Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie 9 Die Geburt des Riemannschen Krümmungstensors 33
Dabei handelt es sich um die Christoffelsymbole Erster Art. Aus (7.1) folgt:
das heißt für α = λ:
wobei
∑
i,j
ij ∂xλ
g
∂y γ [jk, i] = ∑ α,i,γ
= ∑ α
(9.5)
= ∑ α
∂ 2 x α ∂x α ∂x λ
∂y j ∂y k ∂y i ∂y γ giγ
⎛
∂ 2 x α
⎝ ∑
∂y j ∂y k i,γ
∂ 2 x α
∂y j ∂y k δ αλ,
∂ 2 x λ
∂y j ∂y k = ∑ ( ) ∑ ∂x
g iγ λ
[jk, i]
∂y
γ=1 i=1
γ
Γ γ jk := 1 2
∑
i=1
def
= ∑ Γ γ jk
γ=1
∂x λ
∂y γ ,
⎞
∂x α ∂x λ
∂y i ∂y γ giγ ⎠
( ∂gij
∂y k + ∂g ik
∂y j − ∂g )
jk
∂y i · g iγ .
Dabei handelt es sich um die Christoffelsymbole Zweiter Art. Wir können auch schreiben:
∂
( ) ∂x λ
∂y j
∂y k = ∑ Γ γ jk
γ=1
∂x λ
∂y γ .
Der Index λ spielt keine Rolle: Alle Funktionen x λ erfüllen dieselbe Gleichung. Für jedes λ erfüllt
( )
∂x
λ
α :=
∂y 1 , . . . , ∂xλ
∂y n : U −→ R n
das System partieller Differentialgleichungen
∂α
∂y k (y) = f k (y, α(y)) ,
()
wobei f k : R n × R n → R n gegeben ist durch
f j k (y, z) = ∑ γ=1
Γ γ jk (y)zk .
(Koordinaten y 1 , . . . , y n in R n im ersten Faktor, z 1 , . . . , z n im zweiten.) () ist linear: Linearkombinationen
von Lösungen mit konstanten Koeffizienten sind wieder Lösungen. Gibt es ein lokales
Koordinatensystem x 1 , . . . , x n der geforderten Art, so hat () n Lösungen, deren Anfangswerte
in 0 linear unabhängig sind. Es folgt: Dann hat () Lösungen mit beliebigen Anfangswerten bei
0.
Notwendig für die Lösbarkeit von () ist
( )
∂ ∂α
∂y l ∂y k (y) = ∂
∂y l f k (y, α(y)) ,
( )
∂ ∂α
∂y k ∂y l (y) = ∂
∂y k f l (y, α(y)) ,