Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie 10 Vortrag: Steiners Lösung des isoperimetrischen Problems 37
Lemma. Seien Y 1 , Y 2 konvexe Kurven, und Y 2 umschließe Y 1 . Dann gilt: Länge Y 2 ≥ Länge Y 1 .
Beweis. Ein Y 1 einbeschriebenes Vieleck hat immer einen kleineren Umfang als das entsprechende
in Y 2 einbeschriebene Vieleck.
Beweis des Satzes. Sei ϱ(C 1 , C 2 ) < ε, dann ist C 1 ⊂ (1 + ε) · C 2 und C 2 ⊂ (1 + ε) · C 1 . Die
Behauptung folgt aus dem Lemma.
Hieraus folgt, dass es eine konvexe Kurve als Lösung gibt: Sei nun X eine Scheibe im R 2
mit Radius L 0 . Dann ist L −1 (L 0 ) ⊂ Con X eine geschlossene Teilmenge vom kompakten Raum
Con X, daher nimmt die stetige Funktion A ihr Maximum an.
Da wir um Steiners Lösung wissen, folgt als Lösung: Der Kreis hat bei vorgegebener Länge
unter allen geschlossenen Kurven der Ebene den größten Flächeninhalt.
Quelle: Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Band 4,
Kapitel 9.