Anschauliche Geometrie

Anschauliche Geometrie 12 Divisionsalgebren und Topologie I (Forts.) 41
12 Divisionsalgebren und Topologie I (Forts.)
12.1 Die Cayley-Algebra der Oktaven (Forts.)
Satz 12.1. O ist alternativ, für ξ, η ∈ O gilt also
(ξη)η = ξ(ηη),
ξ(ξη) = (ξξ)η.
Beweis. Sei ξ = a + be, η = u + ve mit a, b, u, v ∈ H. Dann ist
ξη = (au − vb) + (bu + va)e,
(ξη)η = {(au − vb)u − v(bu + va)} + {(bu + va)u + v(au − vb)}e,
ηη = (n 2 − vv) + (vu + vu)e,
ξ(ηη) = {a(u − vu) − (vu + vu)b} + {b(u 2 − vv) + (vu + vu)a}e
und
a(u 2 − vv) − (vu + vu)b = au 2 − avv − (u + u)vb.
vv und u + u sind reell (nämlich unter der Konjugation ( · ) invariant) und kommutieren mit
jeder Quaternion. Daher lässt sich die letzte Gleichung fortsetzen mit
Genauso:
. . . = au 2 − vva − vb(u + u)
= (au − vb) − v(bu + va).
b(u 2 − vv) + (vu + vu)a = bu 2 − b }{{} vv +v(u + u)a
=vv
= bu 2 − vvb + va(u + u)
= (bu + va)u + v(au − vb).
Also ist (ξη)η = ξ(ηη), und die zweite Gleichung folgt genauso.
Satz 12.2. O ist Divisionsalgebra.
Beweis. Es reicht zu zeigen: O ist normiert. Dazu ist zu zeigen: ξ = a + be, η = u + ve. Es ist
|ξη| = |ξ| · |η| ,
|ξη| 2 ∣
= ∣au − vb∣ 2 + |bu + va| 2
= (au − vb)(ua − bv) + (bu + va)(ub + av),
|ξ| 2 |η| 2 = (aa + bb)(uu + vv).
Ist v = λ + v ′ , λ ∈ R, v ′ ∈ (R1) ⊥ (das heißt v ′ = −v ′ ), dann ist
|ξη| 2 − |ξ| 2 |η| 2 = λ(aub + bua − bua − uub) + (aub + bua)v ′ − v ′ (aub + bua)
= 0,
weil (aub + bua) ∈ R und also mit v ′ ∈ H kommutiert.