Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion) - arthur

38 Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion)
4. Logarithmusfunktionen
Wer kann sich möglichst viele der nebenstehend fotografierten Artikel
merken? 5 Minuten stehen zur Verfügung, dann ist das Buch wegzulegen
und alle Produkte, die im Gedächtnis haften geblieben sind, werden aufgeschrieben.
Gleichgültig wie gut oder schlecht man dabei abschneidet:
Umso weniger Waren man nennen kann, desto länger wird der Zeitpunkt
des Lernens zurückliegen.
Durch Experimente haben Psychologen festgestellt, dass die Anzahl der
erinnerten Objekte etwa logarithmisch mit der Zeit des Lernvorgangs
zunimmt. Die Veranschaulichung dieses Zusammenhangs erfolgt durch
eine sogenannte Logarithmusfunktion. Über Graph und Eigenschaften
der Logarithmusfunktion wollen wir in diesem Abschnitt sprechen.
Beispiele für Logarithmusfunktionen: x 7! log 2 x, x 7! lg x, x 7! ln x usw.
Definition:
Logarithmusfunktionen sind
Funktionen, die durch eine Funktionsgleichung
y ¼ log a x
ða 2 R þ nf1g; x 2 R þ Þ dargestellt
werden können.
Darstellung der Funktion x7!3 x und
ihrer Umkehrfunktion — vgl. nebenstehendes
Beispiel.
-
y
6-
y = 3 x
5-
4-
3-
2-
1-
-
y = x
y = log 3 x
-
-
-
-
-
–1 1 2 3 4 5 6
–1-
Die logarithmische Funktion
x 7! log a x ist die Umkehrfunktion
der Exponentialfunktion x 7! a x .
Aufgaben
x
Beispiel:
Zu der durch ihre Funktionsgleichung y ¼ 3 x gegebenen Funktion ist
die Umkehrfunktion zu berechnen.
Lösung:
Zur Wiederholung: Definitionsmenge und Wertemenge tauschen bei
der Umkehrung einer Funktion ihre Rollen, d.h. die Variablen x und y
sind zu tauschen. Die neue Gleichung wird anschließend — wenn
immer das möglich ist — nach y gelöst.
y ¼ 3 x ) Umkehrung: x ¼ 3 y
Um in der Gleichung x ¼ 3 y die Variable y explizit auszudrücken,
logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung (vgl. Seite 40) und
wenden die Definition des Logarithmus an:
x ¼ 3 y , log 3 x ¼ log 3 3 y , log 3 x ¼ y log 3 3 log 3 3 ¼ 1 (!)
y ¼ log 3 x
Wir erkennen: Die logarithmische Funktion x 7! log 3 x ist die Umkehrfunktion
der Exponentialfunktion x 7! 3 x !
Einige Eigenschaften der Funktion x 7! log a x ða 2 R þ nf1g; x 2 R þ Þ:
1 Definitionsmenge D ¼ R þ
2 Wertemenge W ¼ R
3 Die y-Achse ist Asymptote.
4 x 7! log a x geht immer durch den Punkt Pð1 j 0Þ.
5 x 7! log a xfüra> 1 ist streng monoton wachsend, für0< a < 1 streng
monoton fallend.
6 x 7! log a x ist die Umkehrfunktion von x 7! a x .
116 Zu der durch ihre Funktionsgleichung a) y ¼ 2 x b) y ¼ 2 x c) y ¼ 5 x d) y ¼ 5 x gegebenen Funktion ist
die Umkehrfunktion zu berechnen!
117 Der Graph von a) y ¼ log 3 x b) y ¼ log 7 x ist durch Spiegelung des Graphen der zugehörigen Exponentialfunktion
an der Geraden x 7! x zu konstruieren.
118 Die logarithmische Funktion a) x 7! log 2 x b) x 7! ln 3x ist grafisch darzustellen.
119 Die folgenden natürlichen Logarithmusfunktionen sind grafisch darzustellen:
a) x 7! ln x b) x 7! ln 2x c) x 7! ln x d) x 7! ln 3x