Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie 1 (Tag 1) 5
mit ϑ = log 10 2. Aber es ist
1
n
∣ n∑ ∣∣∣∣ e 2πimkϑ = 1 ∣
n ∣
k=1
≤ 1 n
1 − e 2πim(n+1)ϑ
1 − e 2πimϑ ∣ ∣∣∣∣
2
|1 − e 2πimϑ .
|
} {{ }
≠0, weil ϑ irrational ist.
Jede stetige Funktion f : [0, 1) → C lässt sich gleichmäßig durch trigonometrische Polynome
approximieren (Fourierentwicklung):
N∑
f ∼ C m e 2πimx .
m=0
Das heißt, (∗) gilt für stetige Funktionen. Jede Treppenfunktion (im Riemannschen Sinne) lässt
sich gleichmäßig durch stetige Funktionen approximieren. Es folgt die Behauptung.
(Obiges Argument für Funktionen f : [0, 1] → C, Riemann-integrierbar, f(0) = f(1).)
(Satz von Poincaré über die ewige Wiederkehr, Hermann Weyl.)