Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie 8.2 Vektorfelder und Flüsse 26
Abbildung 1: Lokaler Fluss
Bemerkung. Die symplektischen Endomorphismen bilden eine Gruppe, die Sp(2n) genannt wird.
8.2 Vektorfelder und Flüsse
Definition. Ein glattes Vektorfeld ist eine glatte Abbildung X : M → TM mit π ◦ X = id M .
Eine Integralkurve am Punkt p ∈ M ist eine Abbildung γ : [−ɛ, ɛ] → M mit γ ′ (t) = X(γ(t)) und
γ(0) = p. Die Menge der glatten Vektorfelder wird mit C ∞ (M, T) bezeichnet.
Bemerkung. In lokalen Koordinaten gibt es eine Abbildung α i : M → R mit X = ∑ a i ∂ .
∂x ti
Eine Kurve γ : [−ɛ, ɛ] → M ist genau dann eine Integralkurve, wenn in lokalen Koordinaten gilt
(γ i ) ′ (t) = a i (γ(t)), 1 ≤ i ≤ n, und γ(0) = p. Dies entspricht einer ODE mit Anfangswerten.
Definition. Ein lokaler Fluss um p ist eine glatte Abbildung γ : (−ɛ, ɛ) × U → M, wobei U
eine Umgebung von p ist mit folgenden Eigenschaften: γ(0, p) = p und γ(s, γ(t, p) = γ(s + t, p)
für alle s und t, für die eine der beiden Seiten definiert ist. Siehe Abbildung 1.
Satz. Jedes Vektorfeld X induziert einen lokalen Fluss γ um jeden Punkt. Es ist p ∈ M mit
(0, q) = X(q).
∂γ
∂t
8.3 Symplektische Mannigfaltigkeiten
Definition. Eine Symplektische Mannigfaltigkeit ist eine 2n-dimensionale Mannigfaltigkeit versehen
mit einer geschlossenen, nicht ausgearteten 2-Form ω, das heißt dω = 0, und für alle a ≠ 0
gibt es ein b mit ω 2 (a, b) ≠ 0.
Definition 8.1. Es sei J : T p M → T ∗ pM die Abbildung t ↦→ ω(·, t).
Satz. Die Abbildung J ist ein Isomorphismus.
Beweis. Es gilt ker J = {t ∈ TM | J(t) = 0} = {t ∈ T p M | ω(·, s) = 0∀s ∈ T p M} = {0} wegen
der nicht Degeneriertheit. Da dim TM = dim T ∗ M = dim M, folgt die Behauptung.
Bemerkung. In den folgenden Rechnungen tritt nur die Umkehrung I := J −1 auf, für diese gilt
ω(t, I α) = α(t) für alle α ∈ T ∗ pM.