Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie 7 (Tag 7) 23
7 (Tag 7)
Im letzten Kapitel hatten wir in Gleichung (⋆) gesehen, dass
∂ 2 ϱ
∂x i ∂x j
= σδ ij
mit σ = const.
Wir betrachten die Fälle σ ≠ 0 und σ = 0 getrennt.
7.1 Erster Fall: σ ≠ 0
Wir haben nun
ϱ = σ 2
mit b i , c Konstanten, denn es gilt
n∑
x 2 i + σ ∑ b i x i + c (7.1)
i=1
∂ 2 ϱ
∂x 2 i
= σ =⇒ ∂ϱ
∂x i
= σx i + σb i
mit b i als Funktion, die nicht von x i abhängt. Desweiteren ist
∂ 2 ϱ
∂x j ∂x i
= 0
mit j ≠ i, das heißt, b i hängt auch nicht von x j ab. Also ist b i konstant. Es folgt
ϱ = 1 2 σx2 i + σb i x i + ϕ i .
ϕ i hängt nicht von x i ab. Da
gilt auch
für j, k, l ≠ i. Induktiv folgt (7.1).
Ist jetzt σ ≠ 0, folgt aus (7.1)
∂ϱ
∂x j
= ∂ϕ i
∂x j
,
∂ 2 ϕ i
∂x k ∂x l
= σδ kl
1
λ(p) = ϱ(p) = a 1 |p − p 0 | 2 + k 1
mit a 1 = σ 2 und k 1 = const. und p 0 ∈ R n fest (entspricht den b’s). Wenn wir nun k 1 = 0 zeigen,
ist der Beweis für σ ≠ 0 fertig, denn: Sei g : U → R n , g(p) = p−p 0
|p−p 0 | + p 0 die Inversion an der
Einheitssphäre um p 0 . h := g ◦ f −1 ist konform mit Koeffizient a 1 |p − p 0 | 2 1 · = a
|p−p 0 | 2 1 , das
heißt, h ist eine Isometrie komponiert mit einer Streckung. Warum ist k 1 = 0? Wenden wir das
ganze vorige Argument auf f −1 an, so folgt (mit a 2 , k 2 = const.):
λ = a 2 |f(p) − q 0 | 2 + k 2
) )
=⇒
(a 1 |p − p 0 | 2 + k 1
(a 2 |f(p) − q 0 | 2 + k 2 = 1.
(7.2)
(7.2) zeigt, dass f Sphären mit Mittelpunkt p 0 abbildet auf Sphären mit Mittelpunkt q 0 .
[hier Bild]