Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie
Dr. Christian Böhning
Vorlesung im Sommersemester 2009
an der Georg-August-Universität zu Göttingen
Inhaltsverzeichnis
1 (Tag 1) 3
2 Approximation von Irrationalzahlen durch rationale 6
3 Reguläre Punktsysteme und kristallographische Gruppen 10
3.1 Einteilung der ebenen, diskreten Bewegungen in Klassen . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Klassifikation der ebenen, diskontinuierlichen Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Klassifikation von Typ II 13
4.1 Gruppen vom Typ II.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Gruppen vom Typ II.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Diophantische Gleichungen und algebraische Kurven 15
5.1 Das Problem der pythagoräischen Tripel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.2 Die Inversion am Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2.1 Der Inversor von Peaucellier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6 Konforme Abbildungen und der Satz von Liouville 19
6.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7 (Tag 7) 23
7.1 Erster Fall: σ ≠ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.2 Zweiter Fall: σ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8 Vortrag: Symplektische Geometrie und der Satz von Darboux 25
8.1 Symplektische Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8.2 Vektorfelder und Flüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.3 Symplektische Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.4 Kommutatoren und Possionvektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.5 Der Satz von Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9 Die Geburt des Riemannschen Krümmungstensors 31
1

Anschauliche Geometrie Inhaltsverzeichnis 2
10 Vortrag: Steiners Lösung des isoperimetrischen Problems 35
11 Divisionsalgebren und Topologie I 38
11.1 Die Cayley-Algebra der Oktaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
12 Divisionsalgebren und Topologie I (Forts.) 41
12.1 Die Cayley-Algebra der Oktaven (Forts.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
12.2 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
13 Divisionsalgebren und Topologie II 44
14 Divisionsalgebren und Topologie III 47
15 Divisionsalgebren und Topologie IV 50

Anschauliche Geometrie 1 (Tag 1) 3
1 (Tag 1)
Betrachte die Folgen
• (a n ) = 2 n , n = 1, 2, 3, . . .,
• (b n ) der Anfangsziffern (im Dezimalsystem) dieser Zahlen (a n ).
Nun können wir fragen:
1. Kommt jemals die 7 in der Folge (b n ) vor?
2. Was kommt häufiger vor, die 6 oder die 5? Präziser: Betrachte
A 6 = lim
n→∞
#{b k | b k = 6, k ≤ n}
,
n
analog A 5 ; existieren diese Limites und wenn ja, ist A 5 ≤ A 6 oder A 6 ≤ A 5 ?
Sei x ∈ N. Dann ist [ ]
x
10 [log 10 x]
die erste Ziffer im Dezimalsystem von x. Dabei bezeichnet für a ∈ R [a] (Gaußklammer) die
größte ganze Zahl, die nicht größer als a ist.
x
Betrachte erst ξ := . Es gilt 1 ≤ ξ < 10 und log ξ = {log
10 [log 10 x] 10 x} := log 10 x − [log 10 x]. Es
ist 0 ≤ log ξ < 1. Wir haben also eine Abbildung
N → [0, 1)
x ↦→ {log 10 x}.
Die erste Ziffer im Dezimalsystem von x ist
[
10 {log 10 x}] .
Wenn man x durch 2x ersetzt, geht {log 10 x} über in {log 10 x + log 10 2}. Das heißt, wenn wir
[0, 1) mit R und 1 identifizieren (also R/Z), dann ist die Abbildung, die wir betrachten,
R/Z → R/Z
a ↦→ a + log 10 2 (mod 1).
Wir starten also mit α 1 = {log 10 2} und betrachten die Folge (α n ) mit
α n+1 = α n + log 10 2 (mod 1), n ≥ 1.
Geometrischer: R/Z ≃ S 1 (die Einheitskreislinie).
Besinnen wir uns auf Frage 1 zurück. log 10 2 ist irrational. (Wäre log 10 2 = a b
, a, b ∈ N, dann
wäre 2 b = 10 a . In der Primfaktorzerlegung von 2 b kommt die 2 b-mal vor, in 10 a jedoch a-mal,
und wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung folgt a = b, ein Widerspruch.)
Behauptung 1. Die Folge der Punkte η, 2η, 3η, . . . auf S 1 ist dicht in S 1 (in der euklidischen
Topologie).

Anschauliche Geometrie 1 (Tag 1) 4
Beweis. Man hat einen Begriff von „Volumen“ auf S 1 (das heißt, jeder Kreisbogenabschnitt hat
eine Länge), und die Abbildung
f : S 1 → S 1
y ↦→ y + η
ist längenerhaltend. Angenommen, die Folge η, 2η, . . . wäre nicht dicht in S 1 . Dann gäbe es
einen Punkt y 0 ∈ S 1 und eine Umgebung U ∋ y 0 (einen offenen Kreisbogen) so, dass U keine
Punkte der Folge η, 2η, . . . enthält. Wähle nun U maximal mit der Eigenschaft, keine Punkte
der Folge zu enthalten. Die Translate f(U), f 2 (U), . . . enthalten alle keine Punkte der Folge.
Aber f ist längenerhaltend und S 1 hat endliche Länge; das heißt, es existiert ein N ∈ N so, dass
U ∩f N (U) ≠ ∅. Ist U = f N (U), dann wäre log 10 2 rational . Ist U ∩f N (U) ≠ ∅ und U ≠ f N (U),
dann ist dies ein Widerspruch zur Maximalität von U.
Korollar 1.1. Die Zahl 7 kommt in der Folge (b n ) der Anfangsziffern der Zahlen (2 n ) vor.
Nun zur zweiten Frage. Gegeben sei die Abbildung
f : R/Z = [0, 1) → [0, 1)
a ↦→ a + log 10 2 (mod 1).
Sei x 0 = log 10 2. Betrachte die Folge (c n ) mit c n = f n (x 0 ). Wie sind die Werte (c n ) in [0, 1)
verteilt?
Behauptung 2. Die Zahlen c 0 , c 1 , c 2 , . . . sind in [0, 1) gleichverteilt.
(Gleichverteilung: Ist I ∈ [0, 1) ein Teilintervall, dann ist
#{c k | c k ∈ I, k ≤ n}
lim
n→∞ n
die Länge von I.)
Stimmt die Behauptung, dann ist die Antwort auf Frage 2 wie folgt: Die 6 kommt mit Häufigkeit
log 10
7
6 vor, die 5 häufiger mit log 10 6 5 .
Beweis (dass (c n ) gleichverteilt ist). Für alle Riemann-integrierbaren Abbildungen
f : [0, 1) → C
(∗)
gilt
∫ 1
0
1
f(t) dt = lim
n→∞ n
n∑
f(c k ).
Es folgt die Gleichverteilung. (Denn: Man nehme für f die charakteristische Funktion χ I eines
Teilintervalls I ⊂ [0, 1) =⇒ Gleichverteilung.)
Man rechnet nach: (∗) gilt für f ≡ 1. (∗) gilt auch für f(x) = e 2πimx , m ∈ Z. Es ist ∫ 1
0
f(x) dx =
0, daher reicht es zu zeigen:
1
n∑
lim e 2πimkϑ = 0
n→∞ n
k=1
k=1

Anschauliche Geometrie 1 (Tag 1) 5
mit ϑ = log 10 2. Aber es ist
1
n
∣ n∑ ∣∣∣∣ e 2πimkϑ = 1 ∣
n ∣
k=1
≤ 1 n
1 − e 2πim(n+1)ϑ
1 − e 2πimϑ ∣ ∣∣∣∣
2
|1 − e 2πimϑ .
|
} {{ }
≠0, weil ϑ irrational ist.
Jede stetige Funktion f : [0, 1) → C lässt sich gleichmäßig durch trigonometrische Polynome
approximieren (Fourierentwicklung):
N∑
f ∼ C m e 2πimx .
m=0
Das heißt, (∗) gilt für stetige Funktionen. Jede Treppenfunktion (im Riemannschen Sinne) lässt
sich gleichmäßig durch stetige Funktionen approximieren. Es folgt die Behauptung.
(Obiges Argument für Funktionen f : [0, 1] → C, Riemann-integrierbar, f(0) = f(1).)
(Satz von Poincaré über die ewige Wiederkehr, Hermann Weyl.)

Anschauliche Geometrie 2 Approximation von Irrationalzahlen durch rationale 6
2 Approximation von Irrationalzahlen durch rationale
Sei α ∈ R \ Q. Frage: Wie gut kann man α approximieren durch rationale Zahlen m n
, m, n ∈ Z,
mit kleinem Nenner n? Speziell: Kann man eine Folge m n → α finden mit |α − m n | ≤ 1 ?
n 2
Das folgt aus:
∀ ε ∈ R + gibt es m, n ∈ Z mit
∣ α − m n ∣ ≤ ε
|n| , |n| ≤ 1 ε ,
oder:
∀ ε ∈ R + gibt es m, n ∈ Z mit
αn − m
∣ ε ∣ ≤ 1 und |εn| ≤ 1.
Im R 2 betrachten wir ein Gitter
(das heißt, alle Vektoren
Λ = Z ·
( ) ( )
−
1
α
ε
+ Z ·
ε
0 ε
( ) αn−m
ε
∈ Λ
nε
für m, n ∈ Z).
Obige Aufgabe bedeutet: Wir suchen einen Gitterpunkt in Λ (≠ 0), der im Quadrat mit
Kantenlänge 2 und Mittelpunkt 0 liegt. Wir betrachten das von den Vielfachen der Vektoren
erzeugte Gitter. Λ ist ein Einheitsgitter, das heißt, v 1 und v 2 spannen ein Parallelogramm der
Fläche 1 auf (|det(v 1 , v 2 )| = 1):
Definition 2.1. Ein Gitter in R 2 ist allgemein eine Menge
(mit w 1 , w 2 linear unabhängig).
Λ ′ = Z · w 1 + Z · w 2
Satz 2.2. Ist Λ ∈ R 2 ein Einheitsgitter und Q ein Quadrat in R 2 mit Kantenlänge 2 und einem
Gitterpunkt P als Mittelpunkt, dann enthält Q mindestens einen weiteren Gitterpunkt P ′ ≠ P .
Beweis. Sei Λ ⊂ R 2 ein Gitter (wir sprechen immer von Einheitsgittern). Wir legen um jeden
Gitterpunkt als Mittelpunkt ein Quadrat (beliebiger Ausrichtung) mit Kantenlänge s.

Anschauliche Geometrie 2 Approximation von Irrationalzahlen durch rationale 7
Behauptung 3. Wenn diese Quadrate sich nicht überlappen, dann ist s ≤ 1.
Sei K ein (großer) Kreis vom Radius r um einen Gitterpunkt.
f(r) sei die Anzahl der Gitterpunkte in K (oder auf dem Rand von K). Die Fläche der Quadrate
mit Kantenlänge s, die Mittelpunkte in K haben, ist dann f(r) · s 2 . Alle diese Quadrate liegen
aber im zu K konzentrischen Kreis vom Radius r + 2s. Es folgt f(r) · s 2 ≤ π(r + 2s) 2 =⇒
f(r)
πr 2
· s 2 ≤ (1 + 2s
r )2 . Die Behauptung folgt aus der Tatsache, dass
f(r)
lim
r→∞ πr 2 = 1.
Warum ist das so? Sicherlich ist |f(r) − πr 2 | ≤ F (r), wobei F (r) die Fläche aller Gitterparallelogramme
ist, die den Kreisrand schneiden. Aber F (r) ≤ C · r (C eine Konstante). Denn:
Alle Gitterparallelogramme, die zu F (r) beitragen, sind in einem Kreisring vom Durchmesser
2d enthalten (mit d als Maximalabstand zweier Punkte in einem Fundamentalparallelogramm
des Gitters). Es folgt
lim
f(r)
r→∞ ∣ r 2 − π
∣ = 0.
Also: Legt man um jeden Gitterpunkt ein Quadrat der Kantenlänge 1 + ε, dann gibt es
Überlappungen.
Legen wir jetzt um jeden Gitterpunkt ein Quadrat mit Kantenlänge 1 + ε, ε > 0; dabei sollen
alle Quadrate gleich ausgerichtet sein (jedes geht durch eine Verschiebung in jedes andere über).

Anschauliche Geometrie 2 Approximation von Irrationalzahlen durch rationale 8
M, der Mittelpunkt der Strecke AB, A, B Gitterpunkte zu Quadraten, die sich überlappen,
liegt in beiden Quadraten. Also: Legt man in einem Einheitsgitter Λ um einen Gitterpunkt als
Mittelpunkt ein Quadrat der Kantenlänge 1+ε, ε > 0, dann enthält dieses Quadrat immer einen
Punkt, der die Verbindungsstrecke zwischen zwei Gitterpunkten halbiert.
Sei jetzt Λ ein Einheitsgitter und Q ein Quadrat der Kantenlänge 2 mit einem Gitterpunkt
P ∈ Λ, so dass Q keinen weiteren Gitterpunkt außer P enthält (das wollen wir zu einem
Widerspruch führen). Dann enthält auch für kleines ε das zu Q konzentrische Quadrat Q ′ mit
Kantenlänge 2(1 + ε) keinen Gitterpunkt.
Das Quadrat, das durch Stauchen von Q ′ um den Faktor 1 2
entsteht, enthält einen Punkt, der
die Verbindungsstrecke zwischen zweier Gitterpunkte halbiert (die Verbindungsstrecke zwischen
P und einem weiteren Gitterpunkt). Sei dieser Punkt (der Halbierungspunkt) R. S liegt dann
in Q ′ . Widerspruch.
Das ist ein Spezialfall des Gitterpunktsatzes von Minkowski: Ist Λ ⊂ R 2 ein Einheitsgitter
und Q eine konvexe zentralgeometrische Menge um 0 der Fläche ≥ 4, dann enthält Q außer 0
noch einen weiteren Gitterpunkt.
Exkurs (ein Problem von Sylvester): Problem: Gegeben seien endlich viele Punkte P 1 , . . . , P N
in der Ebene R 2 , so dass gilt: Auf jeder Geraden P i P j durch zwei der Punkte (P i und P j ) liegt
noch ein dritter Punkt P k (≠ P i und P j ).
Behauptung 4. Dann liegen alle Punkte auf einer Geraden.
Beweis. Betrachte alle Paare (P i P j , P k ), P k /∈ P i P j (bestehend aus einer Geraden P i P j und
einem Punkt P k /∈ P i P j ) und wähle eines davon, so dass der Abstand von P k zu P i P j minimal
wird.
Dann enthält die Gerade durch P i und P j keinen weiteren Punkt der Menge. Angenommen,
doch: Der Punkt sei Q ∈ P i P j . Mindestens zwei der Punkte Q, P i , P j liegen auf derselben Seite
des Lotfußpunktes von P k auf die Gerade durch P i und P j . Also:
P j hat einen kleineren Abstand von P 1 P 4 als P 1 von P 3 P 4 . Widerspruch.

Anschauliche Geometrie 2 Approximation von Irrationalzahlen durch rationale 9
Frage: Welche Eigenschaften der euklidischen Ebene mit den Begriffen „Punkt“/„Gerade“ sind
für den Beweis wesentlich? Beispielsweise gilt der Satz für die Kugel oder für P(F 3 2 ) nicht.

Anschauliche Geometrie 3 Reguläre Punktsysteme und kristallographische Gruppen 10
3 Reguläre Punktsysteme und kristallographische Gruppen
Definition 3.1. Ein reguläres Punktsystem in der Ebene ist eine unendliche Punktmenge, so
dass gilt:
1. Für einen Kreis K(r) vom Radius r in der Ebene soll die Anzahl A(r) der in K(r) enthaltenen
Punkte von der Ordnung O(r 2 ) sein.
2. In jedem endlichen Gebiet sollen nur endlich viele Punkte des Systems liegen.
3. Jeder Punkt des Systems soll in jeden anderen durch eine Bewegung der Ebene überführt
werden können, die das System als Ganzes invariant lässt.
(Bewegung: Eine Abbildung der Form ( x y ) ↦→ A · ( x y ) + b, A ∈ SO 2 (R), b ∈ R 2 .)
Beispiel 1. [hier Bild]
Ein Gitter führt zu einer Symmetriegruppe G eines Punktsystems (Gruppe aller ebenen Bewegungen,
die das System invariant lassen). Solche Gruppen G sind diskontinuierliche Bewegungsgruppen,
das heißt, in jedem endlichen Gebiet von R 2 gibt es nur endlich viele unter G
äquivalente Punkte (also Punkte im selben G-Orbit).
Vorbemerkung:
• Jede ebene Bewegung ist durch die Abbildungsvorschrift zweier verschiedener Punkte eindeutig
festgelegt.
• Jede ebene Bewegung ist entweder eine Translation oder eine Drehung um ein Zentrum.
Beweis. Sei b ≠ id eine Bewegung, A ∈ R 2 ein Punkt, A ′ = b(A) und B der Mittelpunkt der
Strecke AA ′ .
[hier Bild]
Es gibt zwei Fälle:
1. B bleibt unter der Bewegung b fest. =⇒ b ist eine Drehung um B um π.
2. B bleibt nicht fest.
a) B ′ = b(B) liegt auf der Geraden AA ′ .
[hier Bild]
Dann ist B ′ eindeutig bestimmt:
Aber B ≠ B ′ , =⇒ b ist eine Translation.
b) B ′ ist nicht auf der Geraden AA ′ .
[hier Bild]
|AB| = |A ′ B| =⇒ |A ′ B ′ | = |A ′ B|.
(M ist der Schnittpunkt der Lote auf AA ′ und A ′ B ′ in B ′ .)
Dann ist b eine Drehung mit Mittelpunkt M, die A auf A ′ abbildet. Denn: Es reicht
zu zeigen, dass dann auch B auf B ′ abgebildet wird. Dies folgt aus der Kongruenz
△ABM ∼ = △A ′ B ′ M.

Anschauliche Geometrie 3.1 Einteilung der ebenen, diskreten Bewegungen in Klassen 11
3.1 Einteilung der ebenen, diskreten Bewegungen in Klassen
I. Gruppen G, in denen alle vorkommenden Translationen dieselbe Richtung haben (oder: es
gibt keine Translationen).
II. Gruppen G, die 2 Translationen mit nichtparallelen Richtungen enthalten.
Weitere Unterteilung:
1. Gruppen G, die keine Drehung enthalten.
2. Gruppen G, die Drehungen enthalten.
Lemma 3.1. Enthält G eine Drehung d um einen Punkt P um Winkel α und ist der Punkt Q
im selben G-Orbit wie P , dann enthält G auch die Drehung um Q um α.
Beweis. [hier Bild]
Es existiert eine Bewegung b in G mit b(P ) = Q. b ◦ d ◦ b −1 ist ∈ G und lässt Q fest. Daher
ist b ◦ d ◦ b −1 eine Drehung um Q um den Winkel α (da sich allgemein Drehwinkel bei der
Komposition addieren).
Lemma 3.2. Enthält G eine Drehung um einen Winkel α und eine Translation t, dann enthält
G auch die Translation t ′ , deren Richtung mit der von t den Winkel α einschließt und die vom
Betrag mit t übereinstimmt.
Beweis. Sei d ∈ G eine Drehung um α mit Drehpunkt A.
[hier Bild]
t ′ = d ◦ t ◦ d −1 führt A in C über und ist Translation (nach Addition der Drehwinkel.)
3.2 Klassifikation der ebenen, diskontinuierlichen Gruppen
Typ I.
I.1. Sei A ein beliebiger Punkt in R 2 und A 1 ein zu A unter G äquivalenter Punkt mit
minimalem Abstand zu A.
[hier Bild]
t sei die Translation, die A auf A 1 abbildet. Dann ist G = 〈t〉 (t erzeugt die Gruppe).
. . . , A −1 , A, A 1 , A 2 , . . . sind nämlich alle zu A äquivalente Punkte wegen der Minimalität
von |AA 1 |.
I.2. Dies sind alle Gruppen G, die eine Drehung enthalten, aber keine Translation in nicht
paralleler Richtung.
I.2.a. G enthält keine Translation.
Behauptung 5. Alle Drehungen in G haben denselben Drehpunkt.
Angenommen, das wäre nicht so: Seien a, b Drehungen in G mit Drehpunkten
A ≠ B.
[hier Bild]
Es folgt: bab −1 a −1 ist nach Addition der Drehwinkel die Identität oder eine Translation.
Aber bab −1 a −1 (B ′ ) = B ′′ . Es folgt B ′′ ≠ B ′ , ein Widerspruch zur Annahme,
G enthalte keine Translationen.

Anschauliche Geometrie 3.2 Klassifikation der ebenen, diskontinuierlichen Gruppen 12
Sei A also einziger Drehpunkt in G und Q ein weiterer Punkt.
[hier Bild]
Q 1 ist ein zu Q nächstliegender Punkt auf der Kreislinie (das ist möglich, da
G diskontinuierlich operiert). Auf der Kreislinie liegen nur endlich viele zu Q
äquivalente Punkte, zum Beispiel N viele Punkte. Es folgt α = 2π N =⇒ G =
〈Drehung um A mit Winkel 2π N
〉. Wir sagen: A ist N-zähliger Drehpunkt.
I.2.b. G enthält eine Drehung d und eine Translation t, und alle weiteren Translationen
sind zu t parallel. Aus Lemma 3.2 folgt, dass d den Drehwinkel π hat, und dass
alle Drehzentren 2-zählig sind.
Sei A 1 ein 2-zähliger Drehpunkt. Die Untergruppe der Translationen in G ist eine
Gruppe von Typ I.1. Der Orbit von A 1 unter dieser Gruppe ist:
[hier Bild]
Aus Lemma 3.1 folgt, dass alla A’s 2-zählige Drehpunkte sind.
Behauptung 6. Die Mittelpunkte B 1 , B 2 , . . . von A 1 A 2 , A 2 A 3 , . . . sind auch 2-
zählige Drehpunkte.
Beweis. Sei t eine Translation mit t(A 1 ) = A 2 . Sei ferner a 2 eine Drehung um
A 2 um π. Dann ist a 2 ◦ t eine Drehung B 1 um π.
Außer A n und B n gibt es keine weiteren Drehpunkte: Sei sonst A einer der Punkte
A i , sei C ein weiterer Drehpunkt. Dann ist C 2-zählig. Die Drehung um A um π
sei a, die Drehung um C um π sei c. Wir betrachten c ◦ a.
[hier Bild]
c ◦ a überführt dann A in A ′ . Also ist c ◦ a eine Translation (nach Addition der
Drehwinkel), das heißt, A ′ ist einer der Punkte A j . Es folgt: C ist gleich A oder
gleich B.
Somit ist
G = 〈Translation, die A 1 in A 2 überführt,
Drehung um π um A 1 ,
Drehung um π um B 1 〉.
Definition 3.2. Ein Gebiet G in R 2 heißt ein Fundamentalbereich für G, wenn im Inneren von
G keine 2 äquivalenten Punkte liegen und jeder Punkt zu einem aus G äquivalent ist.
[hier Bilder]

Anschauliche Geometrie 4 Klassifikation von Typ II 13
4 Klassifikation von Typ II
4.1 Gruppen vom Typ II.1
Gruppen G vom Typ II.1 enthalten zwei nichtparallele Translationen und keine Drehung.
Sei P ∈ R 2 und t ∈ G eine Translation minimaler Länge mit t(P ) = Q.
[hier Bild]
Wähle Punkt R wieder mit minimalem Abstand von P unter der Zusatzvoraussetzung, dass
R /∈ P Q (Gerade durch P ), t ′ Translation mit t ′ (P ) = R. Dann ist G = 〈t, t ′ 〉, denn andernfalls
gibt es ein zu P QRS unter G äquivalentes Gitterparallelogramm P ′ Q ′ R ′ S ′ und einen Punkt U,
der zu P äquivalent ist.
[hier Bild]
Es gilt o.B.d.A. U ∈ △P ′ Q ′ R ′ .
Nach unserer Wahl ist |P ′ R ′ | ≥ |P ′ Q ′ |, also ist R ′ der am weitesten von P ′ entfernte Punkt
in △P ′ Q ′ R ′ . Es folgt U ∈ P ′ Q ′ =⇒ U = P ′ oder Q ′ (siehe Bild 1.7.4.1).
4.2 Gruppen vom Typ II.2
Gruppen G vom Typ II.2 enthalten zwei nichtparallele Translationen und Drehungen.
Sei T ⊂ G =⇒ T = 〈t 1 , t 2 〉 (wie Fall II.1).
Sei A ein n-zähliger Drehpunkt von G (das heißt, d ∈ G ist eine Drehung um A um 2π n
− 2π n ).
Behauptung 7. Es gilt n ∈ {2, 3, 4, 6}.
oder
Beweis. Sei t ∈ G eine Translation, so dass T (A) = B minimalen Abstand hat von A.
[hier Bild] B ′ = d(B)
Lemma 3.2 besagte: G enthält auch eine Translation t ′ mit t ′ (A) = B ′ . t ′ ◦ t −1 ist eine
Translation und überführt B in B ′ . Da aber t minimal ist, folgt |BB ′ | ≥ |AB|, also BAB ′ =
2π
n ≥ π 3
=⇒ n ≤ 6.
Behauptung 8. n = 5 kommt nicht vor.
Beweis. Angenommen, A wäre 5-zähliger Drehpunkt. Sei d eine Drehung um A um den Winkel
2 · 2π 5 und d(B) =: B′′ .
[hier Bild]
Nach Lemma 3.2 enthält G die Translation t ′′ mit t ′′ (A) = B ′′ . Sei C = (t ◦ t ′′ )(A). t ◦ t ′′ ist
eine Translation, aber C liegt näher an A als B.
Sei ϕ der kleinste in G vorkommende Drehwinkel. Dann gibt es vier Fälle:
α: ϕ = π (Bild 1.7.4.2).
β: ϕ = 2π 3
γ: ϕ = π 2
(Bild 1.7.4.3).
(Bild 1.7.4.4).
δ: ϕ = π 3
(Bild 1.7.4.5).

Anschauliche Geometrie 4.2 Gruppen vom Typ II.2 14
II.2.α In diesem Fall gibt es nur zweizählige Drehpunkte.
Die Unterguppe T ⊂ G der Translationen liefert zu einem 2-zähligen Drehpunkt A äquivalente
2-zählige Drehpunkte.
[hier Bild]
Betrachtungen zu Fall I.2.β zeigen:
1. Mittelpunkte der Verbindungsstrecken zweier 2-zähliger Drehpunkte sind auch 2-
zählige Drehpunkte.
2. Alle 2-zähligen Drehpunkte in G werden so erhalten.
Die Gruppe wird erzeugt von T und all diesen Drehungen.
II.2.β In diesem Fall ist 2π 3
der kleinste vorkommende Drehwinkel in G.
Angenommen, π würde auch als Drehwinkel vorkommen. Dann würde auch π − 2π 3 = π 3
vorkommen. Es folgt: Es gibt nur 3-zählige Drehpunkte in G.
Sei A ein 3-zähliger Drehpunkt in G. Sei t mit t(A) = B eine Translation minimaler Länge
in G. Sei d eine Drehung um A um 2π 3 und d(B) =: C. G enthält auch die Translation t′ ,
die A in C überführt.
[hier Bild]
Die Untergruppe T ⊂ G der Translationen wird von t und t ′ erzeugt. T hat ABDC als
Fundamentalparallelogramm. Die Diagonale AD von ABDC teilt das Parallelogramm in
zwei gleichseitige Dreiecke. t ◦ d überführt A, B in B, D, daher ist t ◦ d = d ′ eine Drehung
mit 2π 3
als Drehwinkel um den Mittelpunkt M von ABD. Also ist M auch 3-zähliger
Drehpunkt. d ′′ = d ′ ◦ t bildet A, C nach D, A ab, somit ist d ′′ eine Drehung um 2π 3
um den
Mittelpunkt N von ADC; (d ′′ ) −1 dreht um − 2π 3 .
Behauptung 9. Es gibt keine weiteren 3-zähligen Drehpunkte in G.
Beweis. Es reicht zu zeigen: Zwei 3-zählige Drehpunkte E und F haben nie kürzeren
Abstand zueinander als AM.
Die Drehung d ′ ◦ d −1 liefert die Translation t. Zwei entgegengesetzte Drehungen um E und
F liefern eine Translation, und deren Länge verhält sich zu EF wie die Länge von t zu
AM. Daher ist |EF | nicht kürzer als |AM|.
II.2.γ Übung.
II.2.δ Übung. (Oder in Hilbert-Cohn-Vossen nachlesen.)

Anschauliche Geometrie 5 Diophantische Gleichungen und algebraische Kurven 15
5 Diophantische Gleichungen, ebene algebraische Kurven und
Gelenkmechanismen
5.1 Das Problem der pythagoräischen Tripel
Das Problem der pythagoräischen Tripel besteht darin, alle ganzen Zahlen ξ, η, ζ zu finden mit
ξ 2 + η 2 = ζ 2 (ξ · η · ζ ≠ 0).
Sei x = ξ ζ und y = η ζ
. Das Problem ist nun, alle rationalen Lösungen x, y von
zu finden.
[hier Bild]
Wir suchen eine Abbildung
und eine Abbildung
x 2 + y 2 = 1
Q −→ p
K
t ↦−→ ( ϕ(t), ψ(t) )
K
q
−→ Q
(x, y) ↦−→ g(x, y).
ϕ(t), ψ(t) sind rationale Funktionen in t mit Koeffizienten aus Q. g(x, y) ist auch rationale
Funktion in (x, y) mit Koeffizienten aus Q, so dass p und q zueinander invers sind. (K =
{(x, y) ∈ Q 2 | x 2 + y 2 = z 2 }, p und q können unter Umständen in endlich vielen Punkten nicht
definiert sein.)
[hier Bild]
Die Gerade durch (0, 1) und (t, 0) ist
Die Schnittpunkte mit K sind
Also ist die Abbildung p definiert als
y = − 1 t x + 1.
x 2 + (− 1 t x + 1)2 = 1
(
x (1 + 1 t 2 )x − 2 )
= 0.
t
p : Q → K
( )
2t
t ↦→
1 + t 2 , t2 − 1
t 2 .
+ 1
Umgekehrt: Ist (x 0 , y 0 ) ∈ K, so ist die Gerade durch (x 0 , y 0 ) und (0, 1) gegeben durch
y = y 0 − 1
x 0
x + 1,

Anschauliche Geometrie 5.2 Die Inversion am Kreis 16
und sie hat den x-Achsenabschnitt
x 0
1−y 0
. Also ist die Abbildung q definiert als
q : K → Q
(x, y) ↦→
x
1 − y .
Setzt man t = p q
, p, q ∈ N, und beseitigt den Nenner, so findet man
(
ξ = 2 · p )
· q 2 ,
q
( )
p
2
η =
q 2 − 1 · q 2 ,
( )
ζ = 1 + p2
q 2 · q 2 ,
also ξ = 2pq, η = p 2 · q 2 , ζ = p 2 + q 2 als alle möglichen pythagoräischen Tripel. (Zum Beispiel
ergibt sich mit p = 1 und q = 2: (4, 3, 5).)
Solche rationalen Parametrisierungen gibt es auch für andere Kurven, zum Beispiel y 2 =
x 2 (x + 1):
[hier Bild]
Was sind alle rationalen Lösungen (x, y) ∈ Q 2 von y 2 = x 2 (x + 1)?
[hier Bild]
Der Schnittpunkt der Geraden y = tx mit der Kurve, der von (0, 0) verschieden ist, lautet:
t 2 x 2 = x 2 (x + 1)
=⇒ x = t 2 − 1
y = t(t 2 − 1).
Das heißt, alle rationalen Lösungen von y 2 = x 2 (x + 1) (außer (0, 0)) kann man in der Form
( t 2 − 1, t(t 2 − 1) ) , t ∈ Q, erhalten.
Bemerkung 5.1. Nicht alle ebenen algebraischen Kurven
f(x, y) = 0, f Polynom in x, y,
haben eine rationale Parametrisierung (zum Beispiel y 2 = (x − 1)(x − 2)(x − 3)).
Das ist das Starrheitsphänomen der algebraischen Kategorie, denn f(x, y) = 0 lässt sich
euklidisch lokal mit C ∞ -Funktionen auflösen (Satz über implizite Funktionen).
• Wie ist der Zusammenhang von algebraischen Kurven f(x, y) = 0 in R 2 , f ∈ R[x, y], und
der diskreten Geometrie?
• Kann man algebraische Kurven geometrisch charakterisieren? (Zum Beispiel ist die Kurve
y = sin x nicht algebraisch, weil jede zur x-Achse parallele Gerade (mit Abstand ≤ 1 von
der x-Achse) die Kurve unendlich oft schneidet.)
5.2 Die Inversion am Kreis
Gegeben sei ein Kreis C in R 2 mit Radius r und Mittelpunkt O.
[hier Bild]

Anschauliche Geometrie 5.2 Die Inversion am Kreis 17
Die Inversion am Kreis ist die Abbildung, die P den Punkt P ′ auf der Geraden durch O und
P zuordnet, der auf derselben Seite von O liegt wie P und
erfüllt.
[hier Bild]
|OP | · |OP ′ | = r 2
Satz 5.2. Durch eine Inversion am Kreis C wird
(a) eine Gerade durch O in eine Gerade durch O
(b) eine Gerade, die nicht durch O geht in einen Kreis durch O
(c) ein Kreis durch O in eine Gerade, die nicht durch O geht
(d) ein Kreis, der nicht durch O geht in einen Kreis, der nicht durch O geht
abgebildet.
Beweis.
(a) ist klar.
(b) Sei L die Gerade:
[hier Bild]
Sei A der Fußpunkt des Lotes von O auf L und A ′ der zu A inverse Punkt. Sei P ein
weiterer Punkt auf L und P ′ sein Bildpunkt. Dann ist
(c) folgt aus (b).
r 2 = |OA ′ | · |OA| = |OP ′ | · |OP |
=⇒ |OA′ |
|OP ′ | = |OP |
|OA|
=⇒ △OP ′ A ′ und △OAP sind ähnlich
=⇒ OP ′ A ′ ist ein rechter Winkel
=⇒ P ′ liegt immer auf dem Kreis durch O mit Durchmesser |OA ′ |
=⇒ Behauptung.
(d) Sei K ein Kreis, der nicht durch O geht, mit Mittelpunkt M und Radius k.
[hier Bild]
Sei l eine Gerade durch O, die K in A und B schneidet. Wir untersuchen die Änderung
der Bildpunkte A ′ und B ′ , wenn l sich um O dreht.
Seien nun
a = |OA|, b = |OB|,
a ′ = |OA ′ |, b ′ = |OB ′ |,
m = |OM|.
t sei die Länge des Tangentenabschnittes von O an den Kreis K. Es ergibt sich
a · a ′ = b · b ′ = r 2
und a · b = t 2 (Tangensatz)
(Def. der Inversionsabb.)
=⇒ a′
b = b′
a = a2
t 2 =: c2 const. (unabh. von A, B.)

Anschauliche Geometrie 5.2 Die Inversion am Kreis 18
Wir ziehen eine Parallele durch A ′ zu BM, die OM in Q schneidet. Sei q = |OQ| und
ϱ = |A ′ Q|. Dann ist
q
m = a′
b = ϱ (Strahlensatz),
k
das heißt
q = ma′ = mc 2 ,
b
ϱ = ka′
b = kc2 .
⎫
⎪⎬
⎪⎭
const.
Für jede Lage von A und B ist Q also immer derselbe Punkt, und |A ′ Q| ist auch immer
konstant. Also ist das Bild von K ein Kreis vom Radius ϱ um Q.
5.2.1 Der Inversor von Peaucellier
(Peaucellier: franz. Marineoffizier, 1864.)
Der Inversor von Peaucellier besteht aus starren, drehbar verbundenen Stangen:
[hier Bild]
O und R sind feste Punkte in der Ebene. Das Gerät besteht aus 7 Stangen, die beliebig drehbar
mit Gelenken verbunden sind (4 Stangen der Länge s, 2 der Länge t und die Stange, die P und
R verbindet).
Satz 5.3. Beschreibt P einen Kreisbogen mit Radius |P R|, dann beschreibt Q ein Stück einer
Geraden.
Beweis. Es ist
|OP | · |OQ| = (|OT | − |P T |)(|OT | + |P T |)
= |OT | 2 − |P T | 2
= (|OT | 2 + |ST | 2 ) − (|P T | 2 + |ST | 2 )
= t 2 − s 2
=: r 2 const.
Das heißt, P und Q sind inverse Punkte bezüglich des Kreises vom Radius r um O.
Satz 5.4 (Kempe, ca. 1870). Jede ebene algebraische Kurve kann stückweise durch einen geeigneten
Gelenkmechanismus erzeugt werden. (Kempe „How to draw a straight line“, Bleschke
„Ebene Kinematik“.)

Anschauliche Geometrie 6 Konforme Abbildungen und der Satz von Liouville 19
6 Konforme Abbildungen und der Satz von Liouville über
winkeltreue Abbildungen des Raumes
Definition 6.1. Eine C ∞ -Abbildung
f : U → R n
mit U ⊂ R n offen heißt konform, falls der (nichtorientierte) Winkel von Vektoren v 1 , v 2 in T p U
gleich ist dem von df p (v 1 ), df p (v 2 ) eingeschlossenen Winkel.
[hier Bild]
Jede C ∞ -Abbildung von R nach R ist konform.
Satz 6.2. Sei U ⊂ C ein Gebiet und f : U → C. Dann sind äquivalent:
1. f ist winkeltreu (konform) in U.
2. f ist holomorph oder antiholomorph in U und f ′ (z) ≠ 0 (bzw. f ′ (z) ≠ 0) für alle z ∈ U.
3. Sei A : C → C R-linear und injektiv. A ist winkeltreu genau dann, wenn |w||z|〈Aw, Az〉 =
|Aw||Az|〈w, z〉 für alle w, z ∈ C.
Beweis. Folgende Aussagen sind zu den obigen äquivalent:
1. A : C → C ist winkeltreu.
2. ∃ a ∈ C ∗ : ∀ z ∈ C : A(z) = az oder A(z) = az.
3. ∃ s ∈ R >0 : ∀ w, z ∈ C : 〈Aw, Az〉 = s〈w, z〉.
• (1) =⇒ (2): Sei a := A(1) ∈ C ∗ . Mit b := a −1 A(i) gilt:
0 = 〈i, 1〉 = 〈A(i), A(1)〉 = 〈ab, a〉
= |a| 2 Rb
=⇒ b = ir, r ∈ R.
Es ist 〈A(1), A(z)〉 = 〈a, a(x + iry)〉 = |a| 2 x (mit z = x + iy), das heißt, aus
wird
also
Es folgt r = ±1, A(z) = a(x ± iy).
|1||z| · 〈A(1), A(z)〉 = |A(1)||A(z)|〈1, z〉
|x + iy||a| 2 x = |a||a(x + iry)|x,
|x + iy| = |x + iry| ∀ x ∈ C : x ≠ 0.
• (2) =⇒ (3): Es ist 〈aw, az〉 = |a| 2 〈w, z〉 und 〈w, z〉 = 〈w, z〉, das heißt stets 〈A(w), A(z)〉 =
s〈w, z〉 und s = |a| 2 > 0.
• (3) =⇒ (1):
|A(z)| = √ s|z| =⇒ A ist injektiv (bijektiv) und
|w||z|〈A(w), A(z)〉 = |w||z|〈w, z〉 = |Aw||Az|〈w, z〉.

Anschauliche Geometrie 6 Konforme Abbildungen und der Satz von Liouville 20
Der vorige Satz folgt sofort, weil holomorphe bzw. antiholomorphe Funktionen solche mit
C-linearem oder mit C-antilinearem Differential sind. Zum Beispiel:
f : C ∗ → C ∗
z ↦→ z 2 .
Es ist n = Rf = x 2 − y 2 , v = If = 2xy. Geraden x = a, y = b werden auf Parabeln abgebildet
(mit Nullpunkt als Brennpunkt):
[hier Bild]
n = a, v = b in der (n, v)-Ebene gehen unter f −1 über in Hyperbeln mit Koordinatenachsen
bzw. Diagonalen als Asymptoten:
[hier Bild]
Man kann auch sagen: Unter konformen Abbildungen werden kleine Kreise auf kleine Kreise
abgebilet und nicht zu Ellipsen verzerrt.
[hier Bild]
Es gibt „ziemlich viele“ biholomorphe Abbildungen, zum Beispiel:
Satz 6.3 (Riemannscher Abbildungssatz). Ist U ⊂ C ein Gebiet, U ≠ C, und ist U homöomorph
zur Einheitskreisscheibe, dann ist U biholomorph zur Einheitskreisscheibe.
[hier Bild]
Was sind die winkeltreuen Abbildungen f : U → R n , n ≥ 3 (U ⊂ R n )?
Bemerkung 6.4. f : U → R n ist konform genau dann, wenn
∀ p ∈ U ∀ v 1 , v 2 ∈ T p U : 〈df p (v 1 ), df p (v 2 )〉 = λ(p) 2 〈v 1 , v 2 〉
(⊛)
mit λ : U → R >0 .
Beweis. • „⇐=“: |df p (v)| 2 = λ 2 |v| 2 ∀ v ∈ T p U, das heißt
(
)
cos df p (v 1 ), df p (v 2 )
= cos 〈v 1 , v 2 〉.
(#)
• „=⇒“: (#) impliziert, dass df p ein Dreieck in T p U mit Eckpunkt p in ein ähnliches Dreieck
in T f(p) R n abbildet. Es folgt |df p (v)| 2 = λ 2 |v| 2 für alle v ∈ T p U. Es gilt auch (⊛) (auf
v = v 1 + v 2 anwenden).
Beispiele 1. 1. Isometrien von R n (Translation gefolgt von orthogonaler linearer Abbildung)
sind konform mit λ ≡ 1.
2. Streckungen f : R n → R n , x ↦→ λx, λ > 0, sind konform mit Faktor λ.
3. Inversion bezüglich der (Einheits-)Sphäre um p 0 ∈ R n :
Geometrisch:
[hier Bild]
f(p) = p − p 0
|p − p 0 | 2 + p 0, p ∈ R n \ {p 0 }.

Anschauliche Geometrie 6 Konforme Abbildungen und der Satz von Liouville 21
Es ist |f(p) − p 0 ||p − p 0 | = r 2 = 1. f ist konform, denn
das heißt |df p (v)| 2 =
v ∈ T p U =⇒ df p (v) = v|p − p 0| 2 − 2〈v, p − p 0 〉(p − p 0 )
|p − p 0 | 4 ,
〈v,v〉
|p−p 0 〉 4 , also ist f konform mit Faktor λ(p) = 1
|p−p 0 | 2 .
Satz 6.5 (Liouville). Jede konforme Abbildung f : U → R n , n ≥ 3 und U ⊂ R n und zusammenhängend,
ist (Einschränkung einer) Komposition von Isometrien, Streckungen und Inversionen
(und zwar in der Weise, dass höchstens eine Isometrie, eine Streckung, eine Inversion in der
Komposition vorkommt).
Beweis. Sei a 1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , a n = (0, . . . , 0, 1) die Standardbasis des R n , (x 1 , . . . , x n ) entsprechende
Koordinaten und e 1 , . . . , e n parallele Vektorfelder auf U mit 〈e i , e j 〉 = δ ij in jedem
Punkt.
[hier Bild]
Dann ist
〈
〉
df p (e i ), df p (e k ) = λ(p) 2 δ ij , i, k = 1, . . . , n. (6.1)
Betrachte d 2 f, das heißt die symmetrische Bilinearform d 2 f : R n ×R n → R n mit d 2 f(a i , a j ) =
∂ 2 f
∂x i ∂x j
(p) (alles ist jetzt bei p). Differenzieren wir (6.1), erhalten wir (für i, j, k paarweise verschieden):
〈d 2 f(e i , e j ), df(e k )〉 + 〈df(e i ), d 2 f(e k , e j )〉 = 0,
〈d 2 f(e j , e k ), df(e i )〉 + 〈df(e j ), d 2 f(e i , e k )〉 = 0,
〈d 2 f(e k , e i ), df(e j )〉 + 〈df(e k ), d 2 f(e j , e i )〉 = 0.
Es folgt 〈d 2 f(e k , e j ), df(e i )〉 = 0 (i, j, k verschieden) und also, dass d 2 f(e k , e j ) in der von df(e j )
und df(e k ) aufgespannten Ebene liegt:
d 2 f(e k , e j ) = µdf(e k ) + νdf(e j ).
Da 〈df(e k ), df(e k )〉 = 〈df(e j ), df(e j )〉 = λ 2 , folgt
Somit ist
µ = 〈d2 f(e k , e j ), df(e k )〉
λ 2 = λdλ(e j)
λ 2
= dλ(e j)
,
λ
ν = dλ(e k)
.
λ
d 2 f(e k , e j ) = 1 λ
(
)
df(e k )dλ(e j ) + df(e j )dλ(e k ) . (6.2)
Sei im folgenden ϱ := 1 λ . Wir berechnen d2 (ϱf). Es ist d(ϱf) = ϱdf + dϱf, also wegen (6.2)
d 2 (ϱf)(e k , e j ) = d 2 ϱ(e k , e j )f + ϱd 2 f(e k , e j ) + dϱ(e k )df(e j ) + dϱ(e j )df(e k )
= d 2 ϱ(e k , e j )f + ϱd 2 f(e k , e j ) − ϱ 2 (dλ(e k )df(e j ) + dλ(e j )df(e k ))
= d 2 ϱ(e k , e j )f.
(6.3)

Anschauliche Geometrie 6.1 Zusammenfassung 22
Behauptung 10. d 2 ϱ(e k , e j ) = 0 für alle k ≠ j.
Beweis. Wir berechnen die symmetrische Trilinearform
d 3 (ϱf) : R n × R n × R n → R n
mit
d 3 (ϱf)(a i , a j , a k ) =
∂3 (ϱf)
∂x i ∂x j ∂x k
.
(6.3) =⇒ d 3 (ϱf)(e k , e j , e i ) = d 3 ϱ(e k , e j , e i )f + d 2 ϱ(e k , e j )df(e i )
} {{ }
symmetrisch in i,j,k
=⇒ d 2 ϱ(e k , e j )df(e i ) = d 2 ϱ(e k , e i )df(e j ).
Aber df(e i ) und df(e j ) sind linear unabhängig, daher folgt d 2 ϱ(e k , e j ) = 0 für alle k ≠ j.
Wir können e 1 , . . . , e n so wählen, dass sie, bei p fest, ein vorgegebenes Orthonormalsystem
bilden, und d 2 ϱ(e k , e j ) = 0 gilt dann für jedes solche.
(
0 = d 2 ej + e k
ϱ √ , e )
j − e
√ k
2 2
= 1 (
)
d 2 ϱ(e j , e j ) − d 2 ϱ(e k , e k )
2
=⇒ d 2 ϱ(e j , e j ) = d 2 ϱ(e k , e k ) ∀ k ≠ j.
6.1 Zusammenfassung
Für alle p ∈ U und für alle e 1 , . . . , e n orthonormal bei p gilt d 2 ϱ(e j , e k ) = σ(p)δ jk . Speziell:
Für i ≠ j gilt
∂ 2 ϱ
∂x i ∂x j
= σ(p)δ ij mit ϱ = 1 λ . (6.4)
∂σ
∂x i
=
und es folgt σ = const.! Damit ist
∂ 3 ϱ
∂x i ∂x j ∂x j
=
∂ 3 ϱ
∂x j ∂x i ∂x j
= 0,
∂ 2 ϱ
∂x i ∂x j
= σδ ij mit σ = const. (⋆)

Anschauliche Geometrie 7 (Tag 7) 23
7 (Tag 7)
Im letzten Kapitel hatten wir in Gleichung (⋆) gesehen, dass
∂ 2 ϱ
∂x i ∂x j
= σδ ij
mit σ = const.
Wir betrachten die Fälle σ ≠ 0 und σ = 0 getrennt.
7.1 Erster Fall: σ ≠ 0
Wir haben nun
ϱ = σ 2
mit b i , c Konstanten, denn es gilt
n∑
x 2 i + σ ∑ b i x i + c (7.1)
i=1
∂ 2 ϱ
∂x 2 i
= σ =⇒ ∂ϱ
∂x i
= σx i + σb i
mit b i als Funktion, die nicht von x i abhängt. Desweiteren ist
∂ 2 ϱ
∂x j ∂x i
= 0
mit j ≠ i, das heißt, b i hängt auch nicht von x j ab. Also ist b i konstant. Es folgt
ϱ = 1 2 σx2 i + σb i x i + ϕ i .
ϕ i hängt nicht von x i ab. Da
gilt auch
für j, k, l ≠ i. Induktiv folgt (7.1).
Ist jetzt σ ≠ 0, folgt aus (7.1)
∂ϱ
∂x j
= ∂ϕ i
∂x j
,
∂ 2 ϕ i
∂x k ∂x l
= σδ kl
1
λ(p) = ϱ(p) = a 1 |p − p 0 | 2 + k 1
mit a 1 = σ 2 und k 1 = const. und p 0 ∈ R n fest (entspricht den b’s). Wenn wir nun k 1 = 0 zeigen,
ist der Beweis für σ ≠ 0 fertig, denn: Sei g : U → R n , g(p) = p−p 0
|p−p 0 | + p 0 die Inversion an der
Einheitssphäre um p 0 . h := g ◦ f −1 ist konform mit Koeffizient a 1 |p − p 0 | 2 1 · = a
|p−p 0 | 2 1 , das
heißt, h ist eine Isometrie komponiert mit einer Streckung. Warum ist k 1 = 0? Wenden wir das
ganze vorige Argument auf f −1 an, so folgt (mit a 2 , k 2 = const.):
λ = a 2 |f(p) − q 0 | 2 + k 2
) )
=⇒
(a 1 |p − p 0 | 2 + k 1
(a 2 |f(p) − q 0 | 2 + k 2 = 1.
(7.2)
(7.2) zeigt, dass f Sphären mit Mittelpunkt p 0 abbildet auf Sphären mit Mittelpunkt q 0 .
[hier Bild]

Anschauliche Geometrie 7.2 Zweiter Fall: σ = 0 24
Weil f winkeltreu ist, bildet f Radien der ersten Sphäre auf Radien der zweiten Sphäre ab
(bzw. Geraden durch p 0 auf Geraden durch q 0 ).
Sei p : [0, s 0 ] → R n die Parametrisierung eines Streckenabschnitts auf einem Radius der
ersten Familie von Sphären, s ∈ [0, s 0 ] sei die Bogenlänge. Sei f ◦ p(s) das Bild. Die Länge der
Bildstrecke ist
∫ s0
( )∣ ∫ dp ∣∣∣ s0
∣ df ds
ds =
0 ds
0 a 1 |p(s) − p 0 | 2 + k 1
= |f(p(s 0 )) − f(p(0))| .
Angenommen, k 1 ≠ 0. Dann ist |f(p(s 0 )) − f(p(0))| transzendente Funktion von |p(s 0 ) − p 0 |.
Aber (7.2) impliziert eine algebraische Funktion. Also ist k 1 = 0.
7.2 Zweiter Fall: σ = 0
Nun ist
1
2 = ϱ = ∑ a i x i + c 1 = A 1 (x) + c 1
mit c 1 , a i = const. Das Argument für f −1 ist λ = A 2 (f(x)) + c 2 .
(A 1 (x) + c 1 ) · (A 2 (x) + c 2 ) = 1, (7.3)
das heißt, f bildet Ebenen, die parallel zu A 1 (x) = 0 sind, ab auf Ebenen, die parallel zu
A 2 (y) = 0 sind.
[hier Bild]
f bildet die Gerade durch 0, die senkrecht auf A 1 (x) = 0 steht, ab auf die Gerade, die senkrecht
auf A 2 (x) = 0 steht und durch 0 geht.
Sei wieder p : [0, s 0 ] → R n ein nach der Bogenlänge parametrisiertes Streckenstück auf der
Geraden im Urbild. Dann ist
|f(p(s 0 )) − f(p(0))| =
∫ s0
0
1
A 1 (p(s 0 )) + c 1
ds.
Angenommen, A 1 ≠ 0. Dann ist |f(p(s 0 )) − f(p(0))| eine transzendente Funktion von |p(s 0 ) − p(0)|.
Das ist ein Widerspruch zu Gleichung (7.3), die zeigt: |f(p(s 0 )) − f(p(0))| ist algebraische Funktion
von |p(s 0 ) − p(0)|. Das heißt σ = 0 =⇒ λ = c 1 = const. Also ist f die Komposition einer
Streckung und einer Isometrie.

Anschauliche Geometrie 8 Vortrag: Symplektische Geometrie und der Satz von Darboux 25
8 Vortrag: Symplektische Geometrie und der Satz von Darboux
8.1 Symplektische Vektorräume
Gehalten von Sebastian Vollmer.
Definition. Ein Vektorraum V über einem Körper K mit char(K) = 0 heißt symplektischer
Vektorraum, wenn er mit einer symplektischen Form ω versehen ist. ω ist eine alterniernde, nicht
ausgeartete Bilinearform, das heißt, es gilt ω(v, v) = 0 für alle v ∈ V und ω(v, w) = 0 =⇒ w = 0
für alle v, w ∈ V .
Beispiel. Sei V = R 2n und ω = ∑ n
i=1 p i ∧ q i , dann ist ω antisymmetrisch. Sei y = (y 1 , . . . , y 2n ) ≠
1
1
0, dann ist y i ≠ 0 für ein i. Ist i ≤ n, setze z = e i+n y i
; ist i > n, setze z = −e i−n y i
. Dann gilt
nach Definition ω(y, z) = 1.
Definition. v und w heißen schieforthogonal v∠w :⇔ ω(v, w) = 0. Sei U ⊂ V ein Untervektorraum.
Dann ist U ∠ := {v ∈ V | ω(v, u) = 0 für alle u ∈ U} der zu U schieforthogonale
Vektorraum.
Definition. Eine Basis B mit
heißt symplektische Basis.
ω B =
(
0
)
E
−E 0
Satz. Sei V ein symplektischer Vektorraum. Dann gilt dim V = 2n, und für ein beliebiges p 1 ∈ V
existieren p 2 . . . p n , q 1 , . . . , q n ∈ V, so dass B = (p 1 . . . p n , q 1 . . . q n ) eine symplektische Basis ist.
Beweis. Da ω nicht ausgeartet ist, gibt es ein q 1 , so dass ω(p 1 , q 1 ) ≠ 0 wegen der Normierung
ω(p 1 , q 1 ) = 1 angenommen werden kann. Sei U := 〈p 1 , q 1 〉. Dann gilt V = U ⊕ U ∠ , da v −
ω(v, q 1 )p 1 + ω(v, p 1 )q 1 ∈ U ∠ . U ∠ ist mit ω auch ein symplektischer Vektorraum, da ω auf U ∠
alternierend ist und aus der Ausgeartetheit von ω auf U ∠ die Ausgeartetheit auf V folgen würde.
Wiederhole den Vorgang bis dim U ∠ = 0 oder dim U ∠ = 1. Im ersten Fall sind wir fertig. Im
zweiten Fall gilt p n+1 ∠p i ∧ p n+1 ∠q i für i = 1, . . . , n, also ist ω ausgeartet, und dieser Fall kann
nicht eintreten.
Definition. Ein Endomorphismus S von V heißt symplektisch, wenn ω(Sv, Su) = ω(v, u) für
alle u, v ∈ V .
Korollar. Zwischen zwei sympletischen Vektorräume der selben Dimension gibt es einen sympletischen
Isomorphismus.
Bemerkung. Daher muss nur der Vektorraum aus Beispiel 2 betrachtet werden.
Satz. Ist S symplektisch, so gilt det S = 1.
Beweis. Es ist
ω n = ∑
p σ(1) ∧ q σ(1) ∧ · · · ∧ p σ(n) ∧ q σ(n)
σ∈S n
= ∑
2 p σ(1) ∧ · · · ∧ p σ(n) ∧ q σ(1) ∧ · · · ∧ q σ(n)
σ∈S n
(−1) n(n−1)
Da S ω erhält, erhält ω die Volumenform.
= ∑
(−1) n(n−1)
2 (sgn σ) 2 p 1 ∧ · · · ∧ p n ∧ q 1 ∧ · · · ∧ q n .
σ∈S n

Anschauliche Geometrie 8.2 Vektorfelder und Flüsse 26
Abbildung 1: Lokaler Fluss
Bemerkung. Die symplektischen Endomorphismen bilden eine Gruppe, die Sp(2n) genannt wird.
8.2 Vektorfelder und Flüsse
Definition. Ein glattes Vektorfeld ist eine glatte Abbildung X : M → TM mit π ◦ X = id M .
Eine Integralkurve am Punkt p ∈ M ist eine Abbildung γ : [−ɛ, ɛ] → M mit γ ′ (t) = X(γ(t)) und
γ(0) = p. Die Menge der glatten Vektorfelder wird mit C ∞ (M, T) bezeichnet.
Bemerkung. In lokalen Koordinaten gibt es eine Abbildung α i : M → R mit X = ∑ a i ∂ .
∂x ti
Eine Kurve γ : [−ɛ, ɛ] → M ist genau dann eine Integralkurve, wenn in lokalen Koordinaten gilt
(γ i ) ′ (t) = a i (γ(t)), 1 ≤ i ≤ n, und γ(0) = p. Dies entspricht einer ODE mit Anfangswerten.
Definition. Ein lokaler Fluss um p ist eine glatte Abbildung γ : (−ɛ, ɛ) × U → M, wobei U
eine Umgebung von p ist mit folgenden Eigenschaften: γ(0, p) = p und γ(s, γ(t, p) = γ(s + t, p)
für alle s und t, für die eine der beiden Seiten definiert ist. Siehe Abbildung 1.
Satz. Jedes Vektorfeld X induziert einen lokalen Fluss γ um jeden Punkt. Es ist p ∈ M mit
(0, q) = X(q).
∂γ
∂t
8.3 Symplektische Mannigfaltigkeiten
Definition. Eine Symplektische Mannigfaltigkeit ist eine 2n-dimensionale Mannigfaltigkeit versehen
mit einer geschlossenen, nicht ausgearteten 2-Form ω, das heißt dω = 0, und für alle a ≠ 0
gibt es ein b mit ω 2 (a, b) ≠ 0.
Definition 8.1. Es sei J : T p M → T ∗ pM die Abbildung t ↦→ ω(·, t).
Satz. Die Abbildung J ist ein Isomorphismus.
Beweis. Es gilt ker J = {t ∈ TM | J(t) = 0} = {t ∈ T p M | ω(·, s) = 0∀s ∈ T p M} = {0} wegen
der nicht Degeneriertheit. Da dim TM = dim T ∗ M = dim M, folgt die Behauptung.
Bemerkung. In den folgenden Rechnungen tritt nur die Umkehrung I := J −1 auf, für diese gilt
ω(t, I α) = α(t) für alle α ∈ T ∗ pM.

Anschauliche Geometrie 8.4 Kommutatoren und Possionvektorfelder 27
Definition. Für eine beliebige Funktion h : M :→ R wird durch Idh ∈ C ∞ (M, TM) das
sogenannte Hamilton’sche Vektorfeld H zur Hamiltonfunktion h definiert.
Satz. Die Funktion H ist Erhaltungsgröße des Hamiltonflusses mit Hamiltonfunktion h.
Beweis. Zu zeigen: H(H t (z)) ist konstant. Mit der Kettenregel gilt dH(H t (z)) = dH(IdH H t (z)) =
ω 2 (IdH, IdH) = 0, Defintion 8.1 wird angewendet.
Satz 8.2. Der Hamiltonfluss erhält die symplektsche Struktur: (g t ) ∗ ω = ω.
Bemerkung. Im R 2n bedeutet dies ω p (r, s) = ω (g t )(p)(r, s) für alle r, s.
8.4 Kommutatoren und Possionvektorfelder
Definition. Sei X ein Vektorfeld und f eine glatte Funktion auf M, dann kann X aufgefasst
werden als X : C ∞ (M) → C ∞ (M), indem man setzt:
X(f)(p) = df p (X(p)) = d dt∣ f(X t (p)) für alle p ∈ M,
t=0
das heißt, man leitet an der Stelle p in Richtung des Vektorfelds X ab.
Korollar. In lokalen Koordinaten gilt:
n∑
X(f)(p) = α j (x)(df p )( ∂ n ∂x
j=1
j ) = ∑
α j (x) ∂f
∂x
j=1
j .
Definition. Seien X, Y ∈ C ∞ [X, TM], dann ist der Kommutator (auch Poissonklammer für
Vektorfelder genannt) von [X, Y] : C ∞ → C ∞ [X, Y] = Y ◦ X − X ◦ Y.
Bemerkung. Eine Berechnung in lokalen Koordinaten ergibt
⎛
⎞
n∑ n∑
[X, Y] = ⎝ −a j ∂bk ∂ak
+ bj ⎠
∂
∂xj ∂x j ∂x k ,
also ist auch [X, Y] ein Vektorfeld.
k=1
j=1
Satz 8.3. Der Fluss X t , Y s der Vektorfelder X, Y kommutiert genau dann, wenn [X, Y] = 0.
Definition. Für eine symplektische Mannigfaltigkeit (M, ω) und f, h ∈ C ∞ (M) ist die Poissonklammer
der Funktionen definiert durch (f, h)(x) = ∂ ∣
∂t t=0
f(H t (x)).
Bemerkung. f ist also genau dann eine Erhaltungsgröße zu H t , wenn (f, h) = 0.
Satz. Für f, h ∈ C ∞ (M) gilt (f, h) = df(Idh) = ω(Idh, Idf) nach Definition 8.1.
Beweis. H t hat in t = 0 den Tangentialvektor IdH, also gilt (f, h) = df(Idh). Die zweite
Gleicheit ergibt sich, indem man Definition 8.1 einsetzt.
Satz. Die Poissonklammer erfüllt ((a, b), c) + ((b, c), a) + ((c, a), b) = 0.
Korollar. [B, C] ist das Hamiltonfeld von (b,c).

Anschauliche Geometrie 8.5 Der Satz von Darboux 28
Beweis. ((a, b), c) + ((b, c), a) + ((c, a), b) = 0, setze g = (b, c), dann gilt (a, g) = ((a, b)c) −
((a, c), b). Nun gilt (a, d) = dg(Idg) = da(G) = G(a). Setzt man dies auch für die anderen
Possionklammern ein, so ist obige Gleichung äquivalent zu G(A) = (C ◦ B)(A) − (B ◦ C)(A)
für alle A.
Bemerkung. Die Flüsse der Hamiltonfelder F, H zu den Hamiltonfunktionen f, h kommutieren
genau dann, wenn (F, H) konstant ist.
Beweis. Nach Satz 8.3 gilt: Die Flüsse kommutieren =⇒ [F, H] = 0. (f, h) ist die Hamiltonfunktion
zu [F, H], also gilt [F, H] = Id(f, h). Da I ein Isomorphismus ist, ist dies äquivalent
zu d(f, h) = 0, was wiederum gleichbedeutend ist mit (f, h) = c ∈ R.
8.5 Der Satz von Darboux
Satz. Sei ω eine symplektische Form auf R 2n und x ∈ R 2n . Dann gibt es lokale Koordinaten
p 1 , . . . , p n , q 1 , . . . , q n um x, so dass lokal ω 2 = ∑ n
i=1 dp i und dq i .
Beweis. Induktive Konstruktion: Sei p 1 : R 2n → R eine lineare Funktion (nicht konstant), dann
ist P 1 = Idp 1 ≠ 0, da I ein Isomorphismus ist. Wähle eine Hyperebene N, die x enthält, so dass
TN nicht P 1 (x) enthält.
Die Idee ist nun, eine Koordinate q 1 einzuführen, die die Zeit misst, die der Fluss von N
bis zu einem beliebigen Punkt z benötigt. In einer hinreichend kleinen Umgebung V von x
ist q 1 wohldefiniert, da P t 1 für hinreichend kleine t ein lokaler Diffeomorphismus ist. Nun gilt
d ∣
dt t
dq(P t 1 (n)) = d ∣
dt t
t = 1, also ist (q 1 , p 1 ) = 1. Für n = 1 ist die Konstruktion abgeschlossen.
Wenn n > 1, folgt 1 = (q 1 , p 1 ) = ω(dp 1 , dq 1 ), da ω eine alterniernde Bilinearform ist. Weil
dp 1 , dq 1 linear unabhängig sind, folgt mit dem Satz vom Rang, dass U = {m ∈ M | p 1 (m) =
q 1 (m) = 0}. Dies ist der Schnitt zweier Hyperebenen, die nicht identisch sind. U hat die Dimension
2n − 2 und ist diffeomorph zu R 2n−2 .
Um die Konstruktion für kleinere n anwenden zu können, wird gezeigt, dass U durch ω ∣ U
zu einer symplektischen Mannigfaltigkeit wird. Es reicht zu zeigen, dass ω ∣ U
nicht ausgeartet
ist. Wegen des Satzes vom regulären Wert gilt dp 1 (t) = ω(t, P 1 ) = 0 für alle t ∈ T x U und
ebenso dq 1 (t) = ω(t, Q 1 ) = 0 für alle t ∈ T x U. Damit ist T x U = 〈P 1 (x), Q 1 (x)〉 ∠ . Ist nun ω ∣ U
ausgeartet auf U, dann ist ω auch auf R 2n ausgeartet.
Auf U existieren nach Induktion schon Koordinaten q i , p i , 2 ≤ i ≤ n. Wegen oben kann z ∈ V
eindeutig durch z = P t 1 Qs 1 w dargestellt werden für ein eindeutiges w ∈ U. So wird p i(z) = p i (w),
i > 1, und q i (z) = q i (w), i > 1 . Also bilden q i , p i , 1 ≤ i ≤ n, ein lokales Koordinatensystem in
V .
Nun muss nur noch die Darstellung von ω gezeigt werden. Wir bezeichnen mit P t i , Qt i die
lokalen Flüsse zu den Hamiltonvektorfeldern P i und Q i zu den Hamiltonfunktionen p i , q i . Wegen
(q 1 , p 1 ) = 1 kommutieren P t 1 und Qs 1 . Nach Definition von q i und p i , 2 ≤ i ≤ n, sind diese
Koordinaten invariant unter P t 1 und Qs 1 , also gilt (p i, p 1 ) = d ∣
dt t=0
p i (P1 t) = d ∣
dt t=0
c = 0. Genauso
folgt (p 1 , p i ) = (p 1 , q i ) = (q 1 , p i ) = (q 1 , q i ) = 0.
Sei 1 < i, j ≤ n. Nach Theorem 8.4 kommutiert die Abbildung P t 1 Qs 1 mit allen Pu i , Qu j . Also
lässt P t 1 Qs 1 die Vektorfelder P i, Q i fest. Da der Hamilton’sche Fluss ω festlässt, gilt, dass ω
angewandt auf ein Paar der 2n − 2 Vektorfelder den gleichen Wert an w und z hat und dieser
gleich der Poissonklammer der zugehörigen Funktionen ist. Nun gilt jedoch: Die Funktionen p 1
und q 1 sind Erhaltungsgrößen von P i , Q i , da p 1 (P t i ) = const., daher ist P i, Q i tangential zu U.
Nun kann man die Induktionsvoraussetzung auf U anwenden: P i und Q i sind Hamilton’sche

Anschauliche Geometrie 8.5 Der Satz von Darboux 29
Abbildung 2: Konstruktion der Koordinaten
Vektorfelder auf U. Nach Induktionsvoraussetzung sind dort die Werte der Poissonklammern
der Funktionen bekannt. Dort gilt
(p i , p j ) = (p i , q j ) = (q i , q j ) = 0 ∧ (q i , p i ) = 1.
p k und q k bilden ein Koordinatensystem, also dp k , dq k eine Basis des Kotangentialraums in jedem
Punkt, folglich bilden P k , Q k , 1 ≤ k ≤ n, in jedem Punkt eine Basis des Tangentialraums,
da I ein Isomorphismus ist. Die Werte von ω auf P k , Q k sind gleich den Possionklammern
der Koordinatenfunktionen. ω ist festgelegt durch Werte auf Paaren von Basisvektoren. Ist
ω = ∑ n
k=1 dp k ∧ dq k , so ist I bekannt und es gilt (p i , p j ) = ω(Idp j , Idp i ) = ω( ∂ ∂
∂q j
,
∂q i
) = 0
und (q i , p i ) = ω(Idp i , Idq i ) = ω( ∂
∂q i
, − ∂
∂p i
) = 1. Die Formeln für die anderen Poissonklammern
folgen analog. Damit folgt die Behauptung.
Beweis von Satz 8.2. Wir defineren für ein k-Simplex γ : I k → M ein (k + 1)-Simplex Jγ :
I × I k → M, (t, x) ↦→ g t (σ(x)). Dieses sei orientiert, sodass
∂(Jσ) = g τ σ − σ ± J∂σ.
Sei γ ein 1-Simplex, also ein Weg. Wir werden später zwei Pullbacks zur Auswertung von Integralen
berechnen. Es gilt
( ∂
(Jγ) ∗ ω
∂s ∂t)
, ∂ (
) (
∂
= ω (Jγ) ∗
∂s , (Jγ) ∂ ∂Jγ
∗ = ω
∂t ∂s , ∂Jγ )
( ) ∂Jγ
= IdH
∂t
g t γ(s) ,
∂s
( )
also (Jγ) ∗ ω( ∂ ∂s , ∂ ∂t ) = IdH ∂Jγ
∂s
ds ∧ dt, sowie
Nun gilt
( ( )
d
(g t γ) ∗ dH = dH (g
ds)
t d
γ) ∗ = dH
ds
∫
Jγ
∫
ω = (Jγ) ∗ ω =
∫ 1 ∫ τ
0
0
IdH
Falls σ ein geschlossener Weg ist, gilt also ∫ Jγ ω = ∫ τ
0
2-Simplex das Integral auf beiden Seiten gleich ist:
0 Stokes =
∫
Jσ
∫
dω =
∂Jσ
(∫
ω =
g t σ
∫
−
σ
∫
±
J∂σ
(
∂g t )
γ
= dH
∂s
( ) ∂Jγ
.
∂s
( ) ∫ ∂Jγ
τ ∫
dtds = dHdt.
∂s
0 g t γ
)
ω =
0 = 0. Ich zeige nun, dass für jeden
∫
g t σ
∫ ∫ ∫
ω − ω = (g t ) ∗ ω − ω.
σ σ
σ

Anschauliche Geometrie 8.5 Der Satz von Darboux 30
Quellen
1. Arnold, V. I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, New York,
1978.
2. Witt, I., Skript zu Differential- und Integralrechnung III, Göttingen, 2009.
3. Berndt, R, Einführung in die Symplektische Geometrie, Vieweg, Wiesbaden, 1998.

Anschauliche Geometrie 9 Die Geburt des Riemannschen Krümmungstensors 31
9 Die Geburt des Riemannschen Krümmungstensors
Was ist eine Familie von Skalarprodukten 〈·, ·〉 p
auf einer offenen Menge U ⊂ R n ?
[hier Bild]
Sei p ∈ U. Der Tangentialraum in p an U ist T p U = R n × {p} = R n p .
[hier Bild]
Sei f : U → R eine glatte Funktion (C ∞ -Funktion), dann liefert f eine Familie von Linearformen
n∑ ∂f
df p : T p U → R, (a 1 , . . . , a n ) ↦→ (p) · a i .
∂x i
Sei jetzt x i : U → R, (a 1 , . . . , a n ) ↦→ a i .
Definition 9.1. Eine glatte Familie von Skalarprodukten auf U ⊂ R n ist das Datum eines
Skalarprodukts 〈·, ·〉 p auf T p U für alle p ∈ U, so dass
〈v 1 , v 2 〉 p
=
n∑
i,j=1
mit C ∞ -Funktionen g ij : U → R mit g ij = g ji .
i=0
g ij (p)dx i (v 1 )dx j (v 2 )
[hier ist ein Bruch, muss zusammengeführt werden]
Sei 0 ∈ U ⊂ R n offen, y 1 , . . . , y n Standardkoordinaten auf R n und
〈·, ·〉 =
n∑
i,j=1
eine C ∞ -Familie von Skalarprodukten (Riemannsche Metrik auf U).
Definition 9.2. Lokale Koordinaten um 0 in U sind C ∞ -Funktionen
g ij dy i ⊗ dy j . (9.1)
x 1 , . . . , x n : Ω −→ R n
mit 0 ∈ Ω ⊂ U, die einen Diffeomorphismus auf das Bild liefern.
Frage: Existieren lokale Koordinaten x 1 , . . . , x n , so dass
n∑
〈·, ·〉 = dx i ⊗ dx i ? (9.2)
i=1
Wir wollen Bedingungen an g finden, so dass (9.2) für ein gewisses Koordinatensystem x gilt.
Zunächst setzen wir
n∑
dx i ∂x i
=
∂y j dyj
j=1
in (9.2) ein und machen einen Koeffizientenvergleich von dy i ⊗ dy j mit (9.1). Es folgt, dass
x 1 , . . . , x n die gewünschte Eigenschaft genau dann hat, wenn
∑
α
∂x α
∂y i ∂x α
∂y j = g ij. (9.3)

Anschauliche Geometrie 9 Die Geburt des Riemannschen Krümmungstensors 32
Aus (9.3) folgt nun:
das heißt
∑
β
∑
j,β
g ij
∂y j
∂x β ∂y k
∂x β = ∑
j,β,α
= ∑ α,β
= ∑ α
= δ k i ,
∂x α ∂x α ∂y j ∂y k
∂y i ∂y j ∂x β ∂x β
∂x α ∂y k
∂y i δα β
∂x β
∂x α
∂y i ∂y k
∂x α
∂y i ∂y j
∂x β ∂x β = gij (Komponenten der zu (g ij ) inversen Matrix). (9.4)
Aus (9.4) folgt (9.3) und weiterhin:
∑
i,j
ij ∂xµ ∂x ν
g
∂y i ∂y j = ∑ ∂y i ∂y j ∂x µ ∂x ν
∂x β ∂x β ∂y i ∂y j
β,i,j
= ∑ β
δ µ β δν β,
das heißt, x 1 , . . . , x n haben die gewünschte Eigenschaft genau dann, wenn
In Matrizen: Sei A = (a ij ) =
( ∂x i
∂y j )
∑
i,j
ij ∂xµ ∂x ν
g
∂y i ∂y j = δ µν. (9.5)
und G = (g ij ), dann gilt:
(9.3) ⇐⇒ A T A = G
⇐⇒ G −1 = A −1 · (A T ) −1
⇐⇒ AG −1 A T = I
⇐⇒ (9.5).
(9.3) ist eine partielle Differentialgleichung für x 1 , . . . , x n . Wir suchen Bedingungen an g ij , so
dass Lösungen existieren. Wir differenzieren (9.3) nach y k :
Genauso:
∑
α
∂g ik
∂y j
∂g jk
∂y i
∂ 2 x α ∂x α
∂y i ∂y k ∂y j + ∑ α
=
∑
α
= ∑ α
∂ 2 x α ∂x α
∂y j ∂y k ∂y i
∂ 2 x α ∂x α
∂y i ∂y j ∂y k + ∑ α
∂ 2 x α ∂x α
∂y j ∂y i ∂y k + ∑ α
= ∂g ij
∂y k
.
∂ 2 x α ∂x α
∂y k ∂y j ∂y i ,
∂ 2 x α ∂x α
∂y k ∂y i ∂y j .
Es folgt (die ersten beiden Gleichungen addieren, letzte dann subtrahieren):
∑ ∂ 2 x α ∂x α
∂y j ∂y k ∂y i = 1 ( ∂gij
2 ∂y k + ∂g ik
∂y j − ∂g )
jk
∂y i
α
=: [jk, i].

Anschauliche Geometrie 9 Die Geburt des Riemannschen Krümmungstensors 33
Dabei handelt es sich um die Christoffelsymbole Erster Art. Aus (7.1) folgt:
das heißt für α = λ:
wobei
∑
i,j
ij ∂xλ
g
∂y γ [jk, i] = ∑ α,i,γ
= ∑ α
(9.5)
= ∑ α
∂ 2 x α ∂x α ∂x λ
∂y j ∂y k ∂y i ∂y γ giγ
⎛
∂ 2 x α
⎝ ∑
∂y j ∂y k i,γ
∂ 2 x α
∂y j ∂y k δ αλ,
∂ 2 x λ
∂y j ∂y k = ∑ ( ) ∑ ∂x
g iγ λ
[jk, i]
∂y
γ=1 i=1
γ
Γ γ jk := 1 2
∑
i=1
def
= ∑ Γ γ jk
γ=1
∂x λ
∂y γ ,
⎞
∂x α ∂x λ
∂y i ∂y γ giγ ⎠
( ∂gij
∂y k + ∂g ik
∂y j − ∂g )
jk
∂y i · g iγ .
Dabei handelt es sich um die Christoffelsymbole Zweiter Art. Wir können auch schreiben:
∂
( ) ∂x λ
∂y j
∂y k = ∑ Γ γ jk
γ=1
∂x λ
∂y γ .
Der Index λ spielt keine Rolle: Alle Funktionen x λ erfüllen dieselbe Gleichung. Für jedes λ erfüllt
( )
∂x
λ
α :=
∂y 1 , . . . , ∂xλ
∂y n : U −→ R n
das System partieller Differentialgleichungen
∂α
∂y k (y) = f k (y, α(y)) ,
()
wobei f k : R n × R n → R n gegeben ist durch
f j k (y, z) = ∑ γ=1
Γ γ jk (y)zk .
(Koordinaten y 1 , . . . , y n in R n im ersten Faktor, z 1 , . . . , z n im zweiten.) () ist linear: Linearkombinationen
von Lösungen mit konstanten Koeffizienten sind wieder Lösungen. Gibt es ein lokales
Koordinatensystem x 1 , . . . , x n der geforderten Art, so hat () n Lösungen, deren Anfangswerte
in 0 linear unabhängig sind. Es folgt: Dann hat () Lösungen mit beliebigen Anfangswerten bei
0.
Notwendig für die Lösbarkeit von () ist
( )
∂ ∂α
∂y l ∂y k (y) = ∂
∂y l f k (y, α(y)) ,
( )
∂ ∂α
∂y k ∂y l (y) = ∂
∂y k f l (y, α(y)) ,

Anschauliche Geometrie 9 Die Geburt des Riemannschen Krümmungstensors 34
(wobei
( ) ( )
∂ ∂α
(y) = ∂ ∂α
(y) ) und
∂y l ∂y k ∂y k ∂y l
Weiterhin ist notwendig
∂
∂y l f k (y, α(y)) = ∂f k
n
∂y l + ∑ ∂f k ∂α µ
∂z
µ=1
µ ∂y
} {{ l ,
}
=f µ l
∂
∂y k f l (y, α(y)) = ∂f l
n
∂y k + ∑ ∂f l
∂z µ f µ k .
∂f k
∂y l − ∂f l
∂y k + n ∑
Sehen wir uns die j-te Komponente an:
µ=1
µ=1
∂f k
∂z µ f µ n l − ∑
µ=1
∂f l
∂z µ f µ k = 0.
n∑ ∂Γ γ n∑
jk
∂Γ γ n∑ n∑
n∑ n∑
∂y
γ=1
l zγ jl
−
∂y
γ=1
k zγ + Γ µ jk
Γ γ µl zγ − Γ µ jl
Γ γ µk zγ = 0.
µ=1 γ=1
µ=1 γ=1
Die Gleichung gilt für alle z = (z 1 , . . . , z n ) ∈ R n , das heißt, wir haben als notwendige Bedingung
für die Existenz lokaler Koordinaten x 1 , . . . , x n mit ∑ i,j g ijdy i ⊗ dy j = ∑ i dxi ⊗ dx i :
∂Γ γ kj
∂y l
− ∂Γγ lj
∂y k
} {{ }
def
= R γ jlk
+
n∑
µ=1
(
)
Γ µ kj Γγ lµ − Γµ lj Γγ kµ
≡ 0.
Die R γ jlk sind also n4 -Funktionen, die jedem lokalen Koordinatensystem y 1 , . . . , y n zugeordnet
sind. Ist y ′ = (y ′1 , . . . , y ′n ) ein anderes lokales Koordinatensystem und definiert man R ′γ
jlk durch
dieselbe Formel, so gilt
R βγδ ′α = ∑
Rjkl
i ∂y j ∂y k ∂y l ∂y ′α
∂y ′β ∂y ′γ ∂y ′δ ∂y i .
i,j,k,l
Man sagt daher, die R i jkl bildeten die Komponentenfunktionen eines Tensors vom Typ ( 3 1 ):
∑
i,j,k,l
R i jkl dy j ⊗ dy k ⊗ dy l ⊗ ∂
∂y i
(im lokalen Koordinatensystem y) heißt der Riemannsche Krümmungstensor. (Das ist eine C ∞ -
Familie von Tensoren in T p U ∗ ⊗ T p U ∗ ⊗ T p U ∗ ⊗ T p U.)
Übung. Man zeige: Kein Gebiet auf der n-Sphäre S n = {‖x‖ = 1 | x ∈ R n+1 } ist isometrisch
zu einem Gebiet in R n . (Zum Beispiel S 2 : Man berechne einfach Rjkl i in lokalen Koordinaten.)
[hier Bild]

Anschauliche Geometrie 10 Vortrag: Steiners Lösung des isoperimetrischen Problems 35
10 Vortrag: Steiners Lösung des isoperimetrischen Problems
Gehalten von Philip Brinkmann.
Das isoperimetrische Problem besteht in der Frage, welche geschlossene Kurve vorgegebener
Länge den größten Flächeninhalt umschließt. Schon die Griechen wussten die Antwort: der
Kreis. Beweise folgten erst im 19. Jahrhundert: Jakob Steiner (ca. 1838) rein geometrisch, F.
Edler (ca. 1882), Weierstraß und Schwarz (ca. 1884) für den Raum. Es folgt der geometrische
Beweis Steiners.
Beweis. Zunächst ist zu zeigen: Nur konvexe Kurven können das Problem lösen.
[hier Bild]
Falls C nicht konvex ist, gibt es eine Tangente an zwei Randpunkte, und der Kurvenabschnitt
C gespiegelt wird zu C 1 ′ , so dass die neue konvexe Kurve den gleichen Umfang, aber eine größere
Fläche hat.
[hier Bild]
Nun ist zu zeigen: C ist symmetrisch zu AB. Sei C eine konvexe Kurve und A, B ∈ C, wobei
A und B C in zwei gleichlange Kurven teilen. O.B.d.A. sei R 1 ≥ R 2 . Wenn R 1 > R 2 , so kann
man R 1 an AB spiegeln und C ′ hat bei gleichem Umfang eine größere Fläche als C. Daher kann
man davon ausgehen, dass die Kurve C symmetrisch zu AB ist.
Nun ist zu zeigen: C ist Kreis.
[hier Bild]
Sei C eine Lösung, aber kein Kreis. Dann sind C 1 und C 2 keine Halbkreise, und man findet
ein P ∈ C 1 , so dass AP B kein rechter Winkel ist. Somit gibt es auch ein Q = P gespiegelt an
AB, und AQB ist kein rechter Winkel. Für das Viereck AP BQ gilt
AP = AQ sowie BP = BQ,
und die Fläche, die C umschließt, ist die Fläche des Vierecks und der Flächen T 1 , T 2 , T 3 und
T 4 . „Zieht“ man nun P und Q so auseinander, dass AP B und AQB rechte Winkel werden,
und lässt man alle Seiten sowie die Bögen gleich, so erhält man eine Kurve, die einen größeren
Flächeninhalt umschließt als C. Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass C eine Lösung
ist. Daher muss C ein Kreis sein, denn nach dem Satz von Thales gilt: AP B ist ein rechter
Winkel für alle P ∈ C 1 .
Problem: Es ist nicht gezeigt, dass es überhaupt eine Lösung des isoperimetrischen Problems
gibt. Wir benötigen noch einen Existenzbeweis.
Existenzbeweis. Sei (X, d) ein beschränkter, metrischer Raum.
Definition. • Mit C(X) bezeichnen wir die Menge aller nicht-leeren geschlossenen Teilmengen
von X.
• Der Abstand d(x, C) sei definiert als min d(x, y) für x ∈ X, C ∈ C(X).
• Eine ε-Umgebung von C in C(X) sei definiert als U ε (C) = {x | d(x, C) < ε}.
• Seien C 1 , C 2 ⊂ C(X). Dann sei der Abstand von C 1 zu C 2 definiert als
ϱ(C 1 , C 2 ) = {ε > 0 | C 1 ⊂ U ε (C 2 ) ∧ C 2 ⊂ U ε (C 1 )}.

Anschauliche Geometrie 10 Vortrag: Steiners Lösung des isoperimetrischen Problems 36
Bemerkung. ϱ ist eine Metrik auf C(X) (die sogenannte Hausdorff-Metrik):
• ϱ(C 1 , C 2 ) = 0 ⇐⇒ C 1 ⊂ U ε (C 2 ) ∧ C 2 ⊂ U ε (C 1 ) für alle ε > 0 ⇐⇒ C 1 = C 2 .
• ϱ(C 1 , C 2 ) = ϱ(C 2 , C 1 ).
•
ϱ(C 1 , C 2 ) + ϱ(C 2 , C 3 ) = inf{ε > 0 | C 1 ⊂ U ε (C 2 ) ∧ C 2 ⊂ U ε (C 1 )}
+ inf{ε > 0 | C 2 ⊂ U ε (C 3 ) ∧ C 3 ⊂ U ε (C 2 )}
≥ inf{ε > 0 | C 1 ⊂ U ε (C 3 ) ∧ C 3 ⊂ U ε (C 1 )}
= ϱ(C 1 , C 3 ).
Wenn X kompakt ist, folgt, dass die zugehörige Topologie auf C(X) nur von der Topologie
auf X abhängt, nicht von der Metrik d, da jede Umgebung von C ⊂ C(X) eine ε-Umgebung
enthält.
Satz. Wenn (X, d) kompakt ist, ist auch (C(X), ϱ) kompakt.
Beweis. Zunächst ist zu zeigen: C(X) hat endlichen Durchmesser. Sei ε > 0 gegeben. Wähle
endlich viele Mengen A 1 , . . . , A n mit Durchmesser < ε, die X überdecken. Für jede endliche
Menge F ⊂ {1, . . . , n} sei a F := {C ∈ C(X) | C ∩ A j ≠ ∅ ⇐⇒ j ∈ F }, das heißt, die Menge
aller C ⊂ C(X), die genau in allen A j Punkte haben. Die a F überdecken C(X) und haben einen
Durchmesser ≤ 2ε. Es sind nur endliche viele, also hat (C(X), ϱ) endlichen Durchmesser (ist
total beschränkt).
Nun ist zu zeigen: Alle Cauchy-Folgen konvergieren. Seien C 1 , C 2 , . . . eine Cauchy-Folge in
(C(X), ϱ), und sei C die Menge aller x ∈ X, so dass jede Umgebung von x Punkte unendlich
vieler C n enthält. C ist nicht-leer, da für x n ∈ C n x Häufungspunkt der Folge {x n } ist. Es folgt
x ∈ C, da C n ⊂ U ε (C m ) ∧ C m ⊂ U ε (C n ) für alle n, m > N(ε).
Auch gilt: C ist abgeschlossen.
Behauptung. C = lim n→∞ C n .
Beweis. Sei ε > 0. Es ist zu zeigen: Die C n sind für große n in U ε (C). Angenommen, es existierten
unendlich viele {(C n ) i }. Teilfolge von C n in der kompakten Menge X \ U ε (C). Dann gibt es
{(x n ) ε } ∈ {(C n ) ε } ∩ [x \ U ε (C)], und somit ist x ∈ X \ U ε (C) Häufungspunkt dieser {(x n ) i }. Es
folgt x ∈ C =⇒ Widerspruch zu x ∈ X \ U ε (C).
Damit folgt nun der Satz ((C(X), ϱ) ist kompakt).
Wir wenden nun dieses Ergebnis auf R 2 und die geschlossene Teilmenge X ∈ R 2 an.
Definition. • Con X ⊂ C(X) sei die Menge aller nicht-leeren, konvexen Teilmengen von X;
sie sind auch kompakt.
• Die stetige Abbildung A : C(X) → R sei gegeben mit A(C) := Fläche von C.
• Die Abbildung L : Con X → R sei gegeben mit L(C) := Umfang von C.
Satz. L ist stetig.
Zum Beweis verwenden wir folgendes Lemma:
[hier Bild]

Anschauliche Geometrie 10 Vortrag: Steiners Lösung des isoperimetrischen Problems 37
Lemma. Seien Y 1 , Y 2 konvexe Kurven, und Y 2 umschließe Y 1 . Dann gilt: Länge Y 2 ≥ Länge Y 1 .
Beweis. Ein Y 1 einbeschriebenes Vieleck hat immer einen kleineren Umfang als das entsprechende
in Y 2 einbeschriebene Vieleck.
Beweis des Satzes. Sei ϱ(C 1 , C 2 ) < ε, dann ist C 1 ⊂ (1 + ε) · C 2 und C 2 ⊂ (1 + ε) · C 1 . Die
Behauptung folgt aus dem Lemma.
Hieraus folgt, dass es eine konvexe Kurve als Lösung gibt: Sei nun X eine Scheibe im R 2
mit Radius L 0 . Dann ist L −1 (L 0 ) ⊂ Con X eine geschlossene Teilmenge vom kompakten Raum
Con X, daher nimmt die stetige Funktion A ihr Maximum an.
Da wir um Steiners Lösung wissen, folgt als Lösung: Der Kreis hat bei vorgegebener Länge
unter allen geschlossenen Kurven der Ebene den größten Flächeninhalt.
Quelle: Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Band 4,
Kapitel 9.

Anschauliche Geometrie 11 Divisionsalgebren und Topologie I 38
11 Divisionsalgebren und Topologie I
Definition 11.1. Ein K-Vektorraum A heißt K-Algebra, wenn eine K-bilineare Abbildung
β : A × A → A gegeben ist („Produkt“). Statt β(a, b) schreiben wir auch a · b. A heißt Divisionsalgebra,
wenn die Gleichungen ax = b und yc = d für alle a, b, c, d ∈ A mit a ≠ 0, c ≠ 0 immer
eindeutig für x, y lösbar sind.
Im Folgenden geht es stets um endlichdimensionale Divisionsalgebren /R.
Sei A eine endlichdimensionale R-Algebra mit einem involutorischen Antiautomorphismus
a ↦→ a, das heißt einer Abbildung ( · ) : A → A mit a = a für alle a ∈ A und (ab) = b · a. Wir
wollen die Verdopplung von A folgendermaßen definieren:
• Als Vektorraum haben wir A 2 = A ⊕ A,
• als Multiplikation (a, b) · (u, v) := (au − vb, bu + va) (R-bilinear).
Ist zum Beispiel A = R, dann ist A 2 ∼ = C.
Wir haben hierbei die Inklusion A → A 2 , a ↦→ (a, 0). Wenn A ein Einselement 1 hat, so ist
(1, 0) Einselement von A 2 .
Setze e := (0, 1) ∈ A 2 . Dann ist b · e = (0, b), das heißt, (a, b) = a + be mit a, b ∈ A.
Es gelten folgende Rechenregeln:
• a(be) = (ab)e,
• insbesondere e 2 = −1,
• (ae)b = (ab)e,
• (ae)(be) = −ba.
Die Hamilton’schen Quaternionen sind definiert als C 2 = H (Verdopplung). Elemente von C 2
haben die Form
ξ = a + be
mit a, b ∈ C. Es ist a = a 0 + a 1 i, b = a 2 + a 3 i, und wir setzen j := e, k := ie, dann ist
und die Multiplikation ist gegeben durch
ξ = a 0 + a 1 i + a 2 j + a 3 k,
i 2 = j 2 = k 2 = −1,
wobei
ki = j = −ik, ij = k = −ji, jk = i = −kj.
Will man die Konstruktion der Verdopplung iterieren, braucht man in A 2 eine Konjugation. Sie
wird definiert durch
a + be := a − be.
Bemerkung 11.2. Beim Verdoppeln werden die algebraischen Eigenschaften immer schlechter.
Zum Beispiel ist A im Allgemeinen nicht kommutativ, und A 2 ist im Allgemeinen nicht assoziativ,
wenn A nicht kommutativ war.

Anschauliche Geometrie 11.1 Die Cayley-Algebra der Oktaven 39
Definition 11.3. Eine Algebra A über R mit Einselement heißt metrisch, wenn es in A eine
Konjugation a ↦→ a gibt, so dass für alle a ∈ A gilt aa ∈ R · 1 und aa > 0 für a ≠ 0. Dann heißt
|a| = √ aa die Norm von a. Es ist |a| = 0 ⇐⇒ a = 0.
In einer metrischen Algebra definiert dann
〈x, y〉 :=
xy + yx
2
ein Skalarprodukt. Das heißt, jede metrische Algebra ist auch ein euklidischer Vektorraum bezüglich
〈·, ·〉.
Ist A ′ = (R1) ⊥ in einer metrischen Algebra A, dann kann man jedes a ∈ A eindeutig schreiben
als a = λ+a ′ mit λ ∈ R1, a ′ ∈ A ′ . Wir haben dann a = λ−a ′ , und das heißt a ∈ A ′ ⇐⇒ a = −a
und a ∈ R1 ⇐⇒ a = a.
Ist A eine metrische Algebra, so auch A 2 : denn (a + be)(a + be) = (a + be)(a − be) = aa + bb.
Es folgt: Alle Algebren R, C = R 2 , H = C 2 und O := H 2 sind metrisch (mit O = Cayley’sche
Oktaven).
Eine Algebra A heißt normiert, wenn A eine Norm ‖·‖ hat, die mit dem Produkt verträglich
ist:
‖ab‖ = ‖a‖ ‖b‖
=R1
für alle a, b ∈ A. In einer normierten Algebra sind für a ≠ 0 die Abbildungen x ↦→ ax
‖a‖ und
x ↦→ xa
‖a‖
Isometrien. Wenn A endlichdimensional ist, sind sie bijektiv.
Normierte Algebren sind die metrischen Algebren R, C, H und O.
Ist A metrisch und ϕ : A → A ein mit der Konjugation kommutierender Automorphismus,
dann ist ϕ orthogonal (ϕ(a) = ϕ(a)). Ist ϕ orthogonal und gibt es ein Einselement in A, dann
ist ϕ( }{{} A ′ ) ⊂ A ′ , und ϕ kommutiert mit der Konjugation. Ist A normiert, dann ist jeder Automorphismus
ϕ orthogonal:
Beweis. Es reicht zu zeigen ‖a‖ = 1 =⇒ ‖ϕ(a)‖ = 1. Wäre ‖ϕ(a)‖ < 1, dann
∥
∥ϕ(a k ) ∥ =
‖ϕ(a)‖ k −−−→ 0, das heißt ϕ(ak ) −−−→ 0, also ak −−−→ 0. Das ist ein Widerspruch zu ‖a‖ = 1.
k→∞
k→∞
Genauso ist es nicht möglich, dass ‖ϕ(a)‖ > 1.
Bemerkung 11.4. Aut R R = (1), Aut R C = Z/2Z, Aut R H = SO(3, R), Aut R O = G 2 (eine eher
außergewöhnliche Liegruppe).
11.1 Die Cayley-Algebra der Oktaven
O := H 2 heißt die Cayley-Algebra der Oktaven. Jede Oktave ξ ist also von der Form ξ = a + be
mit a, b ∈ H. Eine Basis von O über R (als Vektorraum) besteht damit aus
k→∞
1, i, j, k, e, f = ie, g = je, h = ke.
Bei den Quaternionen H wird die Multiplikation beschrieben durch i
Multiplikation der Oktaven wird beschrieben durch
und folgendes Bild:
[hier Bild]
i 2 = j 2 = k 2 = e 2 = f 2 = g 2 = h 2 = −1
·k
−→ j
·i
−→ k −→ ·j
i. Die

Anschauliche Geometrie 11.1 Die Cayley-Algebra der Oktaven 40
Das Produkt zweier Elemente der i, . . . , h ∈ O ist (bis auf Vorzeichen) das Element auf derselben
Strecke (oder dem Kreis) wie die beiden Faktoren, mit denen man startet. Die Orientierung
entscheidet über das Vorzeichen. (Zum Beispiel ist eh = k und fj = −h.) O ist nicht kommutativ:
eh = k = −he. O ist auch nicht assoziativ: (fj)e = −he = k, f(je) = fg = −k. Aber O ist
alternativ: Das heißt, für ξ, η ∈ O gilt
(ξη)η = ξ(ηη),
ξ(ξη) = (ξξ)η.

Anschauliche Geometrie 12 Divisionsalgebren und Topologie I (Forts.) 41
12 Divisionsalgebren und Topologie I (Forts.)
12.1 Die Cayley-Algebra der Oktaven (Forts.)
Satz 12.1. O ist alternativ, für ξ, η ∈ O gilt also
(ξη)η = ξ(ηη),
ξ(ξη) = (ξξ)η.
Beweis. Sei ξ = a + be, η = u + ve mit a, b, u, v ∈ H. Dann ist
ξη = (au − vb) + (bu + va)e,
(ξη)η = {(au − vb)u − v(bu + va)} + {(bu + va)u + v(au − vb)}e,
ηη = (n 2 − vv) + (vu + vu)e,
ξ(ηη) = {a(u − vu) − (vu + vu)b} + {b(u 2 − vv) + (vu + vu)a}e
und
a(u 2 − vv) − (vu + vu)b = au 2 − avv − (u + u)vb.
vv und u + u sind reell (nämlich unter der Konjugation ( · ) invariant) und kommutieren mit
jeder Quaternion. Daher lässt sich die letzte Gleichung fortsetzen mit
Genauso:
. . . = au 2 − vva − vb(u + u)
= (au − vb) − v(bu + va).
b(u 2 − vv) + (vu + vu)a = bu 2 − b }{{} vv +v(u + u)a
=vv
= bu 2 − vvb + va(u + u)
= (bu + va)u + v(au − vb).
Also ist (ξη)η = ξ(ηη), und die zweite Gleichung folgt genauso.
Satz 12.2. O ist Divisionsalgebra.
Beweis. Es reicht zu zeigen: O ist normiert. Dazu ist zu zeigen: ξ = a + be, η = u + ve. Es ist
|ξη| = |ξ| · |η| ,
|ξη| 2 ∣
= ∣au − vb∣ 2 + |bu + va| 2
= (au − vb)(ua − bv) + (bu + va)(ub + av),
|ξ| 2 |η| 2 = (aa + bb)(uu + vv).
Ist v = λ + v ′ , λ ∈ R, v ′ ∈ (R1) ⊥ (das heißt v ′ = −v ′ ), dann ist
|ξη| 2 − |ξ| 2 |η| 2 = λ(aub + bua − bua − uub) + (aub + bua)v ′ − v ′ (aub + bua)
= 0,
weil (aub + bua) ∈ R und also mit v ′ ∈ H kommutiert.

Anschauliche Geometrie 12.2 Topologie 42
Bemerkung 12.3. Man kann direkt annehmen, dass in O zum Beispiel die Gleichung ξx = η die
Lösung x = ξ −1 η hat, wobei ξ −1 =
ξ , aber es ist beschwerlich. Man benutzt die Eigenschaft
|ξ| 2
von O, alternativ zu sein.
Wir haben nun gesehen: Es gibt reelle Divisionsalgebren in den Dimensionen 1, 2, 4 und 8.
(Das sind die einzigen Dimensionen, in denen es Divisionsalgebren gibt.)
Bemerkung 12.4. Ausgehend von O kann man noch weitere interessante „höhere“ algebraische
Objekte konstruieren, zum Beispiel
⎧⎛
⎞
⎫
⎪⎨ λ 1 ξ η
⎪⎬
⎜
⎟
J = ⎝ ξ λ 2 ζ ⎠ | die hermiteschen 3 × 3-Matrizen mit Einträgen aus O
⎪⎩
⎪⎭
η ζ λ 3
mit der Multiplikation
A ◦ B := 1 (A · B + B · A).
2
J ist eine sogenannte Jordan-Algebra. Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms einer
Matrix aus J liefern eine Bilinearform, eine quadratische Form und eine kubische Form. Die
Automorphismengruppe von J ist die exzeptionelle Liegruppe vom Typ F 4 . Die Automorphismengruppe
der kubischen Form ist die exzeptionelle Liegruppe vom Typ E 6 .
12.2 Topologie
Sei B ein topologischer Raum.
Definition 12.5. Ein reelles Vektorbündel E über B besteht aus folgenden Daten:
1. einem topologischen Raum E (dem Totalraum),
2. einer stetigen Abbildung π : E → B (der Bündelprojektion),
3. für alle b ∈ B ist auf der sogenannten Faser E b = π −1 (b) von E über b die Struktur eines
R-Vektorraums gegeben.
Es muss gelten (Eigenschaft der lokalen Trivialität): Für alle b ∈ B gibt es eine Umgebung
U ∋ b, ein n ≥ 0 (∈ Z) und einen Homöomorphismus
h : U × R n → π −1 (U),
so dass für alle b ∈ B die Abbildung x ↦→ h(b, x) ein Isomorphismus von R n mit dem R-
Vektorraum E b ist. (Speziell ist h R-linear auf jeder Faser.) (U, h) heißt lokales Koordinatensystem
für E. Ist E = B × R n , so heißt E triviales Bündel.
Der reelle projektive Raum P n = P n R ist definiert als die Menge aller ungeordneten Paare
{±x}, wobei x ∈ S n ⊆ R n+1 (S n = {x 2 1 + . . . + x2 n = 1}) topologisiert als Quotient von S n .
Äquivalent ist P n die Menge aller Geraden l in R n+1 durch den Ursprung O ∈ R n+1 .
Sei R ⊂ R n × R n+1 die Menge von Paaren ({±x}, v), so dass v ein Vielfaches von x ist. Wir
haben
π : R → P n
({±x}, v) ↦→ {±x}.

Anschauliche Geometrie 12.2 Topologie 43
Jede Faser von R, π −1 ({±x}), kann mit der Geraden in R n+1 durch +x und −x identifiziert
werden.
Im R 3 :
[hier Bild]
R ist lokal trivial: Ist U ⊂ S n offen und so klein, dass es keine Antipodenpunkte enthält, und
ist U 1 := Bild von U in P n , dann definiert
h : U 1 × R −→ π −1 (U 1 )
h({±x}, t) ↦−→ ({±x}, tx)
ein lokales Koordinatensystem. R heißt topologisches Bündel.
Satz 12.6. R ist auf P n nicht isomorph zum trivialen Bündel für n ≥ 1. (E 1 und E 2 heißen
isomorph ⇐⇒ ∃ f : E 1 → E 2 Homöomorphismus, der jede Faser von E 2 abbildet.)
Der Beweis benötigt folgendes Konzept:
Definition 12.7. Eine globale Schnittfläche (ein globaler Schnitt) in π : E → B ist eine stetige
Abbildung s : B → E, so dass s(b) ∈ E b für alle b ∈ B. s heißt nicht-verschwindend, wenn
s(b) ≠ 0 für alle b ∈ B.
[hier Bild]
Ein triviales R 1 -Bündel hat natürlich nicht-verschwindende globale Schnittflächen. R hingegen
hat keine nicht-verschwindende globale Schnittfläche:
Beweis. Sei s : P n → R eine Schnittfläche. Wir betrachten die Komposition
S n → P n → R
x ↦−→ ({±x}, t(x)x),
wobei t eine stetige reellwertige Funktion auf S n ist mit t(−x) = −t(x). Weil S n zusammenhängend
ist, folgt mit dem Zwischenwertsatz: ∃ x 0 ∈ S n : t(x 0 ) = 0.
Beispiel 2. Wir betrachten R auf P 1 ≃ S 1 (die Kreislinie). Wir können r = ({±x}, v) ∈ R in
diesem Fall schreiben als
(
)
r = {±(cos ϑ, sin ϑ)}, t(cos ϑ, sin ϑ) .
[hier Bild]
Diese Darstellung ist eindeutig bis auf folgende Tatsache:
(
)
{±(cos 0, sin 0)}, t(cos 0, sin 0)
ist gleich
(
)
{±(cos π, sin π)}, −t(cos π, sin π) .
Das heißt, wir erhalten R aus dem Streifen [0, π] × R in der (ϑ, t)-Ebene durch Identifikation
des linken Randes {0} × R mit dem rechten Rand {π} × R durch (0, t) ↦→ (π, −t). Also ist R ein
(offenes) Möbiusband über S 1 ≃ P 1 . R ist auch anschaulich nicht homöomorph zum Zylinder
S 1 × R.
[hier Bilder]

Anschauliche Geometrie 13 Divisionsalgebren und Topologie II 44
13 Divisionsalgebren und Topologie II
Sei E ein Vektorbündel auf einem topologischen Raum X. Dann gibt es eine offene Überdeckung
X ⊂ ⋃ α U α und einen Homöomorphismus h α : U α × R n → π −1 (U α ) =: E Uα .
[hier Bild]
Auf U α ∩ U β haben wir dann
h α : U α × R n∣ ∣ Uα∩U β
−→ E Uα
∣ ∣Uα∩U
β
,
h β : U β × R n∣ ∣ Uα∩U β
−→ E Uα
∣ ∣Uα∩U
β
.
Es ist g αβ := h −1
β ◦ h α : (U α ∩ U β ) × R n ∼ −→ (U α ∩ U β ) × R n . g αβ ist faserweise linear, das heißt
von der Form
g αβ (x, v) = (x, G αβ (x)(v))
G αβ : U α ∩ U β −→ GL(n, R)
Dabei ist G αβ = id.
Auf U α ∩ U β ∩ U γ ist G βγ · G αβ = G αγ , denn es ist
g αβ = h −1
β ◦ h α,
g βγ = h −1
γ ◦ h β ,
g αγ = h −1
γ ◦ h α ,
und
(stetig).
und somit g βγ ◦ g αβ = g αγ . Also liefert ein Vektorbündel E vom Rang n das Datum von
1. einer offenen Überdeckung {U α } α∈A von X,
2. stetigen Funktionen
G αβ : U α ∩ U β −→ GL(n, R)
für alle α, β ∈ A, so dass für alle α ∈ A : G αα = id und G βγ · G αβ = G αγ auf U α ∩ U β ∩ U γ .
Umgekehrt liefert das Datum von (1) und (2) ein Vektorbündel E auf X. Also ist
( )
∐
E = U α × R n / ∼,
α∈A
wobei ∐ := disjunkte Vereinigung und
(x, v) ∼ (x, G αβ (x)(v))
} {{ } } {{ }
∈U α×R n ∈U β ×R n
für x ∈ U α ∩ U β .
Jede funktorielle Konstruktion auf Vektorräumen überträgt sich auf Bündel, und jeder natürliche
Isomorphismus von Vektorräumen liefert einen Isomorphismus der induzierten Bündel.
Zum Beispiel: Ist F : Vektorräume −→ Vektorräume, etwa V → V ∗∗ (Bidualraum), dann ist zu
einem Vektorbündel E, gegeben durch die Daten {U α } α∈A und {G αβ } (α,β)∈A×A , das Bündel E ∗∗
erklärt durch die Daten {U α } α∈A und {F (G αβ )} (α,β)∈A×A . Ist also
G αβ (x) : R n → R n ,

Anschauliche Geometrie 13 Divisionsalgebren und Topologie II 45
so ist
F (G αβ (x)) = G αβ (x) ∗∗ : (R n ) ∗∗ −→ (R n ) ∗∗ .
Die Funktorialität wird gebraucht, um die Bedingung G αγ = G βγ ◦ G αβ übertragen zu können:
F (G αγ ) = F (G βγ ) ◦ F (G αβ ). Zu Bündeln E 1 , E 2 über X hat man zum Beispiel die Bündel:
E 1 ⊕ E 2 , E 1 ⊗ E 2 , E ∗ 1 , hom(E 1 , E 2 ), . . .
Im Allgemeinen ist zum Beispiel E nicht zu E ∗ isomorph (obwohl E endlichen Rang hat), aber
es ist E ∼ → E ∗∗ . Ist f : X → X eine stetige Abbildung und E ein Vektorbündel auf Y , dann hat
man auf X das zurückgezogene Bündel f ∗ E („pull-back“):
f ∗ E −−−−→ E
⏐ ⏐
↓ ↓π (Faserprodukt)
X
f
−−−−→ Y
Das heißt, f ∗ E ⊂ X × E, wobei f ∗ E = {(x, e) | f(x) = π(e)} mit der Teilraumtopologie, und es
gilt (f ∗ E) x
∼ = E (für die Fasern).
Im letzten Kapitel hatten wir das tautologische Bündel R auf P n R behandelt. R ⊂ Pn × R n+1
und R n+1 tragen eine euklidische Metrik
µ(x 1 e 1 + . . . + x n+1 e n+1 ) = x 2 1 + . . . + x 2 n+1.
Zu R gibt es dann das Bündel R ⊥ , dessen Faser über einem Punkt p ∈ P n gerade das orthogonale
Komplement R ⊥ p von R p ⊂ R n+1 ist. Wir interessieren uns im Folgenden für das Bündel
auf P n .
T P n := hom(R, R ⊥ )
Bemerkung 13.1. T P n ist das Tangentialbündel von P n .
Beweis. Sei C ⊂ R n+1 eine Gerade durch 0, C ∩ S n = {±x}, e ⊥ komplementärer n-dimensionaler
Untervektorraum und f : S n → P n eine Quotientenabbildung. (x, v) und (−x, −v) haben als
Tangentialvektoren in T S n dasselbe Bild unter dem Differential df : T S n → T P n. T P n kann
identifiziert werden mit der Menge von Paaren {(x, v), (−x, −v)} mit 〈x, x〉 = 1 und 〈x, v〉 = 0.
[hier Bild]
Jedes solche Paar bestimmt (und ist umgekehrt festgelegt durch) eine lineare Abbildung
ϕ : l → l ⊥ , ϕ(x) = v,
das heißt (T P n) {±x} ≃ hom(l, l ⊥ ), also T P n = hom(R, R ⊥ ).
Definition 13.2. P n heißt parallelisierbar, falls T P n das triviale Bündel ist. (Die Definition für
jede differenzierbare Mannigfaltigkeit erfolgt analog.)
Satz 13.3. Ist A ≃ R n als R-Vektorraum eine Divisionsalgebra der Dimension n (das heißt, es
ist ein R n -bilineares nullteilerfreies Produkt p : A × A → A gegeben), dann ist P n−1 parallelisierbar.

Anschauliche Geometrie 13 Divisionsalgebren und Topologie II 46
Beweis. Sei e 1 , . . . , e n die Standardbasis des R n . Die Abbildungen y ↦→ p(y, e i ), i = 1, . . . , n, sind
lineare Isomorphismen von R n nach R n , das heißt, man kann lineare Abbildungen l i : R n → R n
definieren als
l i (p(y, e 1 )) = p(y, e i )
mit i = 1, . . . , n. Es ist l 1 (x) = x für alle x ∈ R n . Ist l eine Gerade durch die 0 in R n ,
l ∩ S n+1 = {±x}, so liefern l 1 , . . . , l n Abbildungen
l i : l → l ⊥ ,
x ↦→ pr l i (x),
mit pr als der Projektion von R n auf l ⊥ . Es ist l 1 ≡ 0, aber l 2 , . . . , l n sind linear unabhängig
(weil l 1 , . . . , l n linear unabhängig sind), also sind l 2 , . . . , l n (n − 1)-linear unabhängige Schnitte
in T P n−1, das heißt T P n−1 ≃ P n−1 × R n .
Korollar 13.4. P 0 = {pt}, P 1 ≃ S 1 , P 3 und P 7 sind parallelisierbar.
Beweis. Existenz von R, C, H und O.
Beispiel 3. S 1 :
[hier Bild]
Es gilt tatsächlich: P 0 , P 1 , P 3 und P 7 sind die einzigen (reell-)projektiven Räume, die parallelisierbar
sind (ein tiefliegender Satz).

Anschauliche Geometrie 14 Divisionsalgebren und Topologie III 47
14 Divisionsalgebren und Topologie III
Im letzten Kapitel hatten wir gesehen (Satz 13.3): Wenn es eine reelle Divisionsalgebra der
Dimension n gibt, ist P n−1 parallelisierbar.
Bemerkung 14.1. Wenn es eine n-dimensionale reelle Divionsalgebra gibt, so ist auch S n−1 parallelisierbar.
Ähnlicher Beweis: Sei e 1 , . . . , e n die Standardbasis in R n ≃ A. Sei y ∈ S n−1 . Dann sind y ·
e 1 , . . . , y·e n linear unabhängig. Orthonormalisiert man sie, bekommt man Vektoren w 1 (y), . . . , w n (y).
w 2 (y), . . . , w n (y) sind Tangentialvektoren an S n−1 im Punkt w 1 (y), daher gibt es n − 1 linear
unabhängige Vektorfelder auf S n−1 .
Wir geben einen Überblick über den Beweis, dass es außer in den Dimensionen 1, 2, 4 und 8
keine reellen Divisionsalgebren gibt:
Sei X ein topologischer Raum und N(X) die Menge der Isomorphieklassen von Vektorbündeln
auf X. Die Operationen ⊕ und ⊗ induzieren in N(X) Verknüpfungen, die die gewöhnlichen
Rechengesetze (Assoziativität, Kommutativität, Distributivität) von + und · auf (zum Beispiel)
N erfüllen. Wir gehen von N(X) wie von N zu Z zu einem Ring über: Es bildet N(X) × N(X)
modulo die Äquivalenzrelation
(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ ∃ e : a ⊕ d ⊕ e = c ⊕ b ⊕ e
den Ring KO(X). (Man braucht e, weil für Bündel die Kürzungsregel nicht gilt, das heißt
E ⊕ G ≃ F ⊕ G für Bündel auf X impliziert „a nicht E ≃ F“.) Wir haben die Zuordnung
X KO(X). Ist f : X → Y stetig, so induziert f
f ∗ : N(Y ) → N(X)
(f ∗ ist mit ⊕ und ⊗ verträglich), und also induziert f ∗ einen Ringhomomorphismus
f ! : KO(X) → KO(Y ),
so dass für X f −→ Y g −→ Z gilt
(g ◦ f) ! = f ! ◦ g ! .
Ist X zusammenhängend, so hat jedes Vektorbündel eine Faserdimension, und das liefert einen
surjektiven Ringhomomorphismus
ε : KO(X) → Z.
Sei ˜KO(X) der Kern von ε.
Satz 14.2 (Periodizitätssatz von Bott). Man hat
˜KO(S 1 ) = ˜KO(S 2 ) = Z/2Z,
˜KO(S 3 ) = 0,
˜KO(S 4 ) = Z,
˜KO(S 5 ) = ˜KO(S 6 ) = ˜KO(S 7 ) = 0,
˜KO(S 8 ) = Z.
(Diese sind als Isomorphien abelscher Gruppen zu verstehen.) Allgemein ist
für alle n.
˜KO(S n ) ≃ ˜KO(S n+8 )

Anschauliche Geometrie 14 Divisionsalgebren und Topologie III 48
Die Erzeuger in den Graden 1, 2, 4 und 8 dieser Gruppen können wie folgt beschrieben werden.
Eine Abbildung f : S n−1 → GL(m, R) liefert ein m-dimensionales Bündel E f auf S n in folgender
Weise:
S n = H + ∪ H − , H + ∩ H − = S n−1 .
Dabei ist H + die obere Halbkugel, H − die untere und S n−1 der Äquator.
Man verklebt die trivialen Bündel H + ×R m und H − ×R m längs S n−1 , indem man (x, v) ∈ S n−1
mit (x, f(x) · v) identifiziert. Man erhält einen toplogischen Raum E f mit der Bündelprojektion
induziert durch
p : E f → S n ,
H + × R m → H + und H − × R m → H − .
Eine n-dimensionale Divisionsalgebra A ≃ R n liefert
durch
f : S n−1 → GL(n, R)
f(x)(v) := x · v, x ∈ S n−1 , v ∈ R n .
Das assoziierte Bündel auf S n heißt Hopfsches Bündel (in jedem Fall A = R, C, H, O). Die additiven
Erzeuger von ˜KO(S 1 ), ˜KO(S 2 ), ˜KO(S 4 ) und ˜KO(S 8 ) entsprechen den Hopfschen Bündeln
zu R, C, H und O (man zieht von diesen noch das n-dimensionale triviale Bündel ab, um ε = 0
zu bekommen).
Der Isomorphismus ˜KO(S n ) ≃ ˜KO(S n+8 ) kann folgendermaßen explizit gemacht werden: Zu
S n und S m hat man S n × S m . Seien x 0 ∈ S n und y 0 ∈ S m jeweils ein Punkt. In S n × S m hat man
dann
S n ∨ S m = {x 0 } × S m ∪ S n × {y 0 }
(„Achsenkreuz“). Identifiziert man in S n × S m S n ∨ S m mit einem Punkt, so erhält man S n+m ,
das heißt, man hat insbesondere Abbildungen S n ∨ S m ↩→ i
S n × S m −→ p S n+m . Zum Beispiel ist
mit m = n = 1:
[hier Bild]
Das liefert die Sequenz:
˜KO(S n+m p
) −−−−→ !
× S m )
↑
⏐
⏐
↓i !
0 ←−−−− ˜KO(S n ∨ S m )
Diese Sequenz ist exakt (das heißt, p ! ist injektiv, i ! ist surjektiv, ker i ! = im p ! ).
Zu a ∈ ˜KO(S n ) und b ∈ ˜KO(S n × S m ) hat man
π 1
S n × S m
π 2
S n
S m
a · b := π ! 1a · π ! 2b ∈ ˜KO(S n × S m ).
Es ist i ! (a · b) = 0, also ist a · b Bild genau eines Elements in ˜KO(S n+m ) unter p ! . Dieses
Element bezeichnen wir wieder mit ab. Der Isomorphismus KO(S n ) ≃ ˜KO(S n+8 ) wird durch

Anschauliche Geometrie 14 Divisionsalgebren und Topologie III 49
a ↦→ a · (h g − 81) gegeben, wobei h g Hopfsches Bündel auf S 8 ist, welches zu den Oktaven O
gehört, und 81 ist das 8-dimensionale triviale Bündel S 8 ×R 8 auf S 8 . – Damit endet der Überblick
über den Beweis.
Der Beweis des (1, 2, 4, 8)-Satzes benötigt außerdem das Theorem von Stiefel-Whitney. Zunächst
hat man zu X einen topologischen Raum, den Kohomologiering von X mit Z/2Z-
Koeffizienten
H ∗ (X, Z/2Z) ∼ = ⊕ n≥0
H n (X, Z/2Z).
Das ist ein positiv graduierter kommutativer Ring, das heißt, H n (X, Z/2Z) sind abelsche Gruppen,
und man hat die Multiplikation
Für f : X → Y stetig hat man
H i (X, Z/2Z) × H δ (X, Z/2Z) −→ H i+1 (X, Z/2Z).
f ∗ : H i (Y, Z/2Z) −→ H i (X, Z/2Z),
und f ∗ ist mit dem Produkt verträglich, das heißt, f ∗ induziert einen Ringhomomorphismus
f ∗ : H ∗ (Y, Z/2Z) −→ H ∗ (X, Z/2Z).

Anschauliche Geometrie 15 Divisionsalgebren und Topologie IV 50
15 Divisionsalgebren und Topologie IV
Zu jedem Vektorbündel E auf einem zusammenhängenden topologischen Raum X gibt es eine
Folge von Kohomologiegruppen
w i (E) ∈ H i (X, Z/2Z), i = 0, 1, 2, . . . ,
(die Stiefel-Whitney-Klassen von X) mit folgenden Eigenschaften:
1. w 0 (E) = 1 in H 0 (X, Z/2Z) und w i (E) = 0 für i > n, wobei n = rang E.
2. Für f : Y → X ist w i (f ∗ E) = f ∗ w i (E).
3. Sind E und G Bündel auf X, ist
k∑
w k (E ⊕ G) = w i (E)w k−i (G).
i=0
Zum Beispiel ist w 1 (E ⊕ G) = w 1 (E) + w 1 (G), w 2 (E ⊕ G) = w 2 (E) + w 2 (G) + w 1 (E) + w 1 (G).
4. Für das tautologische Bündel R auf P 1 ≃ S 1 ist w 1 (R) ≠ 0.
Die totale Stiefel-Whitney-Klasse von E, w(E) ∈ H ∗ (X, Z/2Z), ist
w(E) = 1 + w 1 (E) + w 2 (E) + . . . ∈ H ∗ (X, Z/2Z).
Dann ist w(f ∗ E) = f ∗ w(E), und 3) wird w(E ⊕ G) = w(E)w(G).
Als Konsequenz der Eigenschaften 1 bis 4 erhält man:
• E ≃ G =⇒ w i (E) = w i (G) für alle i ∈ Z.
• Ist E ein triviales Bündel, dann ist w i (E) = 0, i > 0. (Dies folgt aus den Eigenschaften 2
und 1, denn E ist Rückzug eines Bündels auf einen Punkt.)
• Ist E ein triviales Bündel, so ist w i (E ⊕ G) = w i (G). (Dies folgt aus Eigenschaft 3 und der
vorigen Bemerkung.)
• Ist E ein n-dimensionales (reelles) Vektorbündel (mit euklidischer Metrik, dies ist aber
keine Bedingung, wenn X parakompakt ist) und hat E einen nirgends verschwindenden
globalen Schnitt, so ist w n (E) = 0.
Hat E k globale linear unabhängige Schnitt, dann ist w n−k+1 (E) = w n−k+2 (E) = . . . = w 1 (E) =
0. Denn E spaltet als k1⊕(k1) ⊥ n−k (k1 ist ein Rang-k-triviales Bündel und k1⊥ sein orthogonales
Komplement), das heißt, die w i (E) sind Obstruktionen (Hindernisse) dagegen, dass E eine gewisse
Anzahl globaler linear unabhängiger Schnitte hat.
Sei G(X) die multiplikative Gruppe der a ∈ H ∗ (X, Z/2Z) mit a = 1+a 1 +a 2 +. . . Dann ist w :
KO(X) → G(X) ein Homomorphismus von der additiven Gruppe KO(X) in die multiplikative
Gruppe G(X), und für f : Y → X hat man das kommutative Diagramm
f !
KO(X) −−−−→ KO(Y )
⏐
⏐
↓w
↓w
G(X)
f ∗
−−−−→ G(Y )

Anschauliche Geometrie 15 Divisionsalgebren und Topologie IV 51
Um nun zu zeigen, dass es außer in den Dimensionen 1, 2, 4 und 8 keine Divisionsalgebren
gibt, reicht es zu zeigen, dass S n−1 für n ≠ 1, 2, 4, 8 nicht parallelisierbar ist. Man kann ein
n-dimensionales Bündel E über X ersetzen durch E − n1 ∈ ˜KO(X), ohne die Stiefel-Whitney-
Klassen zu ändern. Es reicht zu zeigen:
w(c) = 1 für alle c ∈ ˜KO(S n )
mit n ≠ 1, 2, 4, 8. (Das heißt, w n (c) = 0, H 0 (S n , Z/2Z) = H n (S n , Z/2Z) = Z/2Z, H i (S n , Z/2Z) =
0. Wenn eine n-dimensionale reelle Divisionsalgebra existiert, so gibt es ein Vektorbündel E auf
S n , nämlich das zur Divisionsalgebra gehörige Hopfsche Rang-n-Bündel, und dieses hat immer
w n (E) = 1.) Für n = 3, 5, 6, 7 ist dies richtig wegen des Bottschen Periodizitätssatzes, denn
˜KO(S 3 ) = 0, ˜KO(S 5 ) = 0 usw. Ist n ≥ 9, so ist n = m + 8, m ∈ N, und man kann c schreiben
als
c = a · (h 8 − 81), a ∈ ˜KO(S m ).
Nach Definition von ˜KO(S m ) ist a = E − F , wobei E und F Vektorbündel gleichen Ranges auf
S m sind. Das heißt, man hat in KO(S m × S 8 )
also
c = (E − F ) · (h 8 − 81)
= E · h 8 − F · h 8 − 8 · E + 8 · F,
w(c) = w(E · h 8 )w(F · h 8 ) −1 · w(8 · E) −1 w(8 · F )
∈ H ∗ (S m × S 8 , Z/2Z).
Behauptung 11. Jeder der Faktoren auf der rechten Seite ist gleich 1.
Wie rechnet man das nach? Welchen Wert hat beispielsweise w(E · h 8 )? E · h 8 ∈ KO(S m × S 8 )
ist das durch π ∗ 1 E ⊗ π∗ 2 h 8 definierte Element, wobei
π 1 : S m × S 8 −→ S m ,
π 2 : S m × S 8 −→ S 8 .
Man kann bei dieser Rechnung E und F als geradedimensional annehmen (sonst addiere triviale
Rang-1-Bündel zu beiden). Es gilt nun:
Lemma 15.1. Sind E und G geradedimensionale Vektorbündel über X mit
w(E) = 1 + w r (E),
w(G) = 1 + w s (G),
s gerade,
und mit
dann ist
w r (E) 2 = w s (E) 2 = 0,
w(E ⊗ G) = 1.
Das Lemma wiederum folgt aus der Beschreibung der Stiefel-Whitney-Klassen eines Tensorprodukts:
Bei eindimensionalen Bündeln E, F gilt
w 1 (E ⊗ F ) = w 1 (E) + w 1 (F ).

Anschauliche Geometrie 15 Divisionsalgebren und Topologie IV 52
Ist E = E 1 ⊗ . . . ⊗ E m und F = F 1 ⊗ . . . ⊗ F n (direkte Summe), dann ist
E ⊗ F = ⊕ (E i ⊗ F j )
i,j
und also
w(E ⊗ F ) = ∏ i,j
(1 + w 1 (E i ) + w 1 (F j )) .
Für beliebige Bündel E, F gilt das Folgende: Betrachte das Polynom
∏
(1 + x i + y j )
i,j
als Polynom mit Koeffizienten in Z/2Z in Unbestimmten x, y 0 . Dieses lässt sich als Polynom in
den elementarsymmetrischen Funktionen σ 1 , . . . , σ m der x i und τ 1 , . . . , τ n der y j schreiben:
∏
(1 + x i + y j ) = P (σ 1 , . . . , σ m , τ 1 , . . . , τ n ).
i,j
Dann ist
w(E ⊗ F ) = P (w 1 (E), . . . , w m (E), w 1 (F ), . . . , w n (F )).