Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie 15 Divisionsalgebren und Topologie IV 52
Ist E = E 1 ⊗ . . . ⊗ E m und F = F 1 ⊗ . . . ⊗ F n (direkte Summe), dann ist
E ⊗ F = ⊕ (E i ⊗ F j )
i,j
und also
w(E ⊗ F ) = ∏ i,j
(1 + w 1 (E i ) + w 1 (F j )) .
Für beliebige Bündel E, F gilt das Folgende: Betrachte das Polynom
∏
(1 + x i + y j )
i,j
als Polynom mit Koeffizienten in Z/2Z in Unbestimmten x, y 0 . Dieses lässt sich als Polynom in
den elementarsymmetrischen Funktionen σ 1 , . . . , σ m der x i und τ 1 , . . . , τ n der y j schreiben:
∏
(1 + x i + y j ) = P (σ 1 , . . . , σ m , τ 1 , . . . , τ n ).
i,j
Dann ist
w(E ⊗ F ) = P (w 1 (E), . . . , w m (E), w 1 (F ), . . . , w n (F )).