Leseprobe 1

4.1 Grundlagen mechanischen Verhaltens 81
Für den allgemeinen Fall einer mehrachsigen Beanspruchung wird das energieelastische
Verhalten durch das verallgemeinerte HOOKE‘sche Gesetz beschrieben.
Dieses basiert auf der Annahme, dass jede der sechs Komponenten des Spannungstensors
σ ij linear von den sechs Komponenten des Verformungstensors ε kl
abhängt:
σ
ε
ij
ij
= C ⋅ε
(4.15)
ijkl
ijkl
kl
= D ⋅σ
. (4.16)
kl
Die Proportionalitätskonstanten zwischen den Komponenten von Spannungs- und
Verformungstensor bilden einen Tensor vierter Stufe der als Elastizitäts- oder Steifigkeitstensor
C ijkl bzw. als Nachgiebigkeitstensor D ijkl bezeichnet wird. Dieser Tensor
besteht aus 81 Komponenten, von denen im statischen Gleichgewicht jedoch lediglich
21 unabhängig voneinander sind. Symmetrieeigenschaften des Werkstoffs können zu
einer weiteren Verringerung der Anzahl unabhängiger Komponenten führen. Für
einen isotropen Werkstoff sind zwei Komponenten für eine vollständige Beschreibung
des Elastizitäts- bzw. Nachgiebigkeitstensors erforderlich. Der Zusammenhang
zwischen Spannungs- und Deformationszustand des isotropen Werkstoffs stellt sich
damit in vektorieller Schreibweise wie folgt dar [4.4]:
⎧σ
⎪
σ
⎪
⎪σ
⎨
⎪
τ
⎪ τ
⎪
⎩ τ
xx
yy
zz
xy
yz
zx
⎡C
⎫ ⎢
C
⎪ ⎢
⎪ ⎢C
⎪ ⎢
⎬ = ⎢ 0
⎪ ⎢
⎪ ⎢ 0
⎪ ⎢
⎭ ⎢
⎢ 0
⎣
11
12
12
C
C
C
12
11
12
0
0
0
C
C
C
12
12
11
0
0
0
C
11
0
0
0
− C
2
0
0
12
C
11
0
0
0
0
− C
2
0
12
C
11
0
0
0
0
0
− C
2
12
⎤
⎥ ⎧ε
⎥ ⎪
⎥ ε
⎪
⎥ ⎪ε
⎥ ⋅ ⎨
⎥ ⎪
γ
⎥ ⎪γ
⎥ ⎪
⎥ ⎩γ
⎥
⎦
xx
yy
zz
xy
yz
zx
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
(4.17)
Die elastischen Konstanten C 11
und C 12
stehen mit dem Elastizitätsmodul E und der
Querkontraktionszahl ν des isotropen Werkstoffs im Zusammenhang:
C 11
C 12
E(1 − ν)
=
(1 + ν)(1
− 2ν)
(4.18)
Eν
= .
(1 + ν)(1
− 2ν)
(4.19)
Aus Elastizitätsmodul E und Querkontraktionszahl ν können weitere Werkstoffkenngrößen
wie Schermodul G und Kompressionsmodul K berechnet werden: