Hauptstudiumspraktikum Algorithmen und Datenstrukturen

20 Marco Gaertler, Roland Martin
die Anzahl der Kanten aufgetragen, auf der Y–Achse die benötigte
Zeit in Millisekunden unseres Algorithmuses. Die Berechnungen wurden
auf dem Rechner “ramsen” ausgeführt.
Die Graphen sind alle zufällig erstellt worden, aber mit der Beschränkung,
daß höchstens 20 mal soviele Kanten vorhanden sind
wie Knoten. Die kontrete Anzahl den Kanten wurden auch wieder
per Zufall bestimmt. Deswegen erhält man auch nicht mehr eine so
gerade Linie, sondern eher ein Feld. Aus dem Diagramm sollte aber
erkennbar sein, daß sowohl die Schranken als auch ein Median linear
verläuft.
8 Ausblick: Zweifachzusammenhangskomponenten
Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Wir betrachten folgende
Relation ∼ auf E:
e ∼ e ′ : ⇐⇒ e und e ′ liegen auf einem einfachen Kreis.
Diese Relation ∼ wird unter der Benutzung folgender Beobachtung
zu einer Äquivalenzrelation: eine Kante e liegt stets mit sich
selber auf einem einfachen Kreis. Dies soll nur für unsere Relation
gelten, jedoch nicht im Allgemeinen (da sonst Bäume nicht azyklisch
wären).
Definition 4
Die von der Äquivalenzrelation ∼ induzierte Kantenpartition nennt
man die Zweifachzusammenhangskomponente von G.
Bemerkung: Zweifachzusammenhangskomponenten kann man auch
wie folgt beschreiben: Es sind die maximalen kanteninduzierten Subgraphen
von G, die nach entfernen eines beliebigen Knotens noch
zusammenhängend sind.
Dies bedeutet, daß ein Knotenpaar in einer Zweifachzusammenhangskomponente
durch einen Kreis verbunden ist. Dieses Problem
ist dual zu unserem Problem, wenn man die Knoten durch Kanten
ersetzt und die Kantenrichtung ignoriert.
Mittels der letzten Bemerkung können wir unseren Algorithmus
– mit leichten Modifikationen – zur Suche nach den Zweifachzusammenhangskomponenten
eines ungerichteten Graphen benutzen.