Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion) - arthur

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36 Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion) Es gilt: log a a ¼ 1; weil a 1 ¼ a log a 1 ¼ 0; weil a 0 ¼ 1 log a a n ¼ n; weil a n ¼ a n 1 Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren. 2 Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz aus dem Logarithmus des Dividenden und dem des Divisors. 3 Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus ihrem Exponenten und dem Logarithmus der Potenzbasis. 4 Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem Quotienten aus dem Logarithmus des Radikanden und dem Wurzelexponenten. 3. Rechengesetze für Logarithmen Für das Rechnen mit Logarithmen gelten nämlich folgende Rechengesetze: 1 log a ðu vÞ¼log a u þ log a v ðu > 0; v > 0; a > 0; a 6¼ 1Þ z. B.: log 7 ð5 6 7Þ¼log 7 5 þ log 7 6 þ log 7 7 ¼ log 7 5 þ log 7 6 þ 1 2 log u a v ¼ log a u log a v ðu > 0; v > 0; a > 0; a 6¼ 1Þ z. B.: lg0;01 ¼ lg 1 ¼ lg 1 lg100 ¼ 0 2 ¼ 2 100 3 log a u r ¼ r log a u ðu > 0; a > 0; a 6¼ 1; r 2 RÞ z. B.: log 3 3¼ 3 3 log3 3 ¼ 3ðlog 5 5 3 3 log 3 5Þ¼3ð1 log 3 5Þ 4 log np ffiffiffi a u ¼ 1 n log a u ðu > 0; a > 0; a 6¼ 1; n 2 N Þ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 3 7 z. B.: log 6 a ¼ log 6 7 7 a ¼ 3 7 7 log a 6 7 ¼ 3 7 ðlog a 6 log a 7Þ Durch Anwendung dieser Rechengesetze tritt — an Stelle der Multiplikation die Addition, — an Stelle der Division die Subtraktion, — an Stelle des Potenzierens die Multiplikation und — an Stelle des Wurzelziehens die Division. Somit werden die Rechenoperationen der 3. Stufe auf Rechenoperationen der 2. Stufe, die der 2. Stufe auf die der 1. Stufe zurückgeführt. Beispiel: Die folgenden Terme 1) sind mit Hilfe der Rechengesetze für Logarithmen (so weit wie möglich) additiv zu zerlegen: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p a) log a2 pb ffiffi 4 b) log a2 b 2 3 c) log 6x 3 x 2 c 10x x 2 9 Lösung: a) log a2 pb ffiffi 4 ¼ 2log a þ 4 logb 1 c 2 log c b) log a2 b 2 ða þ bÞða ¼ log bÞ ¼ logða þ bÞþlogða bÞ log2 log 5 logx 10x 2 5x Man beachte: logða þ bÞ 6¼ log a þ log b (häufiger Fehler)! qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 6x c) log 3 x 2 ¼ log 6x3 ðx 2Þ 1 1 2 3 h i ¼ 1 x 2 9 ðx þ 3Þðx 3Þ 3 log 6x3 þ 1 logðx 2Þ logðx þ 3Þ logðx 3Þ ¼ 2 h i ¼ 1 3 log 2 þ log 3 þ 3 log x þ 1 logðx 2Þ logðx þ 3Þ logðx 3Þ ¼ 2 ¼ 1 3 log 2 þ 1 3 log 3 þ logx þ 1 6 logðx 2Þ 1 3 logðx þ 3Þ 1 logðx 3Þ 3 1) Da es gleichgültig ist, welche Basis aus R þ nf1g dem Logarithmus zu Grunde liegt, schreiben wir bei den Beispielen und Aufgaben statt „log a “ nur „log“. Ferner vereinbaren wir, dass alle auftretenden Variablen so durch reelle Zahlen ersetzt werden, dass die zugehörigen Logarithmen definiert sind.
Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion) 37 Beispiel: Die nachstehenden algebraischen Summen sind in den Logarithmus eines einzigen Terms zu verwandeln: 1 a) log u þ log h v ðlog w þ log xÞ i b) 3 log a logða bÞ 3 c) 4 log x 1 5 3 logðx yÞ þ 1 logðx þ yÞ 4 Lösung: a) log u þ log v ðlog w þ log xÞ¼log uv wx b) 3 log a 1 3 logða bÞ¼log a3 logða bÞ 1 3 ¼ log a 3p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 a b h i qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c) 4 log x 1 5 3logðx yÞ þ 1 logðx þ yÞ ¼ log x 4 5 log ðx yÞ 3 4p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ y ¼ log pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 4 4 5 ðx yÞ 3 4p x þ y Nachdem wir die Rechengesetze für Logarithmen bereits erfolgreich angewendet haben, wollen wir nun überlegen, warum diese Gesetze gelten. Betrachten wir z. B. das Rechengesetz 1 (vgl. Außenspalte) Wir haben den Logarithmus als Exponent einer Potenz definiert. Daher gilt m ¼ log a u , u ¼ a m und n ¼ log a v , v ¼ a n . Wir wenden die Rechenregel für die Multiplikation von Potenzen (vgl. Außenspalte) an und erhalten u v ¼ a m a n ¼ a m þ n , m þ n ¼ log a ðu vÞ. Die Gültigkeit der anderen Rechengesetze lässt sich mit ähnlichen Überlegungen zeigen. Aufgaben 1 log a ðu vÞ¼log a u þ log a v Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis mit der Summe der Exponenten potenziert: a m a n ¼ a m þ n Bei den folgenden Aufgaben sind die gegebenen Terme mit Hilfe der Rechengesetze für Logarithmen (so weit wie möglich) additiv zu zerlegen: 107 a) log (abcd) b) log ab cd 108 a) log 5a 12 3p ffiffiffi b b) log 12a 5 3p ffiffiffi b c) log a4 b 3 c 2 qffiffiffiffiffiffiffiffi 4 c) log a 3 b c pffiffi a d) log b 5 c rffiffiffiffiffiffiffi d) log xy p ffiffi 2 c qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 109 a) logða bÞ b) logða 4 b 4 Þ 3 c) log a2 þ b 2 d) log 16a 2 25b 2 a 2 b 2 2a Bei den folgenden Aufgaben sind die gegebenen algebraischen Summen in den Logarithmus eines einzigen Terms zu verwandeln: 110 a) log a log b þ log c b) log 3 þ log 4 log 2 111 a) 2 log a 3 log b þ 5 log c b) 2 log 3 þ 3 log 4 5 log 2 112 a) log 7 þ log a 1 2 log b þ 2log c b) log a 1 logðb cÞ 2 113 a) 2 log a log b þ 1 2 log x 3 5 log y b) 3 log x log y þ 3 4 log a 1 2 log b 114 a) 1 5 2 log x þ 6 5 log b 3 5 log 2 1 5 log a b) 1 11 3log a þ 5 4 log y 3 4 log 3 1 4 log x h i 115 a) 1 5 log x logðx þ yÞ þ3 log y 4 log xy b) 1 log a þ logða bÞ 2 log b þ 3 log ab 7 6 ½ Š
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