Hauptstudiumspraktikum Algorithmen und Datenstrukturen

36 Michael Baur, Daniel Fleischer, Robert Schmaus
bereits Repräsentanten einer Menge erhalten. Da dies jedoch nicht
verlangt wird, führen beide Methoden selbst zu Beginn entsprechend
Ein- oder Zweimal die find-Methode aus, so dass ihre Komplexität
im Wesentlichen durch find dominiert wird.
Wie von Hopcroft & Ullman (1973) gezeigt wurde, ist der Gesamtaufwand
von n Operationen vom Typ makeset, union und find in
O(n · G(n)), wo G(n) = min{y | F (y) ≥ n} und F (n) rekursiv folgendermassen
definiert ist:
F (0) := 1
F (y) := 2 F (y−1) für y ≥ 1.
G(n) ist damit eine so langsam wachsende Funktion, dass in realistischen
Anwendungen G(n) als konstant angesehen werden kann (etwa
ist G(2 65 536 ) = 5, vgl. [2]).
2.2 Der Algorithmus zu SCC
Funktionsweise von SCC
Der benutzte Algorithmus zur Bestimmung der starken Zusammenhangskomponenten
setzt sich im wesentlichen aus drei Teilalgorithmen
zusammen. Die ersten beiden werden unten in Pseudocode vorgestellt.
Der erste Algorithmus Execute() benutzt den zweiten Algorithmus
SCC(v) und der wiederum den Algorithmus UnionFind() mit
seinen Methoden makeset(v), union(v,w) und find(v) (v,w Knoten
des Graphen). Die Algorithmen benutzen folgende Datenstrukturen:
– Repraesentanten-Stack: speichert Repräsentanten-Knoten der
starken Zusammenhangskomponenten
– Union-Stack: dient dazu, zu entscheiden, ob ein schon besuchter
Knoten zu einer schon vorhandenen Zusammenhangskomponente
gehört
– DFS-Nummer: jeder zum ersten Mal besuchte Knoten erhält diesen
integer-Wert, der anschließend um eins erhöht wird
Hier nun die ersten beiden Algorithmen in Pseudocode:
Execute():
1. solange der Graph einen Knoten v hat,
der keine DFS-Nummer besitzt
2. SCC(v)
3. leere den Repraesentanten-Stack
4. leere den Union-Stack