Vorlesung Numerische Berechnung von Leichtbaustrukturen - 10 ...

Vorlesung 

Numerische 

Berechnung 

von Leichtbaustrukturen 

Dr.-Ing. H. 

Köppe 

Vorlesung Numerische Berechnung von 

Leichtbaustrukturen 

10. Vorlesung 

Dr.-Ing. H. Köppe 

Institut für Mechanik 

20. Januar 2013

Wölbkrafttorsion dünnwandiger gerader Stäbe mit 

oenem Querschnitt 





Dr.-Ing. H. 

Köppe 

Allgemeine Denitionen 

Schalen, Scheiben und Platten sind zweidimensionale ächenhafte 

Konstruktionen. 

• Zwei Abmessungen sind gegenüber einer dritten Abmessung (z. B. 

Dicke h) groÿ. 

• Berechnung erfolgt in Abhängigkeit von der Krümmung der Flächen 

und der Belastung nach der Scheiben-, Platten-, oder Schalentheorie. 

Stäbe und Stabtragwerke sind eindimensionale Konstruktionen. 

• Eine Abmessung (z.B. Länge l) ist gegenüber zweier 

Querschnitssabmessungen (z. B. Höhe h und Breite b) groÿ. 

• Berechnung erfolgt in Abhängigkeit von der Querschnittsgestalt und 

von der Belastung. 

⇒ klassische Biegeteorie oder Saint Venantsche Torsion 

⇒ Bei Verletzung spezieller Voraussetzungen an die Belastung und 

Querschnittsform entsehen groÿe Fehler bei der Spannungs- und 

Verformungsberechnung







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Bei Torsionsbeanspruchungen spielt die Querschnittsform eine 

entscheidende Rolle bei der Berechnung des Verformungs- und 

Spannungszustandes. 

Stäbe mit Vollquerschnitt: 

• Die Berechnung der Verformungen und Spannungen kann nur für 

Kreisquerschnitte mit einer elementaren Theorie erfolgen. 

• Für alle anderen Vollquerschnitte muss die Torsionsbelastung mit 

Methoden der klassischen Elastizitätstheorie behandelt werden. 

Dünnwandige Stäbe (oene und geschlossene Querschnitte): 

• Dünnwandige Stäbe zeichnen sich dadurch aus, dass bei ihnen die 

Abmessungen in drei Stufen sehr unterschiedlich groÿ sind. 

s 

s ≪ H ≪ l Richtwerte: 

H ≤ 0.1 und H 

≤ 0.1 

l 

• Die Berechnung dünnwandiger Stäbe, insbesondere mit oenen 

Querschnitten, erfordert bei allgemeinen Belastungen die 

Berücksichtigung spezieller Eekte, die in der klassischen 

Balkentheorie nicht enthalten sind.







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Mögliche Eekte: 

• Torsion kann zusätzlich Längsdehnungen hervorrufen, die zu 

zusätzlichen Normalspannungen führen 

• Querkraftbeanspruchungen führen zu einer Torsionsbelastung wenn 

sie nicht durch den Schubmittelpunkt laufen. 

• Längskraftbelastungen können ebenfalls zu Torsionsbelastungen 

führen. 

Typische dünnwandige Querschnitte: 

• Dünnwandige oenen Querschnitte: 

• Dünnwandige geschlossene Querschnitte:







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Typische dünnwandige Querschnitte: 

• Dünnwandige geschlossene mehrzellige Querschnitte: 

• Dünnwandige gemischte Querschnitte: 

Denition 

Verwölbung ist eine Verschiebung der Querschnittspunkte aus 

der Querschnittsäche heraus in Stablängsrichtung infolge einer 

Torsionsbelastung.







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Saint Venantsche Torsion (Reine Torsion): 

Man spricht von der Saint Venantschen Torsion, wenn keine 

Querschnittsverwölbungen auftreten oder vorhandene 

Querschnittsverwölbungen sich ungehindert ausbreiten können. 

Es gibt keine zusätzlichen Normalspannungen 

Neben der Saint Venantschen Schubbeanspruchung treten keine 

weiteren Torsionsbelastungen auf. 

Reine Torsion liegt somit nur für wölbfreie Querschnitte vor (z. B. 

Kreis- und Kreisringquerschnitte). 

Bei Querschnitten, die sich nur gering verwölben (z. B. allgemeine 

Vollquerschnitte, dünnwandige geschlossene Prole) und die 

Wölbbehinderung gering ist, kann als Näherung mit der Theorie der 

reinen Torsion gerechnet werden.







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Wölbkrafttorsion: 

Querschnitte verwölben sich bei einer Torsionsbelastung und diese 

Verwölbungen werden behindert. 

Dadurch entstehen zusätzliche Normal- und Schubspannungen, die in 

der Regel nicht vernachlässigt werden dürfen 

Eine Behinderung der Verwölbung kann auch durch die Einleitung 

eines Torsionsmomentes bzw. durch das Erzwingen einer Drehachse, 

die nicht mit der natürlichen Drehachse identisch ist, hervorgerufen 

werden. 

Systeme mit Wölbbehinderung sind steifer als analoge Systeme 

ohne Wölbbehinderung. 

Besonders dünnwandige oene Querschnitte weisen eine starke 

Verwölbung bei einer Torsionsbelastung auf 

Solche Prole werden sehr häug in Leichtbaukonstruktionen zur 

Erhöhung der Steigkeiten eingesetzt.







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Werden die auftretenden Verwölbungen durch Lagerungen oder 

Anschluÿkonstruktionen behindert, entstehen sogenannte 

Wölbnormalspannungen σ zw , die im Querschnitt eine 

Gleichgewichtsgruppe bilden. 

Die mit der Wölbnormalspannung σ zw gekoppelten zusätzlichen 

Schubbeanspruchungen führen zu Schubspannungen τ ω ,die einen 

Beitrag zum Torsionsmoment liefern. 

Dieser Anteil ist von der gleichen Gröÿenordnung wie das 

Torsionsmoment aus der reinen Torsion. 

Hinsichtlich der Festigkeit sind die Zusatzspannungen bei 

dünnwandigen Prolen unbedingt zu berücksichtigen.







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• Geometrische und statische Hypothesen: 

1.) Die Querschnittsform eines Stabes bleibt bei der 

Stabverformung erhalten 

2.) Die Verwölbung wird auf die Prolmittellinie bezogen. 

⇒ Auf Grund der Dünnwandigkeit wird diese als konstant über 

die Proldicke t(s) angesehen. 

3.) Die Schubverzerrungen in der Stabmitteläche werden 

vernachlässigt. 

4.) Es gibt im Stab nur Normalspannungen σ z in Richtung der 

Stabachse. 

⇒ Diesen Normalspannungen werden als konstant über die 

Proldicke t(s) angenommen.







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5.) Es gibt im Stab nur Schubspannungen τ zs in Richtung der 

Tangente an die Prolmittellinie s. 

⇒ Diese Schubspannungen sind über die Proldicke t(s) linear 

verteilt. 

⇒ Die Schubspannungen τ zs stellen die vektorielle Summe aus 

den Saint Venantschen Schubspannungen τ v (Primäre 

Schubspannungen) und den Wölbschubspannungen τ ω 

(Sekundäre Schubspannungen) dar.







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6.) Es werden kleine Verformungen vorausgesetzt. 

7.) Das Material ist homogen und isotrop. 

8.) Es gilt das Hookesche Gesetz. 

9.) Die Balken bzw. Stäbe sind gerade und haben einen konstanten 

Querschnitt. 

10.) Die Drehachse ist die Schubmittelpunktachse M. 

11.) Es sind alle Balken- und Stabschnittgröÿen zugelassen. 

• Aus der Annahme, dass die Querschnittsgeometrie erhalten bleiben 

soll, folgt für Belastungen in der Querschnittsebene eine mögliche 

Aufteilung in statisch äquivalente Belastungen.







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• Die durch die statisch äquivalente Ersetzung der Belastung in der 

Querschnittsebene treten nur lokale Störungen auf, die relativ schnell 

abklingen 

• Auf Grund der Möglichkeit einer Verwölbung der Querschnitte darf 

eine statisch äquivalente Ersetzung einer Belastung in Längsrichtung 

(z-Achse) nicht durchgeführt werden. 

⇒ Unterschiedliche statisch äquivalente Ersetzungen führen zu 

anderen Querschnittsverwölbungen. 

⇒ Verwölbungen stellen keine örtliche Störung dar, sondern 

beeinussen den gesamten Spannungs- und Verformungszustand.







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• Beispiel einer mögliche Aufteilung einer Längskraft in statisch 

äquivalente Kräftegruppen:







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Anmerkung 

Die vorgenommene statisch äquivalente Zerlegung der Belastung 4F führt 

auf vier Teillastfälle. 

• Beispiel einer mögliche Aufteilung einer Längskraft in statisch 

äquivalente Kräftegruppen: 

⇒ 3 Teillastfälle (F L , M bx , M by ) erzeugen eine Zug- 

Druckbeanspruchung um zwei Achsen, wobei der Querschnitt 

eben bleibt. 

⇒ 4. Teillastfall stellt eine Gleichgewichtsgruppe dar, deren 

zugehörige Schnittgröÿe als Bimoment B bezeichnet wird. 

• Das Bimoment B führt zu einer Biegung der Flansche. 

⇒ Auf Grund des Erhaltes der Querschnittsgeometrie äuÿert sich 

diese Verformung in einer Verdrehung des Querschnittes 

um den Winkel ϕ und einer Verwölbung des Querschnittes 

⇒ Die Behinderung der Verwölbungen bestimmt die Gröÿe der 

zusätzlich auftretenden Norrmalspannungen.








Verformungen durch das Bimoment B 

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Koordinatensysteme 

S, M - Schwerpunkt, Schubmittelpunkt 

¯x, ȳ, ¯z - beliebiges Koordinatensystem 

¯x, ȳ, ¯z - Schwerpunktkoordinatensystem 

x, y, z - Hauptachsensystem in S 

x ∗ , y ∗ , z ∗ - Hauptachsensystem in M 

c - Prolmittellinienkoordinate 

s(c) - Dicke des Prols







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Verformungen 

u, v, w - Verschiebungen in Richtung x, y, z (positiv in positiver 

Koordinatenrichtung) 

ϕ 

- Verdrehung des Querschnittes um die z-Achse 

Querschnittswerte 

s(c) 

A = ∫ dA = ∫ 

(A) (c) 

Dicke des Prols in mm 

s(c)dc Querschnittsäche in mm 2 

ξ=c ∫ 

A(c) = s(ξ)dξ Bei c abgeschnittene Teiläche in mm 2 

ξ=0 

S¯x = ∫ ȳd = ∫ 

(A) (c) 

ȳ(c)s(c)dc 

Statisches Moment der Gesamtäche 

bezogen auf ¯x in mm 3







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S ȳ = ∫ ¯xdA = ∫ ¯x(c)s(c)dc 

(A) 

(c) 

S¯x = Sȳ = S x = S y = 0 

ξ=c ∫ 

S¯x (c) = ȳ(ξ)s(ξ)dξ 

ξ=0 

ξ=c ∫ 

S ȳ (c) = ¯x(ξ)s(ξ)dξ 

ξ=0 

Statisches Moment der Gesamtäche 

bezogen auf ȳ in mm 3 

Statisches Moment der bei c abgeschnittenen 

Teiläche bezogen auf 

¯x in mm 3 

Statisches Moment der bei c abgeschnittenen 

Teiläche bezogen auf 

ȳ in mm 3 

Analog lassen sich die statischen Momente der bei c abgeschnittenen 

Teiläche bezogen auf die Koordintaten ¯x, ȳ, x, y aufschreiben 

I¯x ¯x = ∫ 

(A) 

ȳ 2 dA = ∫ 

(c) 

ȳ 2 (c)s(c)dc Flächenträgheitsmoment bezogen 

auf ¯x in mm 4







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I ȳȳ = ∫ ¯x 2 dA = ∫ ¯x 2 (c)s(c)dc 

(A) 

(c) 

I¯xȳ = − ∫ ¯xȳdA = − ∫ 

(A) 

(c) 

¯x s = 

ȳ s = 

∫ 

¯xdA 

(A) 

A 

∫ 

ȳdA 

(A) 

A 

= S ȳ 

A 

= S¯x 

A 

¯x(c)ȳ(c)s(c)dc 

Flächenträgheitsmoment 


Deviations- oder Zentrifugalmoment 


Schwerpunktkoordinate ¯x s 

in mm 4 

Schwerpunktkoordinate ȳ s 

in mm 4 

Flächen- und Deviationsmomente bezogen auf ¯x, ȳ und x, y, 

Haupttraägheitsmomente und Lage der Hauptachsen 

I¯x ¯x = I¯x ¯x − ȳ 2 s A, Iȳȳ = I ȳȳ − ¯x 2 s A, I¯xȳ = I¯xȳ + ¯x s ¯x sA







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√ 

I max = I xx = I¯x ¯x +Iȳȳ 

+ ( I¯x ¯x −Iȳȳ 

) 

2 2 2 + I 2¯xȳ 

√ 

I min = I yy = I¯x ¯x +Iȳȳ 

− ( I¯x ¯x −Iȳȳ 

) 

2 2 2 + I 2¯xȳ 

I xy = 0 

tan α 0 = 

I¯xȳ 

I xx −Iȳȳ 

= Ixx +I¯x ¯x 

I¯xȳ








Spannungen 

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Analoge Zusammenhänge gelten auch für die Koordinaten ¯x, ȳ, ¯z und ¯x, ȳ, ¯z 

Schnittgröÿen







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Anmerkung 

Die Schnittgröÿen als Resultierende der Spannungen σ z (c) und τ zc(c) 

werden so deniert, dass ihre Wirkungslinien durch folgende Punkte gehen: 

Schwerpunkt S 

Längskraft F L , Biegemomente M bx und M by 

Schubmittelpunkt M 

Querkräfte F Qx und F Qy , Torsionsmoment M t 

Zwischen den Spannungen und den Schnittgröÿen bestehen folgende 

Zusammenhänge: 

F L = ∫ 

σ z dA = ∫ 

σ z (c)s(c)dc 

(A) 

(c) 

F Qx = ∫ 

τ zx dA = ∫ 

(A) 

(c) 

F Qy = ∫ 

τ zy dA = ∫ 

(A) 

(c) 

τ zc(c) cos α s(c)dc 

τ zc(c) sin α s(c)dc







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Zwischen den Spannungen und den Schnittgröÿen bestehen folgende 

Zusammenhänge: 

M bx = ∫ 

σ z ydA = ∫ 

σ z (c) y(c) s(c)dc 

(A) 

(c) 

M by = ∫ 

σ z xdA = ∫ 

(A) 

(c) 

(A) 

σ z (c) x(c) s(c)dc 

M t = ∫ 

(τ zy x ⋆ − τ zx y ⋆ )dA = ∫ 

τ zc(c) r t(c) s(c)dc 

Belastungen: 

q x (z), q y (z), q z (z) 

(c) 

Linienlasten in positiver x, y, z− Richtung 

p x (c, z), p y (c, z), p z (c, z) 

Flächenlasten bezogen auf die Prolmittellinie 

in positiver x, y, z− Richtung 

m x (z), m y (z), m z (z) 

Linienmomente bezogen auf die Achsen 

x, y, z 

(positiv wie Momente der Schnittgröÿen)







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Belastungen: 

F x , F y , F z Einzelkräfte in positiver x, y, z− Richtung 

M x , M y , M z Einzelmomente bezogen auf die x, y, z− Achsen 

Verformungen: 

- Ein Punkt P der Querschnittsäche unterliegt den allgemeinen 

Verformungen u, v, w . 

- Auf Grund der Erhaltung der Querschnittsgeometrie kann die Verformung 

eines Punktes in der Querschnittsäche (z = konstant) durch 3 Angaben 

eindeutig beschrieben werden. 

- Ausgehend von der Verschiebung eines willkürlichen Punktes D(x D , y D ) 

und einer Drehung des Gesamtquerschnittes um den Drehpol D kann man 

die Verschiebung eines beliebigen Punktes darstellen.








Verformungen: 

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u = u D − r D ϕ sin β = u D − (y − y D )ϕ 

v = v D − r D ϕ cos β = v D − (x − x D )ϕ 

mit 

sinβ = (y − y D )/r D ; cosβ = (x − x D )/r D 

Zerlegung der Verschiebungen in tangentiale und radiale Richtung 

⇒ Diese Richtungen sind um den Winkel α gegenüber u und v gedreht. 

ξ = u cos α + v sin α 

η = −u sin α + v cos α







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Verformungen: 

Einsetzen der Verschiebungen u, v in die Transformationsgleichung: 

ξ = u D cos α + v D sin α + [(x − x D ) sin α − (y − y D ) cos α]ϕ 

} {{ } 

r nD 

η = −u D sin α + v D cos α + [(x − x D ) cos α − (y − y D ) sin α]ϕ 

} {{ } 

r tD 

r tD 

r nD 

Länge des Lotes von D auf die Tangente in P 

Länge des Lotes von D auf die Normale in P 

und somit 

ξ = u D cos α + v D sin α + r nD ϕ 

η = −u D sin α + v D cos α + r tD ϕ







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Verformungen: 

Die noch fehlende Verschiebung w (Verwölbung) der Querschnittspunkte in 

z-Richtung lässt sich aus der Annahme, dass die Gleitung der 

Prolmittellinie γ zc = 0 ist, ermitteln. 

γ zc = ∂η 

∂z + ∂w 

∂c = 0 

∂w 

∂c 

= − ∂η 

∂z 

w(z, c) = w 0 (z) − ∫ ∂η 

∂z dc 

Für die Verschiebung w(z, c) erhält man: 

⇒ w(z, c) = w 0 − ∫ [− ∂u D 

∂z 

sin α + ∂v D 

∂z 

cos α + r tD ∂ϕ 

∂z ]dc








Verformungen: 

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dc sin α = −dx, 

r tD dc = dω D , 

dc cos α = dy 

(...) ′ = ∂(...) 

∂z 

Die Gröÿe dω D ist geometrisch die 

doppelte Fläche (Sektoräche), 

die von DPP' eingeschlossen wird. 

Damit erhält man für w(z, c) : 

⇒ w(z, c) = w 0 (z) − ∫ u ′ D (z)dx − ∫ v ′ D (z)dy − ∫ ϕ ′ D (z)dω D(c)







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Verformungen: 

⇒ w(z, c) = w 0 (z) − u ′ D (z)x(c) − v ′ D (z)y(c) − ϕ′ D (z)ω D(c) 

Da die Gröÿen u ′ D , v ′ D und w 0 vom Bezugspunkt D unabhängig sind, kann 

auf eine Indizierung verzichtet werden: 

⇒ w(z, c) = w 0 (z) − u ′ (z)x(c) − v ′ (z)y(c) − ϕ ′ (z)ω D (c) 

Es bedeuten: 

w 0 (z) 

u ′ (z)x(c) 

v ′ (z)y(c) 

Verschiebung des Querschnitts als starre Scheibe 

in z-Richtung (Zug/Druck-Beanspruchung) 

Verschiebung der Querschnittspunkte durch Drehung 

des starren Querschnitts um die y-Achse 

(Biegung um die y-Achse) 

Verschiebung der Querschnittspunkte durch Drehung 

des starren Querschnitts um die x-Achse 

(Biegung um die x-Achse)







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Verformungen: 

ϕ ′ (z)ω D (c) 

Verwölbung des Querschnitts in z-Richtung für den 

gewählten Bezugspunkt D 

(dadurch bleibt der Querschnitt nicht mehr eben), 

ω D (c) 

ω D (c) ist die Wölbfunktion für den Bezugspunkt D, 

die wegen der möglichen geometrischen Deutung 

auch Sektorkoordinate bzw. Einheitsverwölbung, 

da sie die Verwölbung für ϕ ′ (z) = ϑ = 1 repräsentiert, 

genannt wird. 

kann durch Integration aus der dierentiellen 

Sektorkoordinate dω D berechnet werden: 

ω D (c) = ∫ r tD dc + ω D0 

ω D0 

ist eine noch zu bestimmende Integrationskonstante








Transformationsgleichungen für die Sektorkoordinate 

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Köppe 

Die Sektorkoordinate ω D ist vom Bezugspunkt D (Drehpol) und vom 

Anfangspunkt der Koordinate c, für die die Sektorkoordinate zunächst zu 

Null angenommen werden kann, abhängig. 

Im Folgenden sollen Transformationsgleichungen für unterschiedliche Lagen 

von D und Anfangspunkte c (mit ω D (c = 0) = 0) angegeben werden.







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a) Unterschiedliche Drehpole D bei gleichen Anfangspunkt O für die 

Koordinate c: 

Es gelte: 

ω D1 (c) - Sektorkoordinate bezüglich D 1 

ω D2 (c) - Sektorkoordinate bezüglich D 2 

Annahme: 

ω D1 (c = 0) = ω D2 (c = 0) = 0 

Es gilt (vgl. markierte Flächen) : 

dω D1 = r tD1 dc 

und dω D2 = r tD2 dc







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Es gilt: 

r tD1 = (x − x 1 ) cos α + (y − y 1 ) sin α, r tD2 = (x − x 2 ) cos α + (y − y 2 ) sin α 

dc sin α = −dx; 

Daraus folgt: 

dc cos α = dy 

dω D1 (c) = (x − x 1 )dy − (y − y 1 )dx; 

dω D2 (c) = (x − x 2 )dy − (y − y 2 )dx 

Bilden von dω D1 (c) − dω D2 (c): 

dω D1 (c) − dω D2 (c) = d(ω D1 (c) − ω D2 (c)) = −(x 1 − x 2 )dy − (y1 − y 2 )dx 

Die Integration der Gleichung liefert: 

ω D1 (c) − ω D2 (c) == −(x 1 − x 2 ) − (y1 − y 2 ) + C







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Mit der Randbedingung: 

folgt: 

ω D1 (c = 0) = ω D2 (c = 0) = 0 

0 = −(x 1 − x 2 )y 0 + (y 1 − y 2 )x 0 + C 

C = +(x 1 − x 2 )y 0 − (y 1 − y 2 )x 0 

nach dem Einsetzen von C die Transformationsvorschrift erhält man : 

ω D2 = ω D1 + (x 1 − x 2 )(y − y 0 ) − (y1 − y 2 )(x − x 0 )







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b) Unterschiedliche Anfangspunkte für die Koordinate c bei festem Drehpol D: 

Es gelte: 

P Punkt für den die Sektorkoordinate ω D berechnet werden soll. 

O 1 , O 2 Anfangspunkte der Koordinaten c 1 und c 2 , für die jeweils die 

Sektorkoordinaten zu Null angenommen werden: 

ω D (c 1 = 0) = 0 und ω D (c 2 = 0) = 0 

k konstanter Abstand entlang der Prolmittellinie von O 1 nach O 2







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ω D (c 2 ) = 

ξ 2 ∫=C2 

ξ 2 =0 

r tD dξ 2 = 

Es gelte: 

c 1 = c 2 + k und damit dc 1 = dc 2 

ω D (c 1 ) = 

bzw. 

ξ 1 −k=C1−k ∫ 

ξ 1 =k 

ω D (c 2 ) = 

ξ 1 ∫=C1 

ξ 1 =0 

ξ 2 ∫=C2 

ξ 2 =0 

r tD dξ 1 = 

r tD dξ 1 

r tD dξ 2 

ξ 1 ∫=C1 

ξ 1 =k 

r tD dξ 1 

ω D (c 2 ) = 

ξ 1 ∫=C1 

ξ 1 =0 

r tD dξ 1 − 

ξ 1 ∫=k 

ξ 1 =0 

ω D (c 2 ) = ω D (c 1 ) − 

r tD dξ 1 

ξ 1 ∫=k 

ξ 1 =0 

r tD dξ 1







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ω D (c 1 ) = ω D (c 2 ) + ω D (c 1 = k) 

Bei unterschiedlichen Anfangspunkten für c (für die jeweils 

ω D (c = 0) = 0 gelten soll) und festem Drehpol D unterscheiden sich die 

Sektorkoordinaten um einen konstanten Wert der Gröÿe ω D (c 1 = k). 

Anmerkung 

Drehpol D zunächst beliebig aber zweckmäÿig festlegen (möglichst 

Schnittpunkt mehrerer Prolmittellinien) 

Festlegung eines Nullpunktes O 1 auf der Prolmittellinie, für den zunächst 

die Sektorkoordinate ω D zu Null angenommen wird. 

⇒ Bei Symmetrie in den Schnittpunkt von Symmetrielinie und 

Prolmittellinie, da hier die tatsächliche Sektorkoordinate Null wird bzw. ist.







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Anmerkung 

Ein Anfangsradiusstrahl DO 1 bewegt sich entlang der Prolmittellinie 

(c-Koordinate) über den gesamten Querschnitt. 

Die dabei überstrichene Fläche vom Anfangsradiusstrahl bis zum aktuellen 

Radiusstrahl ist ein Maÿ für die Sektorkoordinate (ω D = 2x 

überstr. Fläche). 

Dreht sich der Radiusstrahl im mathematisch positiven Sinn, dann wächst 

die Sektorkoordinate positiv an. ) 

Mit Hilfe der obigen Transformationsformeln kann die Sektorkoordinate 

auch aus abschnittsweise (für jeweils geeignete Anfangspunkte bei festem 

Drehpol D) berechneten Werten für einen beliebigen Anfangspunkt O 

ermittelt werden.

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