Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie 6 Konforme Abbildungen und der Satz von Liouville 19
6 Konforme Abbildungen und der Satz von Liouville über
winkeltreue Abbildungen des Raumes
Definition 6.1. Eine C ∞ -Abbildung
f : U → R n
mit U ⊂ R n offen heißt konform, falls der (nichtorientierte) Winkel von Vektoren v 1 , v 2 in T p U
gleich ist dem von df p (v 1 ), df p (v 2 ) eingeschlossenen Winkel.
[hier Bild]
Jede C ∞ -Abbildung von R nach R ist konform.
Satz 6.2. Sei U ⊂ C ein Gebiet und f : U → C. Dann sind äquivalent:
1. f ist winkeltreu (konform) in U.
2. f ist holomorph oder antiholomorph in U und f ′ (z) ≠ 0 (bzw. f ′ (z) ≠ 0) für alle z ∈ U.
3. Sei A : C → C R-linear und injektiv. A ist winkeltreu genau dann, wenn |w||z|〈Aw, Az〉 =
|Aw||Az|〈w, z〉 für alle w, z ∈ C.
Beweis. Folgende Aussagen sind zu den obigen äquivalent:
1. A : C → C ist winkeltreu.
2. ∃ a ∈ C ∗ : ∀ z ∈ C : A(z) = az oder A(z) = az.
3. ∃ s ∈ R >0 : ∀ w, z ∈ C : 〈Aw, Az〉 = s〈w, z〉.
• (1) =⇒ (2): Sei a := A(1) ∈ C ∗ . Mit b := a −1 A(i) gilt:
0 = 〈i, 1〉 = 〈A(i), A(1)〉 = 〈ab, a〉
= |a| 2 Rb
=⇒ b = ir, r ∈ R.
Es ist 〈A(1), A(z)〉 = 〈a, a(x + iry)〉 = |a| 2 x (mit z = x + iy), das heißt, aus
wird
also
Es folgt r = ±1, A(z) = a(x ± iy).
|1||z| · 〈A(1), A(z)〉 = |A(1)||A(z)|〈1, z〉
|x + iy||a| 2 x = |a||a(x + iry)|x,
|x + iy| = |x + iry| ∀ x ∈ C : x ≠ 0.
• (2) =⇒ (3): Es ist 〈aw, az〉 = |a| 2 〈w, z〉 und 〈w, z〉 = 〈w, z〉, das heißt stets 〈A(w), A(z)〉 =
s〈w, z〉 und s = |a| 2 > 0.
• (3) =⇒ (1):
|A(z)| = √ s|z| =⇒ A ist injektiv (bijektiv) und
|w||z|〈A(w), A(z)〉 = |w||z|〈w, z〉 = |Aw||Az|〈w, z〉.