Anschauliche Geometrie

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Anschauliche Geometrie 2 Approximation von Irrationalzahlen durch rationale 8 M, der Mittelpunkt der Strecke AB, A, B Gitterpunkte zu Quadraten, die sich überlappen, liegt in beiden Quadraten. Also: Legt man in einem Einheitsgitter Λ um einen Gitterpunkt als Mittelpunkt ein Quadrat der Kantenlänge 1+ε, ε > 0, dann enthält dieses Quadrat immer einen Punkt, der die Verbindungsstrecke zwischen zwei Gitterpunkten halbiert. Sei jetzt Λ ein Einheitsgitter und Q ein Quadrat der Kantenlänge 2 mit einem Gitterpunkt P ∈ Λ, so dass Q keinen weiteren Gitterpunkt außer P enthält (das wollen wir zu einem Widerspruch führen). Dann enthält auch für kleines ε das zu Q konzentrische Quadrat Q ′ mit Kantenlänge 2(1 + ε) keinen Gitterpunkt. Das Quadrat, das durch Stauchen von Q ′ um den Faktor 1 2 entsteht, enthält einen Punkt, der die Verbindungsstrecke zwischen zweier Gitterpunkte halbiert (die Verbindungsstrecke zwischen P und einem weiteren Gitterpunkt). Sei dieser Punkt (der Halbierungspunkt) R. S liegt dann in Q ′ . Widerspruch. Das ist ein Spezialfall des Gitterpunktsatzes von Minkowski: Ist Λ ⊂ R 2 ein Einheitsgitter und Q eine konvexe zentralgeometrische Menge um 0 der Fläche ≥ 4, dann enthält Q außer 0 noch einen weiteren Gitterpunkt. Exkurs (ein Problem von Sylvester): Problem: Gegeben seien endlich viele Punkte P 1 , . . . , P N in der Ebene R 2 , so dass gilt: Auf jeder Geraden P i P j durch zwei der Punkte (P i und P j ) liegt noch ein dritter Punkt P k (≠ P i und P j ). Behauptung 4. Dann liegen alle Punkte auf einer Geraden. Beweis. Betrachte alle Paare (P i P j , P k ), P k /∈ P i P j (bestehend aus einer Geraden P i P j und einem Punkt P k /∈ P i P j ) und wähle eines davon, so dass der Abstand von P k zu P i P j minimal wird. Dann enthält die Gerade durch P i und P j keinen weiteren Punkt der Menge. Angenommen, doch: Der Punkt sei Q ∈ P i P j . Mindestens zwei der Punkte Q, P i , P j liegen auf derselben Seite des Lotfußpunktes von P k auf die Gerade durch P i und P j . Also: P j hat einen kleineren Abstand von P 1 P 4 als P 1 von P 3 P 4 . Widerspruch.
Anschauliche Geometrie 2 Approximation von Irrationalzahlen durch rationale 9 Frage: Welche Eigenschaften der euklidischen Ebene mit den Begriffen „Punkt“/„Gerade“ sind für den Beweis wesentlich? Beispielsweise gilt der Satz für die Kugel oder für P(F 3 2 ) nicht.
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