Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie 2 Approximation von Irrationalzahlen durch rationale 8
M, der Mittelpunkt der Strecke AB, A, B Gitterpunkte zu Quadraten, die sich überlappen,
liegt in beiden Quadraten. Also: Legt man in einem Einheitsgitter Λ um einen Gitterpunkt als
Mittelpunkt ein Quadrat der Kantenlänge 1+ε, ε > 0, dann enthält dieses Quadrat immer einen
Punkt, der die Verbindungsstrecke zwischen zwei Gitterpunkten halbiert.
Sei jetzt Λ ein Einheitsgitter und Q ein Quadrat der Kantenlänge 2 mit einem Gitterpunkt
P ∈ Λ, so dass Q keinen weiteren Gitterpunkt außer P enthält (das wollen wir zu einem
Widerspruch führen). Dann enthält auch für kleines ε das zu Q konzentrische Quadrat Q ′ mit
Kantenlänge 2(1 + ε) keinen Gitterpunkt.
Das Quadrat, das durch Stauchen von Q ′ um den Faktor 1 2
entsteht, enthält einen Punkt, der
die Verbindungsstrecke zwischen zweier Gitterpunkte halbiert (die Verbindungsstrecke zwischen
P und einem weiteren Gitterpunkt). Sei dieser Punkt (der Halbierungspunkt) R. S liegt dann
in Q ′ . Widerspruch.
Das ist ein Spezialfall des Gitterpunktsatzes von Minkowski: Ist Λ ⊂ R 2 ein Einheitsgitter
und Q eine konvexe zentralgeometrische Menge um 0 der Fläche ≥ 4, dann enthält Q außer 0
noch einen weiteren Gitterpunkt.
Exkurs (ein Problem von Sylvester): Problem: Gegeben seien endlich viele Punkte P 1 , . . . , P N
in der Ebene R 2 , so dass gilt: Auf jeder Geraden P i P j durch zwei der Punkte (P i und P j ) liegt
noch ein dritter Punkt P k (≠ P i und P j ).
Behauptung 4. Dann liegen alle Punkte auf einer Geraden.
Beweis. Betrachte alle Paare (P i P j , P k ), P k /∈ P i P j (bestehend aus einer Geraden P i P j und
einem Punkt P k /∈ P i P j ) und wähle eines davon, so dass der Abstand von P k zu P i P j minimal
wird.
Dann enthält die Gerade durch P i und P j keinen weiteren Punkt der Menge. Angenommen,
doch: Der Punkt sei Q ∈ P i P j . Mindestens zwei der Punkte Q, P i , P j liegen auf derselben Seite
des Lotfußpunktes von P k auf die Gerade durch P i und P j . Also:
P j hat einen kleineren Abstand von P 1 P 4 als P 1 von P 3 P 4 . Widerspruch.