Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie 11 Divisionsalgebren und Topologie I 38
11 Divisionsalgebren und Topologie I
Definition 11.1. Ein K-Vektorraum A heißt K-Algebra, wenn eine K-bilineare Abbildung
β : A × A → A gegeben ist („Produkt“). Statt β(a, b) schreiben wir auch a · b. A heißt Divisionsalgebra,
wenn die Gleichungen ax = b und yc = d für alle a, b, c, d ∈ A mit a ≠ 0, c ≠ 0 immer
eindeutig für x, y lösbar sind.
Im Folgenden geht es stets um endlichdimensionale Divisionsalgebren /R.
Sei A eine endlichdimensionale R-Algebra mit einem involutorischen Antiautomorphismus
a ↦→ a, das heißt einer Abbildung ( · ) : A → A mit a = a für alle a ∈ A und (ab) = b · a. Wir
wollen die Verdopplung von A folgendermaßen definieren:
• Als Vektorraum haben wir A 2 = A ⊕ A,
• als Multiplikation (a, b) · (u, v) := (au − vb, bu + va) (R-bilinear).
Ist zum Beispiel A = R, dann ist A 2 ∼ = C.
Wir haben hierbei die Inklusion A → A 2 , a ↦→ (a, 0). Wenn A ein Einselement 1 hat, so ist
(1, 0) Einselement von A 2 .
Setze e := (0, 1) ∈ A 2 . Dann ist b · e = (0, b), das heißt, (a, b) = a + be mit a, b ∈ A.
Es gelten folgende Rechenregeln:
• a(be) = (ab)e,
• insbesondere e 2 = −1,
• (ae)b = (ab)e,
• (ae)(be) = −ba.
Die Hamilton’schen Quaternionen sind definiert als C 2 = H (Verdopplung). Elemente von C 2
haben die Form
ξ = a + be
mit a, b ∈ C. Es ist a = a 0 + a 1 i, b = a 2 + a 3 i, und wir setzen j := e, k := ie, dann ist
und die Multiplikation ist gegeben durch
ξ = a 0 + a 1 i + a 2 j + a 3 k,
i 2 = j 2 = k 2 = −1,
wobei
ki = j = −ik, ij = k = −ji, jk = i = −kj.
Will man die Konstruktion der Verdopplung iterieren, braucht man in A 2 eine Konjugation. Sie
wird definiert durch
a + be := a − be.
Bemerkung 11.2. Beim Verdoppeln werden die algebraischen Eigenschaften immer schlechter.
Zum Beispiel ist A im Allgemeinen nicht kommutativ, und A 2 ist im Allgemeinen nicht assoziativ,
wenn A nicht kommutativ war.