Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion) - arthur

Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion) 41
6. Logarithmische Gleichungen
Logarithmische Gleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable im
Numerus von einem Logarithmus vorkommt.
Beispiele für logarithmische Gleichungen: lgðx þ 100Þ¼0;30103,
log 3 10 log 3 5 ¼ log 3 x, lnðx 3 4Þ¼3lnðx 2Þ usw.
Durch Anwendung der Rechengesetze für Logarithmen versuchen wir, die
Gleichung auf die Form log a fðxÞ¼log a gðxÞ zu bringen.
Beispiel:
lgðx 2Þ lg x ¼ lgðx þ 3Þ lgðx þ 10Þ ist in R zu lösen!
Lösung:
Wir wenden das Rechengesetz 2 für Logarithmen an:
lg x 2
x
¼ lg x þ 3
x þ 10 , x 2 ¼ x þ 3
x x þ 10
ðx 2Þðx þ 10Þ¼xðx þ 3Þ
x 2 þ 8x 20 ¼ x 2 þ 3x
5x ¼ 20
x ¼ 4
Probe:
T L ð4Þ¼lg 2 lg 4 ¼ lg 0;5
T R ð4Þ¼lg 7 lg 14 ¼ lg 0;5 T L ¼ T R (w) ) L ¼f4g
Logarithmen mit gleicher Basis
können nur dann gleich sein, wenn
auch ihre Numeri gleich sind:
log a fðxÞ¼log a gðxÞ,fðxÞ¼gðxÞ
ða > 1; fðxÞ > 0; gðxÞ > 0Þ
2 log a u log a v ¼ log a
u
v
Wir wissen von der Definition des Logarithmus, dass die obige Gleichung
nur Sinn hat, wenn
(1) x 2 > 0 ) x > 2,
(2) x > 0,
(3) x þ 3 > 0 ) x > 3 und
(4) x þ 10 > 0 ) x > 10.
Daher ist die Gleichung nur fürx> 2 definiert.) D ¼fx j x 2 R ^ x > 2g
Beispiel:
ln 5x 5 4ln5x¼ ln 5 ist in R zu lösen!
Lösung:
Es ist als Grundmenge gegeben. Es gilt: D ¼ R þ
Wir wenden die Rechengesetze 2 und 3 für Logarithmen an:
ln 5x 5 4ln5x¼ ln 5
ln 5x5 ¼ ln 5
ð5xÞ 4
5x 5
5 4 x ¼ 5 4 x ¼ 5 4 ¼ 625
Probe:
T L ð625Þ¼33;798 32;189 ¼ 1;609
T R ð625Þ¼1;609 T L ¼ T R (w) ) L ¼f625g
2 log a u log a v ¼ log a
u
v
3 r log a u ¼ log a u r
Man überlege, warum die nebenstehende
logarithmische Gleichung für
x 2 R þ definiert ist.