Zusatzfolien zu Foliensatz 6 und 7 - KOFL

Zusatzfolien zu Foliensatz 6:
Folie 19: Der Graph der Nutzenfunktion ist dreidimensional.
Die in der Vorlesung gezeigte Abbildung zeigt ein Nutzengebirge.
Die Indifferenzkurven können als Höhenlinien dieses Nutzengebirges interpretiert werden.
Beispiel:
Cobb-Douglas
U (F,C) =
F
1/ 2
C
1/ 2
Welche Kombinationen von F und C liegen auf der Indifferenzkurve U.
Die Funktion der Indifferenzkurve ergibt sich aus
bestimmten Niveau festgesetzt wird.
1/ 2 1/ 2
U (F,C) = F C
U (F,C) =
F
1/ 2
C
1/ 2
, wobei U auf einem
2
U(F,C)
C(F) = C wird in Abhängigkeit von F ausgedrückt.
F
Was können wir über diese Indifferenzkurve sagen?
Sie hat den Nutzenindex U , z.B. U = 50 , wie die mittlere Indifferenzkurve in der Abbildung
auf Folie 3 Foliensatz 6.2.
1. Ableitung der Indifferenzkurve ist negativ.
2 −1
∂C(F)
∂U(F,C)
F ⎛ U(F,C) ⎞
=
= −⎜
⎟ < 0
∂F
∂F
⎝ F ⎠
o Fallender Verlauf der Indifferenzkurve
o Negative Steigung
2. Ableitung der Indifferenzkurve ist positiv.
2
2
∂C(F)
⎛ U(F,C) ⎞
∂⎜
⎟
2
F F U(F,C)
∂ ∂ = −
⎝ ⎠
= 2 > 0
3
∂F
∂F
F
o Die negative Steigung der Indifferenzkurve wird mit zunehmendem F weniger
negativ.
o Beispiel: Foliensatz 6.2 Folie 19. Die Steigung der Indifferenzkurve ist zunächst -6
und steigt langsam auf -1 an.
o Die Indifferenzkurve ist strikt konvex. Es gilt das Kleinerzeichen.
o Geometrische Charakterisierung der Konvexität: Verbinden Sie die Beiden Punkte A
und G. Der sich ergebende Streckenabschnitt liegt oberhalb des Graphen C(F) . Er
liegt also über der Indifferenzkurve.
Wir können aus der Nutzenfunktion noch mehr ersehen:
Grenznutzen:
o Der Grenznutzen entspricht beispielsweise der grünen Linie im Nutzengebirge, wie es
in der Vorlesung gezeigt wurde.
o Wir nehmen an F werde auf einem bestimmten Niveau konstant gehalten F = F . Nur
C wird ausgedehnt.
1

Wie verändert sich U für ein gegebenes F = F , wenn C ansteigt? Wir ziehen wieder die
Nutzenfunktion heran. Jetzt wird aber nicht mehr U auf einem bestimmten Niveau
festgehalten, wie bei der Darstellung der Indifferenzkurve, sondern F wird fixiert.
U (F,C) =
F
1/ 2
C
1/ 2
1. Ableitung von
1/ 2 1/ 2
U (F,C) = F C entspricht dem Grenznutzen von C
∂U(F,C)
1 ⎛
= ⎜
∂C
2 ⎝
1/ 2
F ⎞
⎟ > 0 .
C ⎠
o Diese Ableitung ist für jedes C positiv.
o Der Grenznutzen (GN) wird zwar für grosse C klein, bleibt aber positiv.
o Hier gilt also die Nichtsättigungsannahme.
2. Ableitung:
∂U(F,C)
1/ 2
1/ 2
∂C
1 F 1 ⎛ F ⎞ 1
= − = − ⎜ ⎟ < 0
∂C
4 C 4 ⎝ C ⎠ C
o Die zweite Ableitung ist negativ.
o Der GN von C nimmt mit steigendem C ab.
∂
− 3 / 2
Der Gesamtnutzen steigt mit C an (positive 1. Ableitung). Jedoch steigt der U mit jedem
weiteren C um jeweils weniger an (negative 2. Ableitung).
1/ 2 1/ 2
Auch die Nutzenfunktion U (F,C) = F C lässt sich graphisch darstellen.
1/ 2 1/ 2
o Auf der Ordinate wird U (F,C) = F C abgetragen
o Auf der Abszisse wird C abgetragen
o Der sich ergebend Graph zeigt einen konkaven Verlauf.
o Der Nutzenanstieg für jedes weitere C wird immer kleiner.
2

Frage eines Studenten: Was hat der abnehmende GN mit der Konvexität der
Indifferenzkurve zu tun?
Beispiele für eine Indifferenzkurve und eine Darstellung des Nutzens für konstantem F und
ansteigendem C. Beide sind aus Pindyck/Rubinfeld. Sie gehören jedoch nicht unmittelbar
zusammen, d.h. es liegt ihnen nicht eine bestimmte Nutzenfunktion zugrunde. Dennoch
können wir aus dem direkten Vergleich einiges ersehen.
Was wissen wir bereits?
o Die Indifferenzkurve zeigt C (Ordinate) in Anhängigkeit von F (Abszisse) für ein
bestimmtes U = U . Sie ist konvex.
o Die Nutzenkurve zeigt U in Anhängigkeit von C für F = F . Sie ist konkav. (Welchen
Verlauf hätte jetzt eine Kurve, bei der der Grenznutzen auf der Ordinate abgetragen
würde? Sie wissen der GN wird immer geringer mit steigendem C))
o Die negative Steigung der Indifferenzkurve GRS:
∂C o − = GRS
∂F
Punkt B in der Abbildung der Indifferenzkurve:
o Gekennzeichnet durch eine reichliche Ausstattung mit C, dazu jedoch wenig F.
o Also ist der GN von C gering
o Der GN von F ist hoch.
o Da der GN von C gering, der von F aber hoch ist, bin ich bereit viel C aufzugeben um
1 Einheit von F zu erhalten. GRS ist hoch.
Punkt A:
o Ausstattung von C und F ist aus geglichener.
o Damit sind auch die GN angeglichener.
o Die Steigung der Indifferenzkurve ist flacher.
o Die GRS ist geringer als in A.
o Die Steigung ist in A weniger negativ als in B. Hier zeigt sich der konvexe Verlauf der
Indifferenzkurve.
Der Zusammenhang von GRS und GN lässt sich auch darstellen, wenn das totale Differenzial
der Nutzenfunktion gebildet und gleich Null gesetzt wird:
U (F,C) =
F
1/ 2
C
1/ 2
3

∂U(F,C)
∂U(F,C)
dC + dF = 0
∂C
∂F
∂U(F,C)
∂U(F,C)
dC = − dF
∂C
∂F
−
dC
dF
= GRS =
∂U(F,C)
∂U ∂
(F,C)
F
∂C
Zu jedem Punkt auf der Indifferenzkurve gehört ein bestimmtes C und F. Für jeden Punkt
lässt sich auch ein Verhältnis der GN ausdrücken.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Beispiel: Die additiv-separable Nutzenfunktion
U (F,C) = F + 2C
Indifferenzkurve
C(F) =
U − F
2
∂C(F)
1
1. Ableitung: = − < 0
∂F
2
fallender Verlauf
2
∂ C(F)
2. Ableitung: = 0
2
∂F
nicht strikt konvex.
Unabhängig von der Ausstattung wird für 1 F immer ½ C getauscht.
Die Indifferenzkurvenschar zu U (F,C) = F + 2C
ist ähnlich der, die im Foliensatz 6.1 auf
Folie 25 dargestellt ist.
Grenznutzen:
∂U(F,C)
= 2 > 0
∂C
2
∂ U(F,C)
= 0
2
∂C
positiver GN
konstanter GN
Der GN von C hängt nicht von der konsumierten Menge von F ab. (Im Vergleich: Bei der CD
Nutzenfunktion steigt der GN von C, wenn ein höheres F angenommen wird. Übrigens:
Edgeworth (1881) zeigte als erster, dass der Grenznutzen eines Gutes in der Regel auch von
der konsumierten Menge anderer Güter abhängt)
Das totale Differenzial von
U (F,C) = F +
2C
4

∂U(F,C)
∂U(F,C)
dC + dF = 2dC + dF = 0
∂C
∂F
dC 1
− = GRS =
konstant, F und C sind vollständige Substitute
dF 2
Egal auf welchem Punkt der Indifferenzkurve wir uns befinden, das Austauschverhältnis
(GRS) ist immer ½. Der konstante GN zeigt sich auch in der konstanten GRS.
Foliensatz 6.3, Abbildung 16
Haushaltsoptimum:
Optimierung unter Nebenbedingung: Das Problem, das in Abbildung 16 graphisch dargestellt
wird, lässt sich auch algebraisch Lösen. Wir bilden dazu eine Lagrangefunktion.
o Die Lagrangefunktion wird in Sydsater K. und P. Hammond (2006), Mathematik für
Wirtschaftswissenschaftler, 2. Auflage, Pearson Studium, München, Boston 14.
Kapitel besprochen.
Die Lagrangefunktion besteht aus einer
o Zielfunktion Nutzenfunktion
o Lagrangeparameter
o Nebenbedingung Budgetrestriktion des Haushalts, sie grenzt die Menge möglicher
Lösungen ab. Der Haushalt kann sich nur Güterbündel leisten, die unterhalb oder auf
der Budgetgeraden liegen.
Φ F,C) = U(F,C) + λ(I
− PFF
− P C)
2
Φ F,C) = FC − λ(P
F + P C − I)
(
C
(
F C
Notwendigen Bedingungen 1. Ordnung für ein Maximum von Φ
(1)
∂Φ(F,C)
∂U(F,C)
2
= − λPF = C − λPF
= 0
∂F
∂F
(2)
∂Φ(F,C)
∂U(F,C)
= − λPC = 2FC − λPC
= 0
∂C
∂C
(3)
∂Φ(F,C)
= (I − PF F − PCC)
= 0
∂λ
2
C
= λ
PF
2FC
= λ
P C
Rufen Sie sich Folie 13 (6.3) in Erinnerung.
Der maximierende Warenkorb muss zwei Bedingungen erfüllen:
– Er muss sich auf der Budgetgeraden befinden. Ergibt sich aus (3). (3) besagt also,
das der Haushalt sein gesamtes Einkommen für die Güterkäufe aufwendet.
– Er muss dem Konsumenten die am stärksten präferierte Kombination von Gütern
und Dienstleistungen bieten. Ergibt sich aus (1) und (2)
5

– Rationales Verhalten
Aus (1) und (2) ergibt sich
∂U(F,C)
∂F
P
∂U(F,C)
= λ = ∂C
F
P C
∂U(F,C)
∂F
P
∂U(F,C)
= ∂C
F
P C
vgl. Folie 20 (6.3)
P
P
F
C
∂U(F,C)
=
∂U ∂
(F,C)
F vgl. Folie 19 (6.3)
∂C
Vgl. Breyer (2007), Mikroökonomik, Kapitel 4
6

Weitere Berechnungen zum Foliensatz 7.1:
Da wir die Nutzenfunktion spezifiziert haben, können wir
o die Konsum-Konsumkurve
o die Marschall’schen Nachfragen C* und F*
o und die Engelkurve
berechnen
Einkommen-Konsumkurve:
2
2FC C
=
PC
PF
P
2F F
P
= C C = 2F
P
P
C
F
C
o Die Gleichung sagt etwas über die Einkommens-Konsumkurve bei den hier
angenommenen Präferenzen aus:
o Sie stellt (ebenso wie die in ABB 10, Foliensatz 7.1) bei gegebenem Preisverhältnis
eine Gerade durch den Ursprung dar. Das optimale Verhältnis von C und F bleibt
immer gleich, unabhängig von der Höhe des Einkommens. Beide Güter sind „normale
Güter“.
7

Marschall’schen Nachfragen C* und F*
Einsetzen von
P
P
F
C = 2F in (3)
C
PF
(3) I = PFF
+ PCC
= PFF
+ PC
2F = PFF
+ 2FPF
= 3FPF
P
C
*
F =
I
3P
F
*
F (I,PF
,PC
) =
I
3P
F
Einsetzen in
2
2CF C
=
P P
C
F
I
3P
*
F
C = =
F
P
P
C
I
3P
C
*
C (I,PC
,PF
) =
I
3P
C
Die Marshall’sche Güternachfrage: Sie gibt die nachgefragte Gütermenge in Anhängigkeit der
Preise und des Einkommens an.
Engelkurven
für F und C sind in diesem Beispiel:
I = 3P F
Gerade durch den Ursprung, Ordinate I und Abszisse F abtragen
F
I = 3P C
Gerade durch den Ursprung, Ordinate I und Abszisse C abtragen
C
Frage: Sind die notwendigen Bedingungen 1. Ordnung für ein Maximum von Φ auch
hinreichend?
Damit die FOC auch hinreichend für ein absolutes Maximum sind, muss:
o die Zielfunktion quasikonkav sein. In unserem Fall ist die Zielfunktion die
Nutzenfunktion. Da wir bereits wissen, dass die Indifferenzkurven der Cobb-Douglas
Nutzenfunktion konvex sind, ist unsere Zielfunktion quasikonkav.
o und die Menge zulässiger Lösungen konvex sein. In unserem Fall wissen wir, dass
das Güterbündel in der Budgetmenge liegen muss, d.h. unterhalb oder auf der
Budgetgeraden. Andere Güterbündel kann sich der Haushalt nicht leisten.
o Beispielsweise zeigt die Abbildung auf Folie 14 (6.3), dass die Budgetmenge(der
Güterraum unterhalb der Budgetgeraden) konvex ist.
o Eine Menge heisst konvex, wenn die Punkte auf der Verbindungslinie zweier Punkte,
die innerhalb der Menge liegen, auch zur Menge hören.
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