Hauptstudiumspraktikum Algorithmen und Datenstrukturen

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Praktikum Algorithmen und Datenstrukturen Team Nr. 4 SCC Eine Linearzeitimplementation eines Algorithmus zur Berechnung starker Zusammenhangskomponenten in gerichteten Graphen Michael Baur, Daniel Fleischer, Robert Schmaus Universität Konstanz Sommersemester 2000 Zusammenfassung Dieses Paper stellt einen Algorithmus vor, der in linearer Laufzeit (in Abhängigkeit der Anzahl der Knoten und Kanten) die starken Zusammenhangskomponenten eines gerichteten Graphen berechnet. 1 Definitionen und Zielsetzungen Definition 1 Ein gerichteter Graph G = (V, E) heißt stark zusammenhängend, wenn es zwischen je zwei Knoten u, v ∈ V in beide Richtungen einen gerichteten Weg gibt. Definition 2 Eine starke Zusammenhangskomponente eines Graphen ist ein maximaler Subgraph, der stark zusammenhängend ist. Zwei Knoten liegen also genau dann in der selben Zusammenhangskomponente, wenn sie auf einem (nicht notwendig einfachen) gerichteten Kreis liegen. Die Relation v ∼ w :⇔ v und w liegen in derselben Zusammenhangskomponente ist eine Äquivalenzrelation auf den Knoten des Graphen. Im Folgenden wird nun ein Algorithmus vorgestellt, der die Zusammenhangskomponenten des Graphen berechnet – also die Äquivalenzklassen
SCC 35 bezüglich der Äquivalenzrelation ∼. Folglich besteht der Graph nach der Bearbeitung aus der disjunkten Vereinigung seiner Zusammenhangskomponenten. Der Algorithmus ist so implementiert, dass er die Zusammenhangskomponenten in linearer Zeit berechnet. 2 Algorithmus und Implementation 2.1 Union Find Funktionsweise von UnionFind UnionFind stellt eine Implementation des Union-Find-Algorithmus mit Pfadkompression dar. Sie ist speziell für die Verwendung auf Graphen zugeschnitten, deren Knoten vom Typ Vertex sind und das Interface Decorable erfüllen. UnionFind stellt außer den obligatorischen Methoden makeset(Vertex v), union(Vertex v, Vertex w) und find(Vertex v) zusätzlich die Methode sizeOfSet(Vertex v) zur Verfügung, die die Kardinalität der Menge zurückgibt, die v enthält. UnionFind impementiert seine Mengen durch Baumstrukturen, die direkt auf den Graphen, der bearbeitet werden soll, gesetzt werden, ohne den Graphen selbst dabei zu verändern. Jeder dieser Wurzelbäume repräsentiert eine UnionFind-Menge, wobei die Wurzel des Baumes zum Repräsentanten der jeweiligen Menge wird. Jeder Knoten, der in eine UnionFind-Menge aufgenommen wird, erhält in der Methode makeset zwei ” Dekorationen“, vor und number. Der Schlüssel vor enthält einen Zeiger auf den Vorgänger im (virtuellen) UnionFind-Baum, wobei die Wurzel auf sich selbst zeigt. In der Dekoration number eines Knotens v ist die Kardinalität des Teilbaumens mit Wurzel v zu finden. Die Pfadkompression ist in der find-Methode und bewirkt, dass bei jedem Aufruf von find der Zeiger jedes ” angefassten“ Knotens auf die Wurzel des jeweiligen Baumes gesetzt wird. Laufzeit von UnionFind Die Methode makeset hat natürlich konstante Laufzeit. Die Methoden union und sizeOfSet sind (in natürlicher Weise) Methoden, deren Komplexität in O(1) liegt, sofern sie als Argument
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