Fehlerrechnung_Vorlesung11.pdf

Von der Binomial- zur Poisson-Verteilung
⎛ n ⎞
= ⎜ ⎟⋅ p ⋅ 1−
p
⎝m⎠
m
Binomialverteilung ( ) ( ) n − m
W
m
Gesucht:
W(m) für n ∞ und p = /n
n!
⎛ µ ⎞ ⎛ µ ⎞
lim W ( m)
= lim ⋅⎜ ⎟ ⋅⎜1
− ⎟
n→∞
n→∞
( n − m)! m!
⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠
m
n−m
m
⎛ µ ⎞ ⎛ n ( n − 1)( n − 2) ⋅⋅⋅ ( n − m
+
1)
⎞ ⎛ µ ⎞ ⎛ µ
⎞
= lim ⎜ ⎟⎜ 1 1
n→∞
m
⎟⋅⎜ − ⎟ ⋅⎜ − ⎟
⎝ m!
⎠⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠
n
−m
m
⎛ µ ⎞ ⎛ n n −1 n − 2 n − m + 1⎞ ⎛ µ ⎞ ⎛ µ ⎞
= ⎜ ⎟ lim ⎜ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⎟⋅⎜1 − ⎟ ⋅⎜1
− ⎟
m!
n→∞
⎝ ⎠ ⎝ n n
n n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝
n ⎠
→1
n
→1
−m
m
⎛ µ ⎞ ⎛ µ ⎞
= ⎜ ⎟ lim ⎜1
− ⎟
m!
n→∞
⎝ ⎠ ⎝ n ⎠
n
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Verteilungsfunktionen III: Poissonverteilung, Gewichtete Mittelwerte 09.01.2014 Vorlesung 11- 11