Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie 2 Approximation von Irrationalzahlen durch rationale 6
2 Approximation von Irrationalzahlen durch rationale
Sei α ∈ R \ Q. Frage: Wie gut kann man α approximieren durch rationale Zahlen m n
, m, n ∈ Z,
mit kleinem Nenner n? Speziell: Kann man eine Folge m n → α finden mit |α − m n | ≤ 1 ?
n 2
Das folgt aus:
∀ ε ∈ R + gibt es m, n ∈ Z mit
∣ α − m n ∣ ≤ ε
|n| , |n| ≤ 1 ε ,
oder:
∀ ε ∈ R + gibt es m, n ∈ Z mit
αn − m
∣ ε ∣ ≤ 1 und |εn| ≤ 1.
Im R 2 betrachten wir ein Gitter
(das heißt, alle Vektoren
Λ = Z ·
( ) ( )
−
1
α
ε
+ Z ·
ε
0 ε
( ) αn−m
ε
∈ Λ
nε
für m, n ∈ Z).
Obige Aufgabe bedeutet: Wir suchen einen Gitterpunkt in Λ (≠ 0), der im Quadrat mit
Kantenlänge 2 und Mittelpunkt 0 liegt. Wir betrachten das von den Vielfachen der Vektoren
erzeugte Gitter. Λ ist ein Einheitsgitter, das heißt, v 1 und v 2 spannen ein Parallelogramm der
Fläche 1 auf (|det(v 1 , v 2 )| = 1):
Definition 2.1. Ein Gitter in R 2 ist allgemein eine Menge
(mit w 1 , w 2 linear unabhängig).
Λ ′ = Z · w 1 + Z · w 2
Satz 2.2. Ist Λ ∈ R 2 ein Einheitsgitter und Q ein Quadrat in R 2 mit Kantenlänge 2 und einem
Gitterpunkt P als Mittelpunkt, dann enthält Q mindestens einen weiteren Gitterpunkt P ′ ≠ P .
Beweis. Sei Λ ⊂ R 2 ein Gitter (wir sprechen immer von Einheitsgittern). Wir legen um jeden
Gitterpunkt als Mittelpunkt ein Quadrat (beliebiger Ausrichtung) mit Kantenlänge s.