Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion) - arthur

36 Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion)
Es gilt:
log a a ¼ 1; weil a 1 ¼ a
log a 1 ¼ 0; weil a 0 ¼ 1
log a a n ¼ n; weil a n ¼ a n
1 Der Logarithmus eines Produkts
ist gleich der Summe der Logarithmen
der Faktoren.
2 Der Logarithmus eines Quotienten
ist gleich der Differenz aus
dem Logarithmus des Dividenden
und dem des Divisors.
3 Der Logarithmus einer Potenz ist
gleich dem Produkt aus ihrem
Exponenten und dem Logarithmus
der Potenzbasis.
4 Der Logarithmus einer Wurzel ist
gleich dem Quotienten aus dem
Logarithmus des Radikanden
und dem Wurzelexponenten.
3. Rechengesetze für Logarithmen
Für das Rechnen mit Logarithmen gelten nämlich folgende Rechengesetze:
1 log a ðu vÞ¼log a u þ log a v ðu > 0; v > 0; a > 0; a 6¼ 1Þ
z. B.: log 7 ð5 6 7Þ¼log 7 5 þ log 7 6 þ log 7 7 ¼ log 7 5 þ log 7 6 þ 1
2 log u
a v ¼ log a u log a v ðu > 0; v > 0; a > 0; a 6¼ 1Þ
z. B.: lg0;01 ¼ lg 1 ¼ lg 1 lg100 ¼ 0 2 ¼ 2
100
3 log a u r ¼ r log a u ðu > 0; a > 0; a 6¼ 1; r 2 RÞ
z. B.: log 3 3¼
3 3 log3 3 ¼ 3ðlog
5
5
3 3 log 3 5Þ¼3ð1 log 3 5Þ
4 log np ffiffiffi
a u ¼ 1
n log a u ðu > 0; a > 0; a 6¼ 1; n 2 N Þ
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3 3
7
z. B.: log 6
a ¼ log 6 7
7 a ¼ 3 7 7 log a 6 7 ¼ 3 7 ðlog a 6 log a 7Þ
Durch Anwendung dieser Rechengesetze tritt
— an Stelle der Multiplikation die Addition,
— an Stelle der Division die Subtraktion,
— an Stelle des Potenzierens die Multiplikation und
— an Stelle des Wurzelziehens die Division.
Somit werden die Rechenoperationen der 3. Stufe auf Rechenoperationen
der 2. Stufe, die der 2. Stufe auf die der 1. Stufe zurückgeführt.
Beispiel:
Die folgenden Terme 1) sind mit Hilfe der Rechengesetze für Logarithmen (so weit wie möglich) additiv zu
zerlegen:
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
a) log a2 pb ffiffi
4
b) log a2 b 2
3
c) log 6x 3 x 2
c
10x
x 2 9
Lösung:
a) log a2 pb ffiffi
4
¼ 2log a þ 4 logb 1
c
2 log c
b) log a2 b 2 ða þ bÞða
¼ log bÞ ¼ logða þ bÞþlogða bÞ log2 log 5 logx
10x
2 5x
Man beachte: logða þ bÞ 6¼ log a þ log b (häufiger Fehler)!
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
3 6x
c) log
3 x 2
¼ log 6x3 ðx 2Þ 1 1 2 3
h
i
¼
1
x 2 9
ðx þ 3Þðx 3Þ 3 log 6x3 þ 1 logðx 2Þ logðx þ 3Þ logðx 3Þ ¼
2
h
i
¼ 1 3 log 2 þ log 3 þ 3 log x þ 1 logðx 2Þ logðx þ 3Þ logðx 3Þ ¼
2
¼ 1 3 log 2 þ 1 3 log 3 þ logx þ 1 6 logðx 2Þ 1
3 logðx þ 3Þ 1 logðx 3Þ
3
1) Da es gleichgültig ist, welche Basis aus R þ nf1g dem Logarithmus zu Grunde
liegt, schreiben wir bei den Beispielen und Aufgaben statt „log a “ nur „log“.
Ferner vereinbaren wir, dass alle auftretenden Variablen so durch reelle Zahlen
ersetzt werden, dass die zugehörigen Logarithmen definiert sind.