Leseprobe 1

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4.1 Grundlagen mechanischen Verhaltens 77 z D y A zz yz C xz x Bild 4.2: Zerlegung der an der Bezugsebene ABCD angreifenden Spannung σ in Normalspannungskomponente σ zz und Scherspannungskomponenten τ xz und τ yz z B xz yz zy zx yx xy xx zz yy y Bild 4.3: Räumlicher Spannungszustand x Die Spannungskomponenten können in Form einer Matrix als Elemente eines symmetrischen Tensors zweiter Stufe dargestellt werden: ⎡σxx τxy τxz ⎤ ⎢ ⎥ σ ij = ⎢τyx σyy τyz ⎥ (4.3) ⎢ ⎥ ⎣ τzx τzy σzz ⎦ Infolge der Symmetrieeigenschaften des Tensors (σ ij = σ ji ) reduziert sich die Zahl der voneinander unabhängigen Spannungskomponenten auf sechs. Durch Koordinatentransformation ist es möglich, die Größe der Spannungskomponenten in Bezug auf unterschiedlich orientierte Koordinatensysteme x, y, z zu berechnen. Besondere Bedeutung kommt dabei dem Koordinatensystem zu, bezüglich dessen alle Scherspannungskomponenten des Spannungstensors verschwinden (τ ij = 0 für alle i ≠ j). Die Achsen dieses Koordinatensystems werden als Hauptachsen 1, 2, 3 und die verbleibenden Normalspannungen (σ ij mit i = j) als Hauptspannungen σ 1, σ 2, σ 3 bezeichnet. Eine von der Wahl des Koordinatensystems unabhängige
78 4 Mechanische Eigenschaften von Kunststoffen Beschreibung des Spannungszustandes ist anhand der Invarianten I 1 , I 2 und I 3 des Spannungstensors möglich: I I I 1 2 3 = σ = σ = σ xx xx xx + σ σ σ yy yy yy + σ σ zz + σ yy zz σ zz + 2τ xy + σ τ yz zz τ σ zx xx −τ − σ 2 xy − τ 2 xxτyz 2 yz − σ − τ 2 zx 2 yyτzx − σ 2 zzτxy (4.4) Hinsichtlich der Wirkung der Spannungen kann zwischen Volumen- und Gestaltänderungen unterschieden werden. Dementsprechend kann der Spannungstensor in eine hydrostatische Komponente (Dilatationsanteil) p 1 I = ( σxx + σyy + σzz ) = (4.5) 3 3 p 1 und eine deviatorische Komponente (Gestaltänderungsanteil) ' σ ij aufgeteilt werden. ⎡( σ xx − p) τxy τxz ⎤ ' ⎢ ⎥ σ ij = ⎢ τ yx ( σyy − p) τyz ⎥ (4.6) ⎢ ⎥ ⎣ τzx τzy ( σzz − p) ⎦ 4.1.1.2 Deformation Durch die Wirkung der Spannungen werden im mechanisch beanspruchten Körper relative Formänderungen hervorgerufen, die als Dehnungen bzw. Scherungen bezeichnet werden. Für den einfachen Fall der uniaxialen Beanspruchung nach Bild 4.1a ergibt sich die Dehnung ε aus der Längenänderung ∆L = L – L 0 und der Ausgangslänge des unbeanspruchten Körpers L 0 als dimensionslose Größe: ∆L L − L ε = (4.7) L 0 = 0 L0 Alternativ werden insbesondere zur Beschreibung großer Verformungen auch der Reckgrad λ sowie die wahre Dehnung (HENCKY-Dehnung) ε w als Dehnungsmaße verwendet: L λ = = 1+ ε L 0 L dL L εw = ∫ = ln = lnλ = ln 1 L L L 0 0 ( + ε) (4.8) (4.9)
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