Foliensatz 8.3 - KOFL

8.3. Die Kosten der Produktion
• Grundbegriffe:
– Opportunitätskosten und buchhalterische Kosten
– Kapitalnutzungskosten
– Variable und fixe Kosten
– Kurzfristige Kostenkurve
– Grenzkosten und Durchschnittskosten
• Kostenminimierung
• Grössenvor- und Grössennachteile
VWL1: Unternehmensverhalten 1

Kostenminimierung
• Gehen wir davon aus, das die Unternehmen Gewinnmaximierung
betreiben.
• Gewinn = Erlös minus Kosten
• Die Gewinnmaximierung lässt sich analytisch in zwei
Schritte zerlegen
– Kostenminimierung: Es geht um die Wahl der
Inputmenge, so dass bei gegebener Outputmenge
die Kosten der Herstellung möglichst gering sind.
– Die Wahl der gewinnmaximalen Outputmenge.
VWL1: Unternehmensverhalten 2

Kostenminimierung
• Betrachtet wird eine Situation, in der das Unternehmen
den Einsatz sämtlicher Inputfaktoren ändern kann
(lange Frist).
• Annahme:
– Das Unternehmen ist Preisnehmer (Mengenanpasser)
auf den Faktormärkten.
– Das Unternehmen berücksichtigt alle Kosten, die es
selbst verursacht und trägt. (Keine externen Kosten
jedoch z.B. Kapitalnutzungskosten)
VWL1: Unternehmensverhalten 3

Kostenminimierung
• Gefragt wird nach der Inputkombination, die ein
Unternehmen wählt, dass einen bestimmten Output
produzieren möchte. Das Produktionsniveau Q ist also
vorgegeben.
• Damit ist (im Zwei-Faktoren-Fall) auch die Isoquante
vorgegeben, die dieser Ausbringungsmenge entspricht
und auf der produziert werden soll.
• Graphische Lösung: Die bekannte Abbildung der
Isoquanten wird jetzt um die Isokostengerade
erweitert. Die Isokostengerade leitet sich aus der
Gleichung für die Gesamtkosten ab.
VWL1: Unternehmensverhalten 4

Gesamtkosten C
• Die Gesamtkosten C setzen sich aus den Arbeitskosten wL und
den Kapitalkosten rK zusammen: C = wL + rK
• r bezeichnet die Kapitalnutzungskosten:
– Miete für die in der Produktion eingesetzten Ausrüstungsgüter
– Befindet sich K im Besitz der Unternehmung, sind rK
Opportunitätskosten und keine buchhalterischen Kosten
– In den Kapitalnutzungskosten gehen der Abschreibungssatz,
der Zinssatz (aus einer anderen Investition zuzüglich Risikoprämie)
ein.
– Bei der Wahl der optimalen Inputkombination sollte auch die
steuerliche Belastung der Faktorerträge berücksichtigt werden.
• Unterscheidung ökonomischer Gewinn und buchhalterischer
Gewinn
• Vergleiche die Ausführungen zu den Opportunitätskosten
VWL1: Unternehmensverhalten 5

Verlauf der Isokostengerade
K
=
C
r
−
⎛
⎜
⎝
w
r
⎟
⎠
⎞
L
• Die Isokostengerade ergibt sich aus der Gleichung für die
Gesamtkosten, indem diese nach K aufgelöst wird.
• Eine Isokostengerade stellt alle möglichen Kombinationen von
Arbeit und Kapital dar, die zu bestimmten Gesamtkosten C vom
Unternehmen erworben werden können.
• Verlauf:
– Negative Steigung der Isokostengerade: Faktorpreisverhältnis
– Achsenabschnitt Ordinate (C/r): Bei gegebenen Gesamtkosten
maximaler Kapitaleinsatz
– Achsenabschnitt Abszisse (C/w): Bei gegebenen Gesamtkosten
maximaler Arbeitseinsatz
VWL1: Unternehmensverhalten 6

Isokostengerade
• Bei gegebenen Faktorpreisen ergibt sich für unterschiedliche
Gesamtkostenniveaus C Isokostengeraden
– mit der selben Steigung
– jedoch unterschiedlichen Achsenabschnitten. Die Isokostengeraden
verlaufen parallel.
• Je höher die Gesamtkosten C sind, umso weiter aussen
verläuft die Isokostengerade.
• Das Kostenminimum, um die Menge Q1 produzieren zu
können, befindet sich dort, wo die zu Q1 gehörende
Isoquante die niedrigste Isokostenkurve gerade noch
tangiert. In der ABB also in Punkt A, beim Kostenniveau
C1.
VWL1: Unternehmensverhalten 7

Kostenminimum bei Q1 und
gegebenen Inputpreisen
Kapital
pro
Jahr
Steigung der Isokostengerade -(w/L)
K 1
L 1
A
Q 1
C 1
Arbeit pro Jahr
VWL1: Unternehmensverhalten 8

Tangentialpunkt A
• Im Tangentialpunkt A entspricht die Steigung der Isoquante der Steigung
der Isokostengeraden
∂K
∂L
=
−GRTS
=
⎛
−⎜
⎝
w
r
⎞
⎟
⎠
• Im Kostenminimum gilt: GRTS gleich dem Faktorpreisverhältnis.
• Wir wissen, dass die Steigung der Isoquanten angibt, um wie viel Einheiten
der Faktor K reduziert werden kann, wenn der Faktor L um eine
Einheit erhöht wird = technisches Austauschverhältnis.
• Das Faktorpreisverhältnis gibt Auskunft, wie die beiden Faktoren auf den
Märkten getauscht werden können.
• Beispiel: w = 2 und r = 1, dann können für 1 Einheit L zwei Einheiten K
auf dem Markt getauscht werden. In der Produktion muss das selbe
Austauschverhältnis herrschen.
• Die GRTS gibt das Verhältnis der Grenzproduktivitäten von L und K an.
GRTS = MPL / MPK.
VWL1: Unternehmensverhalten 9

Exkurs: Lagrangefunktion
Pr oduktionsfunktion :
Gesamkosten :
Lagrage − Funktion :
(1)
(2)
(3)
∂F(K,
L) ∂F(K,
L)
∂K
= ∂L
r w
DasGrenzprodukt jedes Faktorsgeteilt durch seinen Pr eis
DasGrenzprodukt einer Geldeinheit ist damit für alleInputsgleich.
WärediesesGrenzprodukt für eine Input grösser,so könntedas Unternehmen
Kosten einsparen, wenn esdiesen Input durch den produktiveren Input ersetzen würde.
.
∂Φ ∂F(K,
L)
= w − λ
∂L
∂L
∂Φ ∂F(K,
L)
= r − λ = 0
∂K
∂K
∂Φ
∂λ
=
(F(K, L
= 0
− Q ) = 0
1
F(K, L)
= AK
C = wL + rK
L
α 1−α
die
= Q
Φ = wL + rK − λ(F(K,L
− Q )
1
w
λ =
∂F(K,L)
∂L
r
λ =
∂F(K,L)
∂K
0 < α < 1
Faktorpreise sin d
1
gegeben.
wird gleichgesetzt.
VWL1: Unternehmensverhalten 10

Exkurs: Lagrageparameter
• Der Lagrangeparameter misst
λ
=
∂
w
F ( K ,
L )
λ
=
∂
r
F ( K ,
L )
∂ L
∂ K
• ... die zusätzlichen Inputkosten für die Produktion einer
zusätzlichen Outputeinheit, die durch den erforderlichen
Mehreinsatz des Faktors Kapital bzw. Arbeit entstehen.
VWL1: Unternehmensverhalten 11

Kostenminimum
GRTS = - ΔK
=
ΔL
MP
L
MP
K
Steigung der Isokostengerade = ΔK
ΔL
=
− w
r
MP
L
=
MPK
w
r
VWL1: Unternehmensverhalten 12

Variation der Inputpreisrelation
• Wir gehen weiterhin davon aus, dass die Outputmenge
produziert werden soll.
Q 1
• Annahme: Der Faktor Arbeit wird teuerer. Die Löhne w
steigen. Die Steigung der Isokostengerade wird steiler.
• Welche Auswirkung hat das auf den Faktoreinsatz?
Q 1
– wird jetzt kostenminimal im Punkt B produziert.
– Der Arbeitseinsatz sinkt von L1 auf L2. Gleichzeitig
wird in der Produktion jetzt mehr Kapital eingesetzt.
– Das Unternehmen substituiert Arbeit durch Kapital.
VWL1: Unternehmensverhalten 13

Inputsubstitution bei Änderung
eines Inputpreises
Kapital
pro
Jahr
Ändert sich der Preis der Arbeit
wird die Isokostengerade
aufgrund der Änderung der
Steigung -(w/L) steiler.
K 2
K 1
L 2
B
L 1
A
C 2
Dies füht zu einer neuen Kombination von
K und L zur Produktion von Q 1
.
Die Kombination B wird anstelle der
Kombination A verwendet.
Die neue Kombination stellt die höheren
Kosten der Arbeit im Vergleich zum
Kapital dar, folglich wird Arbeit
durch Kapital ersetzt.
C 1
VWL1: Unternehmensverhalten 14
Q 1
Arbeit pro Jahr

Bedingte Faktornachfragefunktion
Aus
der notwendigen Bedingung 1.Ordnung
∂F(K,
L) ∂F(K,
L)
m arginale Bedingung : ∂K
= ∂L
r w
α 1−α
und F(K, L) − AK L = 0 0 < α < 1
leiten
L =
K =
sich die bedingten
w)
w)
L(Q, r,
K(Q, r,
Faktornachfragefunktionen
ab :
• Die bedingte Faktornachfragefunktion gibt den optimalen Faktoreinsatz
von K und L bei gegebenen exogenen Parameter Q, w und r an.
• Sie heisst „bedingt“, da sie unter der Bedingung abgeleitet wurde,
dass eine vorgegebene Outputmenge produziert wird.
VWL1: Unternehmensverhalten 15

Wie hängen die Kosten in der langen
Frist vom Produktionsniveau ab?
• Wir betrachten verschiedene Outputniveaus, jeweils
durch eine Isoquante repräsentiert.
• Für jede Isoquante wird das Kostenminimum ermittelt
bei gegebenen Faktorpreisen. Dieses liegt im
Tangentialpunkt von Isokostengerade und Isoquante.
• Die Verbindung der Tangentialpunkte wird als Expansionspfad
bezeichnet. Jedem Outputniveau kann so
ein Kostenniveau zugeordnet werden.
– Die Produktion von 100 Einheiten kostet 1000 Euro.
– Die Produktion von 200 Einheiten kostet 2000 Euro usw.
VWL1: Unternehmensverhalten 16

Der Expansionspfad eines
Unternehmens
Kapital
pro
Jahr
150
€3000 Isokostengerade
Der Expansionspfad stellt die
kostengünstigsten Kombinationen
von Arbeit und Kapital dar,
die langfristig zur Produktion jedes
Produktionsniveaus eingesetzt
werden können.
100
75
50
25
€2000
Isokostengerade
A
B
C
200-Einheiten-
Isoquante
50 100 150 200 300
Expansionspfad
300-Einheiten-Isoquante
Arbeit pro Jahr
VWL1: Unternehmensverhalten 17

Langfristigen Gesamtkosten
• Alle Minimalkostenkombinationen liegen auf dem
Expansionspfad. Er verbindet die Ausbringungsmengen
Q mit den minimalen Gesamtkosten bei gegebener
Faktorpreisrelation.
• Aus dem Expansionspfad leitet sich die Kostenkurve ab.
• Im Beispiel entspricht die Kostenkurve einer Geraden
durch den Ursprung der Form C(Q)= Q*10 Euro.
• Durchschnittskosten und Grenzkosten sind bei den gegebenen
Faktorpreisen unabhängig von Q.
– Die Durchschnittskosten ATC = C(Q)/Q = 10 Euro
– Die Grenzkosten MTC = 10 Euro.
• Konstante Skalenerträge
VWL1: Unternehmensverhalten 18

Kostenkurve
• Die langfristige Kostenkurve gibt die Mindestkosten an, zu
denen das jeweilige Outputniveau produziert werden kann.
• Kurzfristig können nicht alle Inputs kostenminimal eingesetzt
werden. Der Einsatz mancher Inputs ist kurzfristig fix. Daher
unterscheiden sich die kurz- und die langfristige Kostenkurve.
• Die Kostenfunktion hängt von Q und den Faktorpreisen w und r
ab C(Q,r,w). Ändern sich die Faktorpreise in ABB Folie 22, so
ändert sich der Expansionspfad und damit der Zusammenhang
von c und Q.
• Die Beschaffenheit der Kostenfunktion hängt von der zugrunde
liegenden Produktionsfunktion an.
• Von Bedeutung sind die Skalenerträge, die die Produktionsfunktion
aufweist.
VWL1: Unternehmensverhalten 19

Veränderliche Skalenerträge
• Nehmen wir an, die Technologie eines Unternehmens zeigt
– … zunächst zunehmende Skalenerträge: Abstand zwischen den
Isoquanten wächst, wenn Q um eine bestimmte Menge erhöht wird.
– … danach konstante Skalenerträge: Der Abstand zwischen den Isoquanten
bleibt gleich, wenn Q um eine bestimmte Menge erhöht wird.
– … und dann abnehmende Skalenerträge. Der Abstand zwischen den
Isoquanten wird geringer, wenn Q um eine bestimmte Menge erhöht
wird.
• Der Einfluss des Outputs auf die Grenzkosten hängt von den
Skalenerträgen ab.
• Es ergibt sich ein U-förmiger Verlauf der Kostenkurve der durch
(zunächst steigende dann sinkende) Skalenerträge
und nicht durch abnehmende Grenzerträge, da langfristig der
Einsatz aller Faktoren verändert werden kann (vgl. ABB auf der
nächsten Folie)
Skalenerträge bedingt ist
VWL1: Unternehmensverhalten 20

Die langfristigen Durchschnitts-
und Grenzkosten
Kosten
(€ pro Outputeinheit)
LMC
LAC
A
Output
VWL1: Unternehmensverhalten 21

Grössenvorteile und -nachteile
• Grössenvorteile (economies of scale):
– Wie kann es dazu kommen, dass mit zunehmender
Ausbringungsmenge die Kosten je produzierter
Einheit sinken?
– Spezialisierung, Flexibilisierung, bessere Konditionen
beim Kauf von Inputs
• Grössennachteile (diseconomies of scale):
– Überfüllungseffekte
– Zunehmende Komplexität kann zu Unübersichtlichkeit
und Ineffizienz führen
VWL1: Unternehmensverhalten 22

Die Messung der Grössenvorteile
• Grössenvorteile werden häufig anhand der Kosten-Output-
Elastizität gemessen: Sie gibt an, um wie viel Prozent die
Kosten ansteigen, wenn der Output um 1% ansteigt.
E c
=
( Δ C / C ) /( Δ Q / Q
)
E c
= ( Δ C / Δ Q ) /( C / Q ) =
MC/AC
• Ec = 1: Output und Kosten entwickeln sich gleich. MC = AC. Es bestehen
weder Grössenvor- noch -nachteile.
• Ec > 1: Kosten steigen schneller an als Output. MC > AC, Grössennachteile.
• Ec < 1: Kosten steigen langsamer an als Output. MC < AC, Grössenvorteile.
VWL1: Unternehmensverhalten 23

Beziehung zwischen kurz- und
langfristigen Kosten
• Beispiel ABB von Folie 26: Ein Unternehmen kann drei alternative
Betriebsgrössen wählen. Ist diese Betriebsgrösse einmal gewählt,
kann sie kurzfristig nicht mehr geändert werden.
• Für jede Betriebsgrösse fallen unterschiedliche kurzfristige
Durchschnittskostenkurven an.
• Erwartet das Unternehmen die Menge Q1 zu produzieren, sollte es
die kleinste Betriebsgrösse wählen. Es kann dann zu AC=8 produzieren.
Wählt es die mittlere Betriebsgrösse, produziert es zu
AC=10.
• Die langfristige Durchschnittskostenkurve ist die Umhüllende der
kurzfristigen AC-Kurve. Bei nur drei Betriebsgrössen ist die blaue
Linie die Umhüllende. Sind beliebige Betriebsgrössen möglich, ist die
rote LAC die Umhüllende.
VWL1: Unternehmensverhalten 24

LAC (Langfristigen Durchschnittskosten)
• Das Minimum der SAC für die einzelnen Betriebsgrössen liegt nicht
auf der LAC, da zunächst Grössenvor- und dann Grössennachteile
bestehen. Eine kleine Firma die bei kurzfristig minimalen Durchschnittskosten
produziert, weist höhere SAC auf als eine grössere
Firma, da diese Grössenvorteile ausnutzen kann.
• Die ABB auf Folie 26 zeigt auch die kurzfristigen Grenzkosten (SMK).
• Diese schneiden für jede Betriebsgrösse die SAC-Kurve in deren
Minimum.
• Die langfristige Grenzkostenkurve schneidet die LAC ebenfalls in
deren Minimum.
• Punkt bei Ausbringungsmenge Q1: SAC1 liegt auf der Umhüllenden
LAC. Die Grenzkosten SMK1 sind damit auch langfristig relevant.
SMK1 schneidet in diesem Punkt die LMK.
VWL1: Unternehmensverhalten 25

Optimale Betriebsgrösse
Kosten
(€ pro Output-
Einheit)
SAC 1
SAC 2
SAC 3
LAC
€10
€8
A
B
LMC
SMC 1
SMC 2
SMC 3
Ist die Gütermenge gleich Q 1 ,
würde der Manager die kleine
Betriebsgröße SAC 1 wählen,
und die SAC wären gleich €8.
Punkt B liegt auf der LAC,
da dies die kostengünstigste
Betriebsgrösse für eine
bestimmte Gütermenge ist.
Q 1
VWL1: Unternehmensverhalten 26
Output

Literatur
• Pindyck, R. S. und D. L. Rubinfeld (2005)
Microeconomics, Prentice Hall, Sixth edition, Pearson
Prentice Hall.
– Chapter 6
VWL1: Unternehmensverhalten 27