Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie 1 (Tag 1) 3
1 (Tag 1)
Betrachte die Folgen
• (a n ) = 2 n , n = 1, 2, 3, . . .,
• (b n ) der Anfangsziffern (im Dezimalsystem) dieser Zahlen (a n ).
Nun können wir fragen:
1. Kommt jemals die 7 in der Folge (b n ) vor?
2. Was kommt häufiger vor, die 6 oder die 5? Präziser: Betrachte
A 6 = lim
n→∞
#{b k | b k = 6, k ≤ n}
,
n
analog A 5 ; existieren diese Limites und wenn ja, ist A 5 ≤ A 6 oder A 6 ≤ A 5 ?
Sei x ∈ N. Dann ist [ ]
x
10 [log 10 x]
die erste Ziffer im Dezimalsystem von x. Dabei bezeichnet für a ∈ R [a] (Gaußklammer) die
größte ganze Zahl, die nicht größer als a ist.
x
Betrachte erst ξ := . Es gilt 1 ≤ ξ < 10 und log ξ = {log
10 [log 10 x] 10 x} := log 10 x − [log 10 x]. Es
ist 0 ≤ log ξ < 1. Wir haben also eine Abbildung
N → [0, 1)
x ↦→ {log 10 x}.
Die erste Ziffer im Dezimalsystem von x ist
[
10 {log 10 x}] .
Wenn man x durch 2x ersetzt, geht {log 10 x} über in {log 10 x + log 10 2}. Das heißt, wenn wir
[0, 1) mit R und 1 identifizieren (also R/Z), dann ist die Abbildung, die wir betrachten,
R/Z → R/Z
a ↦→ a + log 10 2 (mod 1).
Wir starten also mit α 1 = {log 10 2} und betrachten die Folge (α n ) mit
α n+1 = α n + log 10 2 (mod 1), n ≥ 1.
Geometrischer: R/Z ≃ S 1 (die Einheitskreislinie).
Besinnen wir uns auf Frage 1 zurück. log 10 2 ist irrational. (Wäre log 10 2 = a b
, a, b ∈ N, dann
wäre 2 b = 10 a . In der Primfaktorzerlegung von 2 b kommt die 2 b-mal vor, in 10 a jedoch a-mal,
und wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung folgt a = b, ein Widerspruch.)
Behauptung 1. Die Folge der Punkte η, 2η, 3η, . . . auf S 1 ist dicht in S 1 (in der euklidischen
Topologie).