Leseprobe 1

78 4 Mechanische Eigenschaften von Kunststoffen
Beschreibung des Spannungszustandes ist anhand der Invarianten I 1
, I 2
und I 3
des
Spannungstensors möglich:
I
I
I
1
2
3
= σ
= σ
= σ
xx
xx
xx
+ σ
σ
σ
yy
yy
yy
+ σ
σ
zz
+ σ
yy
zz
σ
zz
+ 2τ
xy
+ σ
τ
yz
zz
τ
σ
zx
xx
−τ
− σ
2
xy
− τ
2
xxτyz
2
yz
− σ
− τ
2
zx
2
yyτzx
− σ
2
zzτxy
(4.4)
Hinsichtlich der Wirkung der Spannungen kann zwischen Volumen- und Gestaltänderungen
unterschieden werden. Dementsprechend kann der Spannungstensor in
eine hydrostatische Komponente (Dilatationsanteil) p
1
I
= ( σxx + σyy
+ σzz
) =
(4.5)
3
3
p
1
und eine deviatorische Komponente (Gestaltänderungsanteil)
'
σ ij aufgeteilt werden.
⎡(
σ xx − p) τxy
τxz
⎤
' ⎢
⎥
σ ij = ⎢ τ yx ( σyy
− p) τyz
⎥
(4.6)
⎢
⎥
⎣
τzx
τzy
( σzz
− p)
⎦
4.1.1.2 Deformation
Durch die Wirkung der Spannungen werden im mechanisch beanspruchten Körper
relative Formänderungen hervorgerufen, die als Dehnungen bzw. Scherungen bezeichnet
werden. Für den einfachen Fall der uniaxialen Beanspruchung nach Bild 4.1a
ergibt sich die Dehnung ε aus der Längenänderung ∆L = L – L 0
und der Ausgangslänge
des unbeanspruchten Körpers L 0
als dimensionslose Größe:
∆L
L − L
ε =
(4.7)
L
0
=
0 L0
Alternativ werden insbesondere zur Beschreibung großer Verformungen auch der
Reckgrad λ sowie die wahre Dehnung (HENCKY-Dehnung) ε w
als Dehnungsmaße
verwendet:
L
λ = = 1+ ε
L
0
L
dL L
εw
= ∫ = ln = lnλ = ln 1
L L
L
0
0
( + ε)
(4.8)
(4.9)