ϕ
dt 2 = F = − sin ϕ ≈ −gϕ (5.147)
m
74

5.7 Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem
Mit x ′ = r sin ϕ ≈ rϕ folgt
d 2 x ′
dt 2 = −g r x′ (5.148)
Mit ω 2 = g r folgt d 2 x ′
Lösungsansatz
dt 2 = −ω2 x ′ (5.149)
x = A sin(ωt) (5.150)
2-dimensionales Pendel
Geschwindigkeit mit Ω im rotierenden Bezugssystem
( ) dx
⃗v ′ ′
=
dt , dy′
dt
d 2 x ′
dt 2 = −ω2 x ′ (5.151)
d 2 y ′
dt 2 = −ω2 y ′ (5.152)
(5.153)
Corioliskraft in ˆx ′ -ŷ ′ -Ebene
)
⃗F c ′ = 2m( Ω ⃗ × ⃗v ′ ) = 2m
(Ω dy′
dt , −Ωdx′ dt
(5.154)
⇒ Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem
d 2 x ′
dt 2
d 2 y ′
dt 2
= −ω2 x ′ + 2Ω sin α dy′
dt
= −ω2 y ′ − 2Ω sin α dx′
dt
(5.155)
(5.156)
Abbildung 5.34: Foucaultsches Pendel
Rotaionsdauer der Schwindungsebene von
ω s = sin α · ω E (5.157)
ν s = sin α · ν E ν E = 1
24h
(5.158)
T =
1
ν E sin α = 24h = 31, 8h (5.159)
sin 49◦ 75

5 Rotation
76

6 Die feste Materie
Kristalle
• regelmäßige Anordnung der Atome im Gitter.
• Nah- und Fernordnung.
• Eigenschaften können anisotrop sein.
Amorphe Festkörper
• keine Fernordnung
• Eigenschaften sind isotrop
6.1 Hookesches Gesetz
Elastische Dehnung des Drahts/Stabs um ∆L ≪ L
Abbildung 6.1: Hookesches Gesetz
F
A = E ∆L
L
(6.1)
Mit Elastizitätsmodul E [1 N m 2
= 1Pascal] (Youngscher Modulus).
Hookesches Gesetz
σ = E · ε (6.2)
77

6 Die feste Materie
mit Zugspannung (Kraft pro Fläche) σ = F A
und relativer Dehnung ε =
∆L
L .
Kugel-Feder-Modell
Abbildung 6.2: Kugel-Feder-Modell
r Abstand zwischen Nachbarn, r 0 Gleichgewichtsabstand.
Potentielle Energie ∼ Parabel in Umgebung des Gleichgewichtes.
Kraft
⇒ F ist linear in r.
⇒ ”Federkonstante”
F = − dE pot(r)
dr
Große Auslenkung
⇒ Nichtlinearer Zusammenhang zwischen σ und ε aber noch elastisch.
Plastische Verformung (Fließen).
(6.3)
dF
dr = d2 E pot (r)
dr 2 = const. (6.4)
Abbildung 6.3: σ-ε-Diagramm
6.2 Querkontraktion
Ländenänderung ist mit Volumen- und Querschnittsveränderung verbunden.
78

6.3 Scherung und Torionsmodul
Abbildung 6.4: Querkontraktion
⇒ ∆V
V
∆V = (d + ∆d) 2 (L + ∆L) − d 2 L = (6.5)
= d 2 ∆L + 2Ld∆d + (L∆d 2 + 2d∆d∆L + ∆L∆d 2 ) ≈ (6.6)
≈ d 2 ∆L + 2Ld∆d ∆L ≪ L, ∆d ≪ d (6.7)
=
d2 ∆L + 2Ld∆d
d 2 L
Definition: Poissonzahl µ
Mit Hookschen Gesetz folgt
= ∆L
L
⇒ ∆V
V
µ = −
+ 2∆d d
∆d
d
∆L
L
= ∆L
L
= Querkontraktion
Dehnung
( )
1 + 2
∆d
d
∆L
L
(6.8)
(6.9)
= ∆L (1 − 2µ) (6.10)
L
∆V
V = σ (1 − 2µ) (6.11)
E
Volumenveränderung durch (hypostatischen) Druck von allen Seiten mit Kompressionsmodul k
∆p = −k ∆V
V
(6.12)
Zusammenhang zwischen Kompressivität κ, k, E
κ = 1 k = 3 (1 − 2µ) (6.13)
E
6.3 Scherung und Torionsmodul
Kraft greift tangential auf Fläche an
79

6 Die feste Materie
Abbildung 6.5: Scherung und Torsion
Scherung
A = d 2 (6.14)
Torsion
dA = rdϕdr (6.15)
Scherspannung
Für Scherwinkel α gilt mit Schubmodul G
⃗τ = ⃗ F
A
(6.16)
Füranisotrope Körper (viele Kristalle) ist das Elastizitätsmodul ein Tensor.
τ = Gα (6.17)
80

7 Schwingungen
7.1 Freie, ungedämpfte Schwingung
Rückstellkraft
Bewegungsgleichung des Federpendels
Abbildung 7.1: Federpendel
a) Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators
x allgemeine Auslenkung, ω 0 = √ c
m
F = −cz (7.1)
m d2 z
= −cz (7.2)
dt2 d 2 x
dt 2 + ω2 0x = 0 (7.3)
für Federpendel
Allgemeine Lösung
Ableitungen
v = dx(t)
dt
x(t) = A cos(ωt + ϕ 0 ) (7.4)
= −ωA sin(ωt + ϕ 0 ) (7.5)
a = d2 x(t)
dt 2 = −ω 2 A cos(ωt + ϕ 0 ) = −ω 2 x(t) (7.6)
81

7 Schwingungen
Einsetzung in die Bewegungsgleichung
−ω 2 x(t) + ω 2 x(t) = 0 (7.7)
Also ist x(t) eine Lösung für ω = ω 0 .
Harmonische Schwingung
Abbildung 7.2: Harmonische Schwingung
Amplitude A und Phase ϕ 0 werden durch die Anfangsbedingungen x(t = 0) und v(t = 0) festgelegt.
Diverse Pendel:
1. Federpendel
Abbildung 7.3: Federpendel
ma + F = 0 (7.8)
mẍ + kx = 0 (7.9)
ẍ + k m x = 0
ω2 0 = k m
(7.10)
2. Torsionspendel
82

7.1 Freie, ungedämpfte Schwingung
Abbildung 7.4: Torsionspendel
dL
dt = M (7.11)
I ¨ϕ + Dϕ = 0 (7.12)
¨ϕ + D I ϕ = 0
ω2 0 = D I
(7.13)
3. Fadenpendel
Abbildung 7.5: Fadenpendel
ml ¨ϕ + mg sin ϕ = 0 sin ϕ ≈ ϕ (7.14)
¨ϕ + g l ϕ = 0
ω2 0 = g l
(7.15)
4. U-Rohr
83

7 Schwingungen
Abbildung 7.6: U-Rohr
Rücktreibende Kraft F = 2xAϱg, Beschleunigt wird Gesamtmasse M = lAϱ (l ist Länge der Säule).
Mẍ + mg = 0 (7.16)
lAϱẍ + 2Aϱgx = 0 (7.17)
ẍ + 2 g l x = 0
ω2 0 = 2 g l
(7.18)
b) Energie im harmonischen Oszillator
E kin = 1 2 mv2 = 1 ( ) 2 dx
2 m = 1 dt 2 mω2 0A 2 sin 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) (7.19)
E pot = −
∫ x
F dx =
∫ x
0
0
cx dx = 1 2 cx2 = 1 2 mω2 0A 2 cos 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) (7.20)
E pot + E kin = 1 2 mω2 0A 2 ( sin 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) + cos 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) ) = 1 2 mω2 0A 2 = const. (7.21)
Gesamtenergie bleibt konstant und oszilliert zwischen E pot und E kin .
Komplexe Schreibweise (mit komplexem c und ω)
x(t) = ce iωt + c ∗ e −iω∗ t
(7.22)
7.2 Freie gedämpfte Schwingung
Reibungskraft entgegengesetzt proportional zur Geschwindigkeit
F R = γ R
dx
dt
z.B. Stoke’sche Reibung (Kugel in Flüssigkeit: γ R = 6πηr)
(7.23)
a) Bewegungsgleichung
d 2 x
dt 2 + γ R dx
m dt + ω2 0x = 0 (7.24)
84

7.2 Freie gedämpfte Schwingung
Ansatz
x(t) = Ae −βt cos(ωt + ϕ 0 ) (7.25)
Ableitungen
in Bewegeungsgleichung
v(t) = −βAe −βt cos(ωt + ϕ 0 ) − ωAe −βt sin(ωt + ϕ 0 ) (7.26)
a(t) = β 2 Ae −βt cos(ωt + ϕ 0 ) + 2ωβAe −βt sin(ωt + ϕ 0 ) − ω 2 Ae −βt cos(ωt + ϕ 0 ) (7.27)
Ae −βt { cos(ωt + ϕ 0 )
Nur dann erfüllt, wenn [. . .]-Terme Null sind
⇒ β = γ R
2m
[
β 2 − ω 2 − γ ]
[
R
m β + ω2 0 + sin(ωt + ϕ 0 ) 2ωβ − γ ]}
R
m ω = 0 (7.28)
Die Kreisfrequenz des harmonischen Oszillators wird durch Dämpfung verringert.
ω =
√
ω 2 0 − β2 (7.29)
Abbildung 7.7: Exponentielles Abklingen der Amplitude
b) Energie des gedämpften harmonischen Oszillators
E kin + E pot = 1 2 mv2 + 1 2 mω2 0x 2 = (7.30)
= 1 2 m [ −βAe −βt cos(ωt + ϕ 0 ) − ωAe−βt sin(ωt + ϕ 0 ) ] 2
+
1
2 mω2 0A 2 e −2βt cos 2 (ωt + ϕ 0 ) = (7.31)
= 1 2 mA2 e −2βt [ β 2 cos 2 +2βω cos sin +ω 2 sin 2 +ω 2 0 cos 2] ≈ 1 2 mω2 0A 2 e −2βt (7.32)
für β ≪ ω 0 , d.h. schwache Dämpfung
85

7 Schwingungen
Abbildung 7.8: Energie des gedämpften harmonischen Oszillators
Gesamtenergie fällt nach der Zeit t = τ = 1
2β
auf den e-ten Teil.
Allgemeine Bewegungsgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators
d 2 x dx
+ 2β
dt2 dt − ω2 0x = 0 (7.33)
c) Die Güte des Oszillators
Gütefaktor
gespeicherte Energie
Q =
im Zeitintervall 1 ω = T =
E
2π
abgegebene Energie ∆E
(7.34)
Für schwach gedämpften Oszillator β ≪ ω 0 ≈ ω oder ω 0 τ = ω0
2β ≈ 1.
d) Aperiodischer Grenzfall
E = E 0 e − t τ (7.35)
dE
dt = − 1 τ E 0e − t τ
1 = −
τ E (7.36)
∆E = ∆t dE
dt = − 1 τ E 1
0
ω 0
(7.37)
⇒ Q = ω 0 τ (7.38)
β = ω 0 ⇒ ω =
In diesem Spezialfall gibt es eine weitere Lösung
Lösung
Schnellstmögliche Rückkehr in Ruhelage!
√
ω 2 0 − β2 = 0 (7.39)
⇒ x(t) = Ae −βt cos ϕ = A ′ e −βt (7.40)
x(t) = Bte −βt (7.41)
x(t) = (A + Bt)e −βt (7.42)
86

7.3 Erzwungene Schwingung
e) Starke Dämpfung
β > ω 0 ⇒ ω =
Schwingung Ae iωt geht über in exponentielles Abklingen e −kt .
Ansatz
in Bewegungsgleichung
Lösung
√
ω 2 0 − β2 wird imaginär (7.43)
x(t) = Ae kt (7.44)
v(t) = kAe kt = kx(t) (7.45)
a(t) = k 2 Ae kt = k 2 x(t) (7.46)
k 2 x(t) + 2βkx(t) + ω 2 0x(t) = 0 (7.47)
k 2 + 2βk + ω0 2 = 0 (7.48)
√
k = −β ±
√β 2 − ω0 2 = −β ± α α = β 2 − ω0 2 reell (7.49)
x(t) = e −βt [ A 1 e αt + A 2 e −αt] (7.50)
A 1 und A 2 aus Anfangsbedingungen x(0) und v(0).
⇒ exponentielles Abklingen mit zwei Zeitkonstanten β ±α und langsamer als im aperiodischen Grenzfall.
7.3 Erzwungene Schwingung
Periodische äußere Kraft
F = F 0 cos ωt (7.51)
F = −c(z − z 0 ) = −cz + cA ext cos ωt (7.52)
⇒ F 0 = cA ext (7.53)
Abbildung 7.9: Erzwungene Schwingung
87

7 Schwingungen
Bewegungsgleichung
m d2 z
dt 2 = −cz − γ dz
R
dt + F 0 cos ωt (7.54)
Die von außen vorgegebene Kreisfrequenz ω und Kraft F 0 können unabhängig von ω 0 und β gewählt
werden.
Allgemeine Bewegungsgleichung des getriebenen gedämpften harmonischen Oszillators
Für Federpendel
d 2 x dx
+ 2β
dt2 dt + ω2 0x = k cos(ωt) (7.55)
ω 2 0 = c m
2β = γ R
m
k = F 0
m
(7.56)
Ansatz
x = A cos(ωt + ϕ) ω = anregende Frequenz (7.57)
v = dx
dt
Einsetzen in Bewegungsgleichung
Verschiebe Zeitenursprung
Additionstheorem
= −ωA sin(ωt + ϕ) (7.58)
a = d2 x
dt 2 = −ω2 A cos(ωt + ϕ) (7.59)
−ω 2 A cos(ωt ′ + ϕ) − 2βωA sin(ωt ′ + ϕ) + ω 2 0A cos(ωt ′ + ϕ) = k cos(ωt ′ ) (7.60)
ωt ′ −→ ωt − ϕ (7.61)
cos(ωt − ϕ) = cos(ωt) cos ϕ − sin(ωt) sin ϕ (7.62)
⇒ (ω 2 0 − ω 2 )A cos(ωt) − 2βωA sin(ωt) = k (cos(ωt) cos ϕ − sin(ωt) sin ϕ) (7.63)
Koeffizienten von cos(ωt) und sin(ωt) müssen auf beiden Seiten gleich sein
(ω0 2 − ω 2 )A = k cos ϕ (7.64)
− ω τ A = k sin ϕ τ = 1
2β
(7.65)
Phasenverschiebung ϕ zwischen Anregung und Schwingung
tan ϕ =
Amplitude der Schwingung (Gleichungen quadrieren und addieren)
− ω
τ
ω 2 0 − ω2 (7.66)
(ω0 2 − ω 2 ) 2 A 2 + ω2
τ 2 A2 = k 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = k 2 (7.67)
k
⇒ A = √
(7.68)
(ω0 2 − ω2 ) 2 + ω2
τ 2
88

7.3 Erzwungene Schwingung
Abbildung 7.10: Phasenverschiebung
Geringe Dämpfung ⇒ schnelle Phasenänderung bei ω 0 .
Amplitude
F 0
m
c
m
A(ω = 0) = k ω0
2 = = F 0
c
(7.69)
A(ω → ∞) = 0 (7.70)
Maximale Amplitude = Minimum des Nenners
)
d
((ω 0 2 − ω 2 ) 2 + ω2 ∣∣∣ωR
dω
τ 2 = 0 (7.71)
−4ω R (ω0 2 − ωR) 2 + 2ω R
τ 2 = 0 (7.72)
√
⇒ ω R = ω0 2 − 1 √
2τ 2 = ω0 2 − 2β2 ≠ √ ω 0 − β freier gedämpfter Oszillator (7.73)
Für große Gütefaktoren Q = ω 0 τ ≫ 1 gilt ω R ≈ ω 0
A(ω R )
A(ω = 0) ≈ A(ω 0)
A(ω = 0) = kτ
ω 0
k
ω 2 0
= ω 0 τ = Q (7.74)
Q bestimmt die Amplitudenüberhöhung.
89

7 Schwingungen
Abbildung 7.11: A-ω-Diagramm
Einschwingverhalten (inhomogene Differentialgleichung)
d 2 x dx
+ 2β
dt2 dt + ω2 0x = k cos ωt (7.75)
Lösung: allgemeine Lösung der homogenen DGL + spezielle Lösung der inhomogenen DGL
x(t) = A 1 e −βt cos(ω ′ t + ϕ ′ ) + A 2 cos(ωt + ϕ)
} {{ } } {{ }
gedämpfte Schwingung erzwungene Schwingung
Einschwingverhalten
stationär
ω ′ =
√
ω 2 0 − β2 (7.76)
Absorbierte Leistung
P (t, ω) = F (t) dx
dt = (7.77)
= F 0 cos ωt(−ωA sin(ωt + ϕ)) = (7.78)
= −F 0 ωA [cos(ωt) sin(ωt) cos(ϕ) + cos(ωt) cos(ωt) sin(ϕ)] = (7.79)
[ cos ϕ
= −F 0 ωA sin(2ωt) + sin ϕ cos(2ωt) + sin ϕ ]
(7.80)
2
2
2
Mittelung über viele Perioden
1
¯P (ω) = lim
t→∞ t
∫ t
0
P (t ′ , ω) dt ′ = −F 0 ωA sin ϕ
2
(7.81)
= 1 ω 2
2 mk2 τ
(ω0 2 − (7.82)
ω2 ) + ω2
τ 2
90

7.4 Gekoppelte Oszillatoren
Abbildung 7.12: ¯P -ω-Diagramm
Linienbreite
2∆ω = 1 τ
(7.83)
Schärfe des Resonanzmaximums
2∆ω
ω 0
= 1
ω 0 τ = 1 Q
(7.84)
7.4 Gekoppelte Oszillatoren
a) Gekoppeltes Federpendel
Abbildung 7.13: Gekoppeltes Federpendel
im Folgenden m 1 = m 2 = m, c 1 = c 2 = c.
Zwei gekoppelte Bewegungsgleichungen
m d2 x 1
dt 2 = −cx 1 − c 12 (x 1 − x 2 ) (7.85)
m d2 x 2
dt 2 = −cx 2 − c 12 (x 2 − x 1 ) (7.86)
⇒ m d2 (x 1 + x 2 )
dt 2 = −c(x 1 + x 2 ) (7.87)
m d2 (x 1 − x 2 )
dt 2 = −c(x 1 − x 2 ) − 2c 12 (x 1 − x 2 ) (7.88)
91

7 Schwingungen
Führe neue Koordinaten ein
Zwei unabhängige DGL vom Typ freier, ungedämpfter Oszillator
q 1 = 1 2 (x 1 + x 2 ) (7.89)
q 2 = 1 2 (x 1 − x 2 ) (7.90)
⇒ d2 q 1
dt 2 + c m q 1 = 0 (7.91)
d 2 (
q 2 c
dt 2 + m + 2c )
12
q 2 = 0 (7.92)
m
q 1 = A 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 )
√ c
ω 1 =
m
q 2 = A 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 )
√
c
ω 2 =
m + 2c 12
m
(7.93)
(7.94)
Eine Überlagerung beider Lösungen löst auch ursprüngliche Bewegungsgleichung. Normalschwingung:
Bewegungszustand, bei dem nur eine Normalkoordinate von Null verschieden ist.
Rücktransformation
Normalschwingungen
Abbildung 7.14: Normalschwingung
x 1 = q 1 + q 2 x 2 = q 1 − q 2 (7.95)
1. q 2 = 0 ⇒ x 1 = x 2 = −q 1
Beide Massen schwingen in Phase mit ω 1 = √ c
m
Abbildung 7.15: 1. Normalschwingung
2. q 1 = 0 ⇒ x 1 = −x 2 = q 2
√
c
Beide Massen schwingen gegenseitig mit ω 2 =
m + 2c12
m
92

7.4 Gekoppelte Oszillatoren
Abbildung 7.16: 2. Normalschwingung
Schwebung (für A 1 = A 2 = A)
x 1 = A {cos(ω 1 t + ϕ 1 + cos(ω 2 t + ϕ 2 )} = (7.96)
{ (
ω1 + ω 2
= 2A cos t + ϕ ) (
1 + ϕ 2 ω1 − ω 2
cos t + ϕ )}
1 + ϕ 2
(7.97)
2 2
2 2
{ (
ω1 + ω 2
x 2 = −2A sin t + ϕ ) (
1 + ϕ 2 ω1 − ω 2
sin t + ϕ )}
1 + ϕ 2
(7.98)
2 2
2 2
Abbildung 7.17: Schwebung
b) N gekoppelte Oszillatoren
Abbildung 7.18: N gekoppelte Oszillatoren
d 2 x
dt 2
= c m (x 1 − x 2 ) + c m (x 3 − x 2 ) = c m x 1 − 2c
m x 2 + c m x 3 (7.99)
⇒ Gleichungssystem
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
ẍ 1 −2d d 0 0 x 1
⎜ẍ 2
⎟
⎝ẍ 3
⎠ = ⎜ d −2d d 0
⎟ ⎜x 2
⎟
⎝ 0 d −2d d ⎠ ⎝x 3
⎠ (7.100)
ẍ 4 0 0 d −2d x 4
93

7 Schwingungen
Ansatz
x i = A i cos(ωt) (7.101)
d 2 x i
dt 2 = −ω2 x i (7.102)
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
x 1 −2d d 0 0 x 1
ω 2 ⎜x 2
⎟
⎝x 3
⎠ = ⎜ d −2d d 0
⎟ ⎜x 2
⎟
⎝ 0 d −2d d ⎠ ⎝x 3
⎠ (7.103)
x 4 0 0 d −2d x 4
⇒ Eigenwertproblem (Eigenwerte: Frequenzen ω, Eigenvektoren: Amplituden A i (ω).
7.5 Parametrisch verstärkte Schwingung
Schiffschaukel:
Verlagerung des Schwerpunktes, Veränderung der effektiven Pendellänge
Abbildung 7.19: Schiffschaukel
Fliehkraft maximal bei ϕ = 0 und Null bei ϕ max .
Aufstehen bei ϕ = 0 ⇒ Leiste Arbeit ∆E = mω 2 l∆x.
In die Knie gehen bei ϕ max ⇒ ohne Arbeit ∆E = 0.
Abschätzung
Energiegewinn pro Periode
E kin (ϕ = 0) = 1 2 mv2 = 1 2 mω2 l 2 (7.104)
∆E
E
= 2mω2 l∆x
1
= 4 ∆x
2 mω2 l 2 l
(7.105)
⇒ Anwachsen der Schwingung
E = E 0 e − t τ τ = T l
4∆x
(7.106)
94

7.5 Parametrisch verstärkte Schwingung
Bewegungsgleichung:
Periodische Änderung der Fadenlänge l mit Frequenz ω führt zu periodischer Änderung der Frequenz
ω 0 (t).
mit ω 2 0(t) =
g
l(t)
und l(t) = l(1 − ε sin ωt).
Resonanz bei ω = 2ω 0 .
Parameter ω 2 0 wird moduliert. ⇒ parametrisierter Oszillator.
d 2 ϕ
dt 2 + ω2 0(t)ϕ = 0 (7.107)
d 2 ϕ
dt 2 + ω2 0(1 + ε sin ωt)ϕ = 0 (7.108)
95

7 Schwingungen
96

8 Nichtlineare Dynamik - Chaos
8.1 Nichtlinearer Oszillator
a) exakte Bewegungsgleichung des Fadenpendels
Taylorentwicklung von sin ϕ um ϕ = 0
d 2 ϕ
dt 2 + ω2 0 sin ϕ = 0 ω 0 =
√ g
l
(8.1)
sin ϕ = ϕ − ϕ3
3! + ϕ5
5! − . . . (8.2)
Abbruch nach 1. Term sin ϕ ≈ ϕ ⇒ harmonischer Oszillator
Abschätzung
ϕ = 5 ◦ ⇒ ϕ3
3!
ϕ = 45 ◦ ⇒ ϕ3
3!
Mitnahme des ϕ 3 -Terms führt zu nichtlinearer DGL
1
ϕ = 10−3 (8.3)
1
= 0, 1 (8.4)
ϕ
d 2 ϕ
dt 2 + ω2 0ϕ − ω2 0
6 ϕ3 = 0 (8.5)
Bewegungsgleichung eines anharmonischen Oszillators
Potentielle Energie
Abbildung 8.1: Stangenpendel und E pot -ϕ-Diagramm
E pot = mgh = mgl(1 − cos ϕ) (8.6)
Taylor-Entwicklung von f(ϕ) = 1 − cos ϕ um ϕ = 0
f(ϕ) = f(0) + 1 df(ϕ)
∣ · ϕ + 1 d 2 f(ϕ)
∣
∣∣ϕ=0
1! dϕ ϕ=0 2! dϕ 2 · ϕ 2 + . . . = (8.7)
= 0 + sin(ϕ = 0)ϕ + 1 2 cos(ϕ = 0)ϕ2 − 1 6 sin(ϕ = 0)ϕ3 − 1 24 cos(ϕ = 0)ϕ4 + . . . (8.8)
{ 1
E pot = mgl
2 ϕ2 − 1 }
24 ϕ4 + . . .
(8.9)
97

8 Nichtlineare Dynamik - Chaos
Für harmonische Näherung: Abbruch nach 1. Term
E pot = m g lϕ2 (8.10)
Kraft
⃗F = −gradE pot (8.11)
für harmonische Näherung gilt
F = − dE pot
ds
= − d ds
( 1
2 mg l s2 )
= −m g s = −mgϕ (8.12)
l
exakt
F = − d ds
( (
mgl 1 − cos s ))
= −mg sin s l
l
= −mg sin ϕ (8.13)
b) Berechnung der Schwingungsperiode
Gesamtenergie
E = E kin + E pot = E pot (ϕ 0 ) ϕ 0 = Maximalauslenkung (8.14)
1
2 mv2 + mgl(1 − cos ϕ) = mgl(1 − cos ϕ 0 ) (8.15)
( ) 2
1 dϕ
2 ml2 = mgl(cos ϕ − cos ϕ 0 ) (8.16)
dt
√
dϕ 2g
dt = l (cos ϕ − cos ϕ 0) (8.17)
Integration über 1 4 Periode
√
l
2g
∫ ϕ0
0
∫ T
1
4
√ dϕ = dt = 1 cos ϕ − cos ϕ0 0 4 T (8.18)
T = √ 4 ∫ ϕ0
1
√ dϕ (8.19)
2ω0 cos ϕ − cos ϕ0
0
Elliptisches Integral, nicht analytisch lösbar!
c) Beschreibung im Phasenraum
Bisher: Bewegungsgleichung 2. Ordnung
Darstellung von ϕ(t), ˙ϕ(t), ¨ϕ(t).
Überführung in ein System aus DGL 1. Ordnung
d 2 ϕ
dt 2 + ω2 0 sin ϕ = 0 (8.20)
dω
dt = −ω2 0 sin ϕ (8.21)
dϕ
dt = ω (8.22)
98

8.1 Nichtlinearer Oszillator
Allgemein
a = dv
dt = f 1(v, x) (8.23)
v = dx
dt = f 2(v, x) (8.24)
Beschreibe den Zustand des Systems durch N zeitabhängige Größen ζ(t),die zu einem Vektor X(t) im
Phasenraum zusammengefasst werden
Beispiel: gedämfter harmonischer Oszillator
Phasenraum
X(t) = {ζ 1 (t), ζ 2 (t), . . .} (8.25)
hier X(t) = {ω, ϕ} (8.26)
x(t) = Ae −βt cos(ωt) (8.27)
v(t) = −Aωe −βt sin(ωt) β ≪ ω 0 (8.28)
Zeitliche Änderung
Fixpunkt X(t) = 0.
Stangenpendel
Abbildung 8.2: Trajektorie im Phasenraum
{
d d
dt X(t) = dt ζ 1(t), d }
dt ζ 2(t), . . .
Ẋ = { −ω0 2 sin ϕ, ω } { d
=
dt f 1(ω, ϕ), d }
dt f 2(ω, ϕ)
(8.29)
(8.30)
ist ein deterministisches und ein autonomes System. Die Änderung Ẋ von X hängt nur vom Zustand
Xab (vom Ort X im Phasenraum) ⇒ unterschiedliche Trajektorien überschneiden sich nicht.
Trajektorien für Stangenpendel
E kin + E pot = 1 2 ml2 ω 2 − mgl cos ϕ = E ges (8.31)
ω 2 = 2
ml 2 (mgl cos ϕ + E ges) = 2ω0 2 cos ϕ + c (8.32)
√
ω = ± cos ϕ + c (8.33)
2ω 2 0
99

8 Nichtlineare Dynamik - Chaos
8.2 Duffing-Oszillator
Spiegelsymmetrisches Potential
E pot (x) = 1 2 cx2 + 1 4 cεx4 (8.34)
Rüchtreibende Kraft
F = − dE pot
dx = −cx − cεx3 = −c(x + εx 3 ) (8.35)
Oft: Taylorentwicklung eines Potentials um Ruhelage. Inversionssymmetrie ⇒ x n -Terme mit ungeradzahligem
n verschwinden. Fall: c > 0, ε > 0
mit |x| zunehmende Federkonstante
Fall c > 0, ε < 0
Abbildung 8.3: E pot -x-Diagramm, c > 0, ε > 0
Abbildung 8.4: E pot -x-Diagramm, c > 0, ε < 0
100

8.2 Duffing-Oszillator
Schwingung möglich, mit Amplitude abnehmende Federkonstante, z.B. Fadenpendel in Näherung sin ϕ ≈
ϕ − ϕ3
6 = Duffing-Oszillator mit c = ω2 0, ε = − 1 6 .
Fall: c < 0, ε < 0
Doppelnullpotential
Bewegungsgleichung
Abbildung 8.5: E pot -x-Diagramm, c < 0, ε < 0
= getriebener Oszillator + anharmonischer Term
⇒ Frequenz wird abhängen von ω 2 0, β und Amplitude εx 2 .
d 2 x dx
+ 2β
dt2 dt + ω2 0(x + εx 3 ) = k cos(ω t + ϕ) (8.36)
Lösung enthält Terme ∼ cos[(2i + 1)ωt + ϕ 0 ] mit i = 0, 1, 2, . . .. cos(ωt) ist dominanter Term.
Iterative Lösung
Bemerkung
x 0 = A 0 cos(ωt) (8.37)
d 2 x 1
dt 2 = −2β dx 0
dt − ω2 0(x + εx 3 ) + k cos(ωt + ϕ) (8.38)
x 1 (t) = A 1,0 cos(ωt) + A 1,1 cos(3ωt + ϕ 1,1 ) (8.39)
x 2 (t) = A 2,0 cos(ωt) + A 2,1 cos(3ωt + ϕ 2,1 ) + A 2,2 cos(5ωt + ϕ 2,2 ) (8.40)
n∑
x n (t) = A n,i cos [(2i + 1)ωt + ϕ n,i ] (8.41)
i=0
101

8 Nichtlineare Dynamik - Chaos
Iterative Lösung in DGL einsetzen und integrieren
d 2 x 1 (t)
dt
= −2βA 0 ω sin(ωt) − ω 2 0A 0 cos(ωt) − εω 2 0A 3 0 cos 3 (ωt) + k cos(ωt + ϕ) (8.42)
cos 3 (ωt) = 3 4 cos(ωt) + 1 cos(3ωt)
4
(8.43)
k cos(ωt + ϕ) = H cos(ωt) + G sin(ωt) (8.44)
H = k cos ϕ, G = k sin ϕ, k = √ G 2 + H 2 (8.45)
⇒ x 1 (t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) + 1 εω0A 2 3 0
36 ω 2 cos(3ωt) (8.46)
a = 1 (ω 2
ω 2 0A 0 + 3 )
4 εω2 0A 3 0 − H , b = − 1 ω 2 (2ωβA 0 − G) (8.47)
Koeffizientenvergleich ⇒ a = A 1,0 , b = 0
Phasenwinkel
H = (ω 2 0 − ω 2 )A 0 + 3 4 εω2 0A 3 0 (8.48)
G = 2βωA 0 (8.49)
tan ϕ = G H = 2βωA 0
(ω 2 0 − ω2 )A 0 + 3 4 εω2 0 A3 0
(8.50)
Amplitude
√ {
(ω 2 0 − ω2 )A 0 + 3 4 εω2 0 A3 0
} 2
+ (2βωA 0 ) 2 = k (8.51)
Amplitude des 3ωt-Terms
A 1,1 = 1 εω0A 2 3 0
36 ω 2 (8.52)
Resonanzkurve (ω 2 0 > 0, ε > 0)
Abbildung 8.6: Resonanzkurve des Duffing-Oszillators
102

8.3 Selbsterregende Schwingungen
Zwischen ω − und ω + exisitieren 3 Lösungen, von denen eine instabil ist.
⇒ Bistabilität
⇒ Hysterese
Phänomene
• Periodenverdopplung (Bifurkation)
• Chaos
8.3 Selbsterregende Schwingungen
Beispiel: Geigensaite, Uhr, Radiosender (Generator)
Prinzip: Oszillator + Energiequelle (Bogen, Feder, Batterie). Oszillator holt zum selbstbestimmten Zeitpunkt
Energie ab und entdämpft sich damit.
Van-der-Pol-Oszillator
Abbildung 8.7: Gesrichene Geigen- oder Cello-Saite
d 2 x
dt 2 − µ(1 − x2 ) dx
dt + ω2 0x = 0 (8.53)
negative Dämpfung −µ für kleine Amplituden
positive Dämpfung −µ(1 − x 2 ) für große Amplituden
⇒ Amplitude wächst, bis das System einen Grenzzyklus erreicht, bei dem sich Energiezufuhr und Dämpfung
kompensieren. Realisierung z.B. mit elektronischen Bauelementen.
Getriebener Van-der-Pol-Oszillator
Phänomene
• periodische oder quasiüeriodische Trajektorien
• Frequenzkamm
d 2 x
dt 2 − µ(1 − x2 ) dx
dt + ω2 0x = k cos(ωt) (8.54)
• Synchronisation (”locking”) des Oszillators mit der treibenden Frequenz
103

8 Nichtlineare Dynamik - Chaos
8.4 Bifurkation, ein Weg ins Chaos
Beispiel: Populationsdynamik
a) Kontinuierlich (Verhulst-Gleichung)
A Geburtsnrate-Sterberate, N st Sättigungszustand.
Lösung
dN
dt = AN (
1 − N N st
)
(8.55)
”Sättigungskurve”, eponetielles Wachstum bis zur Sättigung bei N st .
N st
N = N 0
N 0 + (N st − N 0 )e −At (8.56)
b) Diskret
Jedes Jahr eine Generation, logistische Gleichung
N i+1 = aN i
(
1 − N k
)
(8.57)
Erwarteter stationärer Zustand
N i+1 = N i = N (8.58)
(
N = aN 1 − N )
(8.59)
k
(
⇒ N = k 1 − 1 )
(8.60)
a
a < 1 ⇒ N → 0 Aussterben
Normierung
x = N k
(8.61)
⇒ logistische Gleichung
x i+1 = ax i (1 − x i ) (8.62)
Iteration
104

8.4 Bifurkation, ein Weg ins Chaos
3 < a < a ∞ : die x n oszillieren zwischen 2 k Werten.
3 < a < 3, 449: k = 1
3, 449 < a < 3, 544: k = 2 = Bifurkation
Abbildung 8.8: Iteration
Für k ≫ 1 gilt
Mit Feigenbaumkonstante δ
a k = a ∞ − c
δ k (8.63)
a k geht gegen den Grenzwert a ∞ = 3, 5699456 . . .
a k − a k−1
δ = lim
= 4, 669201609 . . . (8.64)
k→∞ a k+1 − a k
Ab a ∞ setzt Chaos ein. Für große Werte von a (a > a ∞ ) gibt es Lücken mit regulärem Verhalten
(Intermittenz).
105

8 Nichtlineare Dynamik - Chaos
106

9 Mechanische Wellen
Schwingungen:
harmonische Oszillation eines (oder mehrerer) Körper: x(t).
Welle:
Kopplung räumlich benachbarter Punkte (Bereiche) ⇒ Ausbreitung einer Welle y(x, t).
Beispiel:
1-dimensional: Seilwelle, Luftsäule in Rohr (Orgelpfeife)
2-dimensional: Wasseroberfläche, Membran (Pauke)
3-dimensional: Schallwelle (Gas, Flüssigkeit, Festkörper), elektromagnetische Wellen (Radio, Licht, Röntgen,
γ)
Was ist die zugrunde liegende Bewegungsgleichung?
9.1 Seilwelle
Transversalschwingung eines Seils oder Saite.
Näherung
• kleine Auslenkung dy
dx ≪ 1
Abbildung 9.1: Seilwelle
• Zugkraft immer tangentialund vom Betrag konstant
• keine Schwerung oder Torsion (1-dimensionales Problem, dünnes Seil)
• keine nicht-linearen Effekte
• keine Dämpfung
• Gravitation vernachlässigbar
2. Newtonsches Gesetz für ein Massenelement dM
107

9 Mechanische Wellen
Abbildung 9.2: 2. Newtonsches Gesetz für ein Massenelement dM
A Querschnittsfläche [m 2 ]
ϱ Dichte [ kg
m
] 3
σ Zugspannung [ N m
] konstant, gegeben durch Vorspannung des Seils
2
dM Massenelement [kg]
y Auslenkung [m]
α Winkel zur x-Achse
F y y-Komponente der Kraft N
Wir suchen α(x, t) ⇒ Wellenform y(x, t).
Taylorentwicklung
für kleine Auslenkungen sin α ≈ tan α ≈ ∂y
∂t
Resultierende Kraft auf Massenelement dM
2. Newton
⇒ Wellengleichung
F y (x, t) = Aσ sin(α(x, t)) (9.1)
sin α = α − 1 6 α3 + . . . (9.2)
tan α = α + 1 3 α3 + . . . (9.3)
F y = Aσ ∂y
∂x
(9.4)
∂F y
∂x = Aσ ∂2 y
∂x 2 (9.5)
F y (x + dx) − F y (x) = ∂F y
∂x dx = Aσ ∂2 y
dx (9.6)
∂x2 dM ∂2 y
∂t 2
= ϱAdx∂2 y
∂t 2
∂ 2 y
∂t 2
= σ ϱ
Welche Funktionen y = F (x, t) lösen diese Wellengleichung?
= Aσ ∂2 y
dx (9.7)
∂x2 ∂y 2
∂x 2 (9.8)
108

9.1 Seilwelle
a) Puls
Beliebiger Puls, der mit der Geschwindigkeit c in ±x-Richtung läuft, ohne seine Form zu ändern.
Abbildung 9.3: Puls
y(x, t) = F (x ∓ ct) = F (a) a = x ∓ ct (9.9)
Setze t 1 = 0 ⇒ Pulsform y = F (x). Nach Zeit ∆t: y = F (x−c∆t) = Verschiebung um c∆t in +x-Richtung.
Einsetzen in Wellengleichung
∂y
∂t = ∂F
∂a
∂ 2 y
∂t 2
∂a
∂t = ∂F
∂a
( =
∂2 F ∂a
∂a 2 ∂t
∂ 2 y
∂x 2 = ∂2 F
∂a 2 ( ∂a
∂x
(∓c) (9.10)
) 2
+ ∂F ∂ 2 a
∂a ∂t 2 = ∂2 F
∂a 2 c2 (9.11)
) 2
+ ∂F ∂ 2 a
∂a ∂x 2 = ∂2 F
∂a 2 (9.12)
⇒ ∂2 F
∂a 2 c2 = σ ∂ 2 F
ϱ ∂a 2 (9.13)
y(x, t) = F (x ∓ ct) erfüllt Wellengleichung für c = ∓√
σ
ϱ
. c ist die Geschwindigkeit des Pulses. Damit
kann die Wellengleichung geschrieben werden als
∂ 2 y
∂t 2
b) Sinusförmige (harmonische) Welle
= c2 ∂2 y
∂x 2 (9.14)
( )
2π
y(x, t) = A 0 sin
λ (x − ct) = (9.15)
⇒ Welle läuft mit Geschwindigkeit c in +x-Richtung.
Amplitude zu festen Zeitpunkt
= A 0 sin(kx − ωt) = F (a) a = x − ct (9.16)
109

9 Mechanische Wellen
Wellenlänge λ
Wellenzahl k = 2π λ
Abbildung 9.4: Amplitude zu festen Zeitpunkt
Amplitude an festem Ort
Periode T
Abbildung 9.5: Amplitude an festem Ort
Kreisfrequenz ω = 2π
T
= 2πf mit Frequenz f.
∂ 2 y
∂x 2 = −k2 A 0 sin(kx − ωt) (9.17)
∂ 2 y
∂t 2 = −ω2 A 0 sin(kx − ωt) (9.18)
in Wellengleichung einsetzen
−ω 2 A 0 sin(kx − ωt) = −c 2 k 2 A 0 sin(kx − ωt) (9.19)
Erfüllt für alle Zeiten t und Orte x, wenn
ω
k = ±c
oder fλ = ±c
[ m
]
[
s
m
]
s
(9.20)
(9.21)
mit c =
√
σ
ϱ
für Seilwelle
c) Superpositionsprinzip
Gilt für lineare Wellengleichungen. Sind y 1 (x, t) und y 2 (x, t) Lösungen der Wellengleichung, dann ist auch
y 1 (x, t) + y 2 (x, t) Lösung der Wellengleichung.
110

9.1 Seilwelle
Abbildung 9.6: Superpositionsprinzip
d) Reflexion am festen Ende
Randbedingung y(x e , t) = 0 wird erfüllt durch Überlagerung einer ein- und auslaufenden Welle.
Abbildung 9.7: Reflexion am festen Ende
Der reflektierte Puls ist invertiert!
Refelxion einer harmonischen Welle F (x − ct) = A 0 sin(kx − ωt) am festen Ende.
y(x, t) = A 0 sin(kx − ωt) − A 0 sin(−kx − ωt) = (9.22)
= A 0 [sin(kx) cos(ωt) − cos(kx) sin(ωt) + sin(kx) cos(ωt) + cos(kx) sin(ωt)] = (9.23)
= 2A 0 sin(kx) cos(ωt) (9.24)
Stehende Welle
111

9 Mechanische Wellen
Abbildung 9.8: Stehende Welle
mit Schwingungsknoten bei x = 0 und bei kx = 2π λ
x = nπ mit n = 0, 1, 2, 3, . . .
⇒ x = n λ 2
Feste Position für Schwingungsknoten und -bäuche.
e) Reflexion am offenen Ende
Keine Kraft in y-Richtung, F y = Aσ ∂y
∂x = 0 bei x e = 0.
⇒ Randbedingung ∂y
∂x = 0 bei x e.
Abbildung 9.9: Reflexion am offenen Ende
Reflektierte Welle ist nicht invertiert!
y(x, t) = F (x − ct) + F (−x − ct) (9.25)
Relfexion einer harmonischen Welle am offenen Ende
y(x, t) = A 0 sin(kx − ωt) + A 0 sin(−kx − ωt) = . . . = (9.26)
= 2A 0 cos(kx) sin(ωt) (9.27)
Abbildung 9.10: Relfexion einer harmonischen Welle am offenen Ende
112

9.1 Seilwelle
Schwingungsknoten bei kx = 2π λ x = nπ + π 2 oder x = (2n + 1) λ 4
mit n = 0, 1, 2, . . .
∂y
∣ = 2A 0 k sin(kx) sin(ωt) ∣ = 0 (9.28)
∂x x=0 x=0
⇒ Randbedinung erfüllt.
f) Eigenschwingung einer Saite
Saite der Länge L, die an beiden Enden fest eingespannt ist.
Wellengeschwindigkeit
Abbildung 9.11: Saite der Länge L
√ σ
c =
ϱ
(9.29)
Randbedingungen
y(x = 0, t) = 0 y(x = L, t) = 0 (9.30)
Lösung: stehende Wellen mit Schwingungsknoten bei x = 0, x = L
Abbildung 9.12: Stehende Wellen
113

9 Mechanische Wellen
Stehende Wellen
y(x, t) = 2A sin(kx) cos(ωt) (9.31)
y(0, t) = 0 ∀t (9.32)
y(L, t) = 2A sin(kL) cos(ωt) = 0 ∀t, wenn kL = 2π L = nπ
λ
(9.33)
Für Wellenlängen gilt
λ = 2L n
(9.34)
Für Frequenzen gilt
Harmonische (reine) Stimmung
f = c λ = n c
2L
c 131 Hz n = 1
c 262 Hz n = 2
g 393 Hz n = 3
c’ 524 Hz n = 4
e’ 655 Hz n = 5
Oktave 2 : 1
Quinte 3 : 2
Quarte 4 : 3
große Terz 5 : 4
Das Obertonspektrum eines Saiteninstruments folgt diese Frequenzreihe ⇒ Klangfarbe
( 3
12) 12
(9.35)
2 7 = 1, 01364 . . . (9.36)
12
Temperierte Stimmung: 12 Halbtonschritte je Oktave, Frequenzintervall
√ 2 ≈ 1, 059
Quinte (7 Halbtonschritte): (1, 059) 7 = 1, 489 ≠ 3 2
g) Energietransport einer harmonischen Seilwelle
Abbildung 9.13: Energietransport einer harmonischen Seilwelle
114

9.2 Schallwelle
Übertragene Lesitung
Folgt
P = f y v y = −Aσ ∂y ∂y
∂x ∂t
y = A 0 sin(kx − ωt) (9.37)
Mittelung über eine (oder viele) Perioden
P = −AσA 2 0k(−ω) cos 2 (kx − ωt) (9.38)
〈cos 2 (kx − ωt)〉 = 1 2
(9.39)
Verwende ω k = c und c = √
σ
ϱ und ϱ 1d = Aϱ
〈P 〉 = 1 2 ϱ 1dcω 2 A 2 0 (9.40)
Energie, die in einem Zeitintervall ∆t an x 1 vorbei transportiert wird
〈∆E〉 = 〈P 〉 · ∆t (9.41)
Diese Energie ist in einem Stück des Seils der Länge ∆x = c · ∆t gespeichert.
〈∆E〉 = 1 2 ϱ 1dcω 2 A 2 0∆t = 1 2 ϱ 1dω 2 A 2 0∆x (9.42)
9.2 Schallwelle
a) Longitudinale Wellen in Gasen, Flüssigkeiten, Festkörpern
1-dimensional: Dichtewelle in Rohr
Volumen
Abbildung 9.14: Dichtewelle in Rohr
V = A · ∆x (9.43)
Kraft
2. Newtonsches Gesetz: ma = F
F = −A ·
∂P
∂x ∆x
} {{ }
Druckdifferenz
(9.44)
ϱA∆x ∂v
∂t = −A∂P ∆x
∂x
(9.45)
⇒ ∂v
∂t = − 1 ∂P
ϱ ∂x
(9.46)
115

9 Mechanische Wellen
Volumenänderung
∂v
∂x ∆x
} {{ }
Geschwindigkeitsdifferenz
·∆t (9.47)
= ∂v ∆t
∂x
(9.48)
∆V = A ·
Volumen- und Druckänderung hängen über Kompressibilität κ zusammen
∆V
V
Daraus folgt
Wellengleichung für Druck
(9.46) ∂
∂x ⇒
(9.50) ∂ ∂t
⇒
∆V
= −κ · ∆P (9.49)
V
⇒ ∂P
∂t = − 1 ∂v
(9.50)
κ ∂x
∂ 2 v
∂t∂x = − 1 ∂ 2 P
ϱ ∂x 2 (9.51)
∂ 2 P
∂t 2 = − 1 ∂ 2 v
κ ∂t∂x
(9.52)
∂ 2 P
∂t 2 = 1 ∂ 2 P
κϱ ∂x 2 (9.53)
Lösung: harmonische Welle
P 0 Amplitude der Druckdifferenz zum statischen Druck.
P (x, t) = P 0 sin(kx − ωt) (9.54)
(9.46) ∂ ∂t
⇒
(9.50) ∂
∂x ⇒
⇒ Wellengleichung für Schallschnelle v
∂ 2 v
∂t 2 = − 1 ∂ 2 P
ϱ ∂x∂t
(9.55)
∂ 2 P
∂t∂x = − 1 ∂ 2 v
κ ∂x 2 (9.56)
∂ 2 v
∂t 2 = 1
κϱ
∂ 2 v
∂x 2 (9.57)
Lösung
v(x, t) = v 0 sin((kx − ωt) + ϕ) (9.58)
Schallgeschwindigkeit
c =
√ 1
κϱ
(9.59)
Luft (Normaldruck)
Raumtemperatur
Helium
Wasser
c = 332(1 + 0, 00166 ∆T ◦ C ) m s
c = 343 m s
c = 965 m s
c = 1497 m s
116

9.2 Schallwelle
Aus Zusammenhang ∂v
∂t = − 1 ∂P
ϱ ∂x
folgt
− ωv 0 cos(kx − ωt + ϕ) = − 1 ϱ kP 0 cos(kx − ωt) (9.60)
⇒ ϕ = 0 (9.61)
d.h. v und P sind in Phase für laufende Welle.
P 0 = ϱcv 0 (9.62)
Definition: Impedanz = Wellenwiderstand
z = P 0
v 0
= ϱc (9.63)
Luft: 428(1, 0 − 0, 0017 ∆T ◦ C ) kg
m 2 s
b) Stehende Schallwelle
Geschlossene Enden:
v = 0 Reflexion am festen Ende.
∆P maximal: Reflexion am losen Ende.
v = v 0 sin(kx − ωt) − v 0 sin(−kx − ωt) = 2v 0 sin(kx) cos(ωt) (9.64)
P = P 0 sin(kx − ωt) + P 0 sin(−kx − ωt) = 2P 0 cos(kx) sin(ωt) (9.65)
Abbildung 9.15: Stehende Schallwelle (geschlossene Enden)
offenes Ende:
P = Umgebungsdruck ⇒ P 0 = 0 festes Ende.
∆v maximal loses Ende.
117

9 Mechanische Wellen
geschlossenes Ende: Impedanz z = P0
v 0
= ∞.
offenes Ende: Impedanz z = P0
v 0
= 0.
c) Intensität
Abbildung 9.16: Stehende Schallwelle (offenes Ende)
I =
mittlere Leistung
Fläche
= 1 P0
2
2 ϱc
(9.66)
Lautstärke wird logarithmischen Skalen in dB gemessen.
β = 10 log I (9.67)
I 0
I 0 = 10 −12 W m 2 (9.68)
I 0 ist die Intensität an der Hörschwelle bei 1kHz.
d) Wellen im Raum
Ebene Wellen mit beliebiger Ausbreitungsrichtung
Abbildung 9.17: Ebene Welle im Raum
118

9.2 Schallwelle
ζ = A sin( ⃗ k⃗r − ωt) (9.69)
ζ Auslenkung
A Amplitude
⃗ k Wellenvektor definiert Ausbreitungsrichtung und Wellenlänge | ⃗ k| =
2π
λ .
3d-Wellengleichung
Kugelwelle
∆ζ = 1 c 2 ∂ 2 ζ
∂t 2
∆ = ∂2
∂x 2 + ∂2
∂y 2 + ∂2
∂z 2 (9.70)
Abbildung 9.18: Kugelwelle
ζ = A 1 sin(kr − ωt) (9.71)
r
ζ löst 3d-Wellengleichung (3. Semester). Durch jede konzentrische Kugelschale geht gleiche Leistung
(Intensität × Fläche)
e) Akustischer Dopplereffekt
1
2
(P 0
1
r )2
ϱc
Schallquelle bewegt sich mit Geschwindigkeit u.
⇒ Wellenlänge vor (nach) Quelle wird verkürzt (verlängert) auf
4πr 2 = const. (9.72)
λ = λ 0 ∓ uT T = 1 f = λ 0
c
(
λ = λ 0 1 ∓ u )
c
(9.73)
(9.74)
⇒ gemessene Frequenz vor (hinter) Quelle
Beobachter bewegt sich mit u.
⇒ Schallgeschwindigkeit relativ zum Beobachter
⇒ Frequenz
f = c λ = c
λ 0 (1 ∓ u c ) = f 1
0
1 ∓ u c
(9.75)
c ′ = c ± u (9.76)
f = c ± u = f 0
(1 ± u )
λ 0 c
(9.77)
119

9 Mechanische Wellen
f) Mach’scher Kegel
Quelle bewegt sich schneller als die Schallgeschwindigkeit u > c.
⇒ Schall wird in Kegel mit Öffnungswinkel α abgestrahlt.
Abbildung 9.19: Mach’scher Kegel
Mach-Zahl
9.3 Wasserwelle
Oberflächenwelle
sin α = c u
u
c = 1
sin α
(9.78)
(9.79)
1. Schwerewelle: rücktreibende Kraft: Gravitation
2. Kapillarwelle: rücktreibende Kraft: Oberflächenspannung σ
Abbildung 9.20: Overflächenwelle
c 2 =
( gλ
2π + 2πσ )
tanh 2πh
ϱλ λ
(9.80)
h Wassertiefe
Näherung für Schwerewelle
h > λ ⇒ c = sqrt gλ
2π
(9.81)
Flaches Wasser (h ≪ λ)
Dispersion: c hängt von λ ab
tanh 2πh
λ
≈ 2πh
λ
⇒ c = √ gh (9.82)
120

9.4 Frequenzspektrum
Abbildung 9.21: Dispersion
9.4 Frequenzspektrum
Jede periodische Funktion lässt sich als Summe harmonischer Funktionen darstellen.
räumlich
zeitlich
F (x) = a ∞ 0
2 + ∑
a n sin(nk 0 x + ϕ n ) (9.83)
n=1
˜F (t) = ã0
∞
2 + ∑
ã n sin(nω 0 t + ˜ϕ n ) (9.84)
n=1
Periodische Funktion ⇒ diskrete Fourier-Transformation
k 0 = 2π
λ 0
ω 0 = 2π
T
(9.85)
Beispiel: Rechteckkurve
F (x) = sin(k 0 x) + 1 3 2 sin(3k 0x) + 1 5 2 sin(5k 0x) − . . . (9.86)
Beispiel: Sägezahnkurve
F (x) = sin(k 0 x) + 1 2 sin(2k 0x) + 1 3 sin(3k 0x) + . . . (9.87)
Übergang zu nicht periodischen Vorgängen
Abbildung 9.22: Fouriertransformation
121

9 Mechanische Wellen
Ein einzlener Puls λ 0 → ∞, k 0 → 0.
Fourierreihe → Fourierintegral
Beispiel: endlicher Wellenzug
Ortsraum/k-Raum:
Abbildung 9.23: Nicht periodische Vorgänge
Abbildung 9.24: Ortsraum
Fourier-Transformtion (Integral)
a(k) = c∆x sin ( 1
2 (k − k p)∆x )
1
2 (k − k p)∆x
(9.88)
Abbildung 9.25: Fourier-Transformation
Nullstellen bei
kurzer Puls → breites Spektrum.
1
2 (k − k p)∆x = π (9.89)
∆x ∝ 1
∆k
(9.90)
Es gilt (in etwa, hängt von den Einhüllenden ab)
Zeit- und Frequenzraum:
Ersetze x → t, F (x) → ˜F (t), k → ω, a(k) → ã(ω).
∆x∆k ≥ 2π (9.91)
122

9.5 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Zeitverlauf ↔ Frequenzspektrum
Es gilt
9.5 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
∆ω∆t ≥ 2π (9.92)
a) Überlagerung zweier Wellen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten
y(x, t) = y 1 + y 2 = sin(k 1 x − ω 1 t) + sin(k 2 x − ω 2 t) = (9.93)
(
k1 + k 2
= 2 sin x − ω ) (
1 + ω 2 k1 − k 2
t cos x − ω )
1 − ω 2
t = (9.94)
2 2
2 2
( )
1
= 2 sin(kx − ωt) cos
2 (∆kx − ∆ωt) (9.95)
k = k1+k2
2
, ω = ω1+ω2
2
, ∆k = k 1 − k 2 , ∆ω = ω 1 − ω 2 .
2 sin(kx − ωt): laufende Welle mit Phasengeschwindigkeit
c Ph = ω k
(9.96)
cos( 1 2 (∆kx − ∆ωt)): Modulation, breitet sich mit Gruppengeschwindigkeit v Gr aus. Position des Maximums
der Einhüllenden ∆kx max − ∆ωt max = 0
b) Allgemein
Gruppengeschwindigkeit
Phasengeschwindigkeit
c Gr = x max
t max
c Gr =
= ∆ω
∆k
( ) dx
= dω
dt
Gr
dk
c Ph = ω k
(9.97)
(9.98)
(9.99)
c Gr und c Ph sind unterschiedlich, wenn c Ph von ω abhängt (Dispersion). Es gilt
c Gr = c Ph − λ dc Ph
dλ
(9.100)
123

9 Mechanische Wellen
124

Abbildungsverzeichnis
1.1 Die klassische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Pendel in der Tafelebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Tangentenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 Weg-Zeit-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8 Luftkissenfahrzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.9 1-dimensionale Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.10 Bewegte Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.11 Freier Fall mit horiontaler Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.12 Gleichförmige Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.13 Betrag der Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.14 Alternative Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.15 Vektorielle Schreibweise ⃗ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.16 Allgemeine krummlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Hook’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Schwerefeld der Erde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Haftreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Fallschirmspringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7 Pendelschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.8 Periodische Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.9 1. Keplersches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.10 2. Keplersches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.11 Flächensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1 Arbeit und kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Arbeit und kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Tangentialkomponente der Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4 Deformation einer Feder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5 Potentielle Energie E pot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.6 Fadenpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.7 Energieerhaltung (Feder) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.8 Erdbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.9 E pot beim Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.10 r-E pot -Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.11 Ausgedehnte Masseverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.12 Potential einer Kugelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.13 E-r- und F -r-Diagramm einer Kugelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.14 E-r- und F -r-Diagramm einer Vollkugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
125

Abbildungsverzeichnis
4.15 Konservative Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.16 Zwei wechselwirkende Körper ohne äußere Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.17 Gesamtimpuls für N Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.18 Wasserrakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.19 Inelastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.20 Inelastischer Stoß im bewegten Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.21 Elastischer Stoß auf ruhende Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.22 3-stufiger Astroblaster aus Sicht eines mitbewegten Beobachters . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.23 F -t-Diagramm zum Kraftstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.24 Massenschwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.25 Transformation: Labor- Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.26 Wechselwirkungsgebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.27 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.28 Elastischer Stoß im Laborsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.29 Elastischer Stoß im Laborsystem, Spezialfall m 1 = m 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.30 Billardkugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.31 Elastischer Stoß im Laborsystem, Spezialfall m 1 ≪ m 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.32 Elastischer Stoß im Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.33 Inelastischer Stoß im Schwerpunktsystem, Newton-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1 Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 Planetenbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4 Keplerscher Flächensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.5 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.6 Effektive Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.7 Drehimpuls und Drehmoment bei 3 Massepunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.8 Linienflüchtigkeit der Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.9 Allgemeine freie Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.10 Bestimmung des Schwerpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.11 Rotierende Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.12 Trägheitsmoment eines Hohlzylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.13 Trägheitsmoment einer Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.14 Kugelkoordinaten R, θ, ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.15 Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.16 Rotation um Schwerpunktachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.17 Schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.18 Geschwindigkeit am Ende der Bahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.19 Hantel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.20 Trägheitstensor Ĩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.21 Rotationssymmetrischer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.22 Hauptachsensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.23 Kräftefreier (l.) und schwerer (r.) Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.24 oblater Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.25 Rastpol- und Nutationskegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.26 schwerer Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.27 schwerer Kreise (von oben) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.28 Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.29 Kugel auf Wagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.30 Rotierendes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.31 Rotierendes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.32 Coriolis- und Zentrifugalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.33 Focaultsches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
126

Abbildungsverzeichnis
5.34 Foucaultsches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1 Hookesches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Kugel-Feder-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 σ-ε-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.4 Querkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.5 Scherung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.1 Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2 Harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3 Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.4 Torsionspendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.5 Fadenpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.6 U-Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.7 Exponentielles Abklingen der Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.8 Energie des gedämpften harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.9 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.10 Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.11 A-ω-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.12 ¯P -ω-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.13 Gekoppeltes Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.14 Normalschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.15 1. Normalschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.16 2. Normalschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.17 Schwebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.18 N gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.19 Schiffschaukel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.1 Stangenpendel und E pot -ϕ-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2 Trajektorie im Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.3 E pot -x-Diagramm, c > 0, ε > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.4 E pot -x-Diagramm, c > 0, ε < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.5 E pot -x-Diagramm, c < 0, ε < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.6 Resonanzkurve des Duffing-Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.7 Gesrichene Geigen- oder Cello-Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.8 Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.1 Seilwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.2 2. Newtonsches Gesetz für ein Massenelement dM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.3 Puls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.4 Amplitude zu festen Zeitpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.5 Amplitude an festem Ort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.6 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.7 Reflexion am festen Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.8 Stehende Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.9 Reflexion am offenen Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.10 Relfexion einer harmonischen Welle am offenen Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.11 Saite der Länge L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.12 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.13 Energietransport einer harmonischen Seilwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.14 Dichtewelle in Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.15 Stehende Schallwelle (geschlossene Enden) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.16 Stehende Schallwelle (offenes Ende) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
127

Abbildungsverzeichnis
9.17 Ebene Welle im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.18 Kugelwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.19 Mach’scher Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.20 Overflächenwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.21 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.22 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.23 Nicht periodische Vorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.24 Ortsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.25 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
128

Literaturverzeichnis
[1] Demtröder
[2] Anderes Buch
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