Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion) - arthur

Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion) 39
5. Exponentialgleichungen
Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable im
Exponenten vorkommt.
Beispiele für Exponentialgleichungen: 2 x ¼ 2 5 , e xþ1 ¼ 4, 5 xþ2 ¼ 5 xþ2 usw.
Exponentialgleichungen mit Potenzen gleicher Basis a fðxÞ ¼ a gðxÞ
können einfach gelöst werden.
Beispiel:
Die Gleichung 23x
16 ¼ 2x ist in R zu lösen!
128
Lösung:
2 3x
2 4 ¼ 2x
2 7 , 23x 4 ¼ 2 x 7
3x 4 ¼ x 7 , 2x ¼ 3 , x ¼ 3 2
Potenzen mit gleicher Basis können
nur dann gleich sein, wenn auch ihre
Exponenten gleich sind:
a fðxÞ ¼ a gðxÞ , fðxÞ¼gðxÞ
ða 2 R þ nf1gÞ
z. B.: 3 x ¼ 3 4 , x ¼ 4
Probe:
T 3 L ¼ 2 9 2
2 16 ¼ p 1 ffiffiffiffi 1
¼ p ffiffi ¼ 1 p ffiffi
16 2 9 16 16 2 256 2
T 3 R ¼ 2 3 2
2 128 ¼ 1 p ffiffiffiffi ¼ 1 p ffiffi ¼ 1 p ffiffi
128 2 3 128 2 2 256 2
n o
Somit gilt: L ¼ 3
2
T L ¼ T R (w)
Exponentialgleichungen
mit verschiedenen Basen, aber gleichen Exponenten
a fðxÞ ¼ b fðxÞ können durch folgende Überlegung auf den obigen
Fall zurückgeführt werden:
fðxÞ¼
a fðxÞ ¼ b fðxÞ , afðxÞ
b ¼ 1 , a a 0,
fðxÞ¼0
fðxÞ b b
Beispiel:
2 2x 7 27 ¼ 3 2x 4 ist in N zu lösen!
Lösung:
2 2x 7 27 ¼ 3 2x 4
2 2x 7 3 3 ¼ 3 2x 4
2 2x 7 ¼ 3 2x 7
2x 7 ¼ 0
2x ¼ 7
x ¼ 7 2
Probe:
T 7 L ¼ 2 2 7 7
2 27 ¼ 2 0 27 ¼ 27
2
T 7 R ¼ 3 2 7 4
2 ¼ 3 3 ¼ 27
2
T L ¼ T R (w)
Im Hinblick auf die Grundmenge N gilt: L ¼fg
a fðxÞ ¼ b fðxÞ , fðxÞ¼0
ða; b 2 R þ ; a 6¼ bÞ
z. B.: 7 x ¼ 5 x , x ¼ 0