Leseprobe 1

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4.1 Grundlagen mechanischen Verhaltens 89 welches das Verhalten bei beliebigen Beanspruchungsgeschichten beschreibt und als Stoffgesetz linear-viskoelastischer Materialien angesehen werden kann. Zeit-Temperatur-Superpositionsprinzip Viskoelastische Materialien weisen neben der ausgeprägten Zeitabhängigkeit auch eine starke Temperaturabhängigkeit der Eigenschaften auf. Die Ursache dafür liegt in den molekularen Bewegungs- und Umlagerungsvorgängen begründet, die das Relaxations- bzw. Retardationsspektrum des Materials bestimmen. Als thermisch aktivierbare Prozesse laufen diese molekularen Vorgänge bei Zunahme der Temperatur mit wachsender Geschwindigkeit ab. Dadurch verschieben sich Relaxations- und Retardationszeitspektrum zu kürzeren Zeiten. Ändert sich in Abhängigkeit von der Temperatur nur die Geschwindigkeit der molekularen Prozesse, nicht jedoch ihre Art und Anzahl, so bleibt die Form des Relaxations- bzw. Retardationsspektrums und damit auch die Gestalt der viskoelastischen Kennwertfunktionen entlang der logarithmischen Zeitachse erhalten. Ihre zeitliche Lage ändert sich jedoch entsprechend der Temperatur. Eine Konsequenz dieses als „thermorheologisch einfach“ bezeichneten Verhaltens ist die Zeit-Temperatur-Äquivalenz, deren Anwendung in Form des Zeit-Temperatur-Superpositionsprinzips große praktische Bedeutung für die Vorhersage des Langzeitverhaltens erlangt hat. Ist der Verlauf einer viskoelastischen Kenngröße, zum Beispiel des Moduls E(log t), in einem bestimmten Zeitintervall bei unterschiedlichen Temperaturen bekannt, so können die einzelnen Kurvenverläufe, wie in Bild 4.7 schematisch dargestellt, durch horizontale Verschiebung mit der bei der Referenztemperatur T 0 ermittelten Kurve E 0 (log t) zur Deckung gebracht werden. Damit entsteht eine Masterkurve, die das Werkstoffverhalten über einen weiten Zeitbereich abbildet. Die Verschiebungsfunktion log a T = log t – log t 0 ist temperaturabhängig. Sie kann in vielen Fällen auf Grundlage eines ARRHENIUS-Ansatzes beschrieben werden: ⎛ t ⎞ ∆H ⎛ 1 1 ⎞ log a T = log ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ . (4.42) ⎝ t0 ⎠ 2,3k ⎝ T T0 ⎠ Im Bereich des Glasübergangs folgt sie jedoch häufig der WLF-Gleichung: log a T ⎛ t ⎞ C1(T − T0 ) = log ⎜ t ⎟ = − (4.43) ⎝ 0 ⎠ C2 + T − T0 mit den universellen Konstanten C 1 und C 2 [4.15].
90 4 Mechanische Eigenschaften von Kunststoffen T 0 log E T 3 T 1 T 2 log a T Messfenster Masterkurve Bild 4.7: log(t) log(t ) 0 log t Masterkurvenkonstruktion durch Zeit-Temperatur-Superposition (schematisch) Korrespondenzprinzip Die praktische Arbeit mit linear-viskoelastischen Stoffgesetzen kann durch Anwendung der Laplace-Transformation erheblich vereinfacht werden. Dabei wird eine Funktion y(t) in eine Funktion y mit der neuen Variablen s nach folgender Vorschrift umgewandelt: ∞ y = ∫ y exp( −st)dt . (4.44) 0 Die Anwendung dieses Verfahrens auf das BOLTZMANN‘sche Superpositionsintegral (Gl. 4.41) liefert zum Beispiel: σ = s E(s) ε . (4.45) Dies entspricht formal dem HOOKE‘schen Gesetz (Gl. 4.12). Gleichung 4.45 kann wie dieses nach üblichen algebraischen Regeln bearbeitet werden und führt demzufolge auch zu den aus der linearen Elastizitätstheorie bekannten Ergebnissen. Nach Rücktransformation liefert sie die Lösung des Beanspruchungsproblems bei viskoelastischem Materialverhalten. Nichtlineare Viskoelastizität Nach Überschreiten der Gültigkeitsgrenze der linearen Viskolastizität werden die zeit- und temperaturabhängigen viskoelastischen Eigenschaften zusätzlich durch die
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