Einheit 6 - Fakultät für Mathematik - Otto-von-Guericke-Universität ...

Pseudo-Inverse der Verteilungsfunktion
Eng verwandt mit dem Begriff des Quantils:
” verallgemeinerte Umkehrfunktion von F“ (Pseudo-Inverse)
F − (q) = sup{x : F (x) < q} = inf{x : F (x) ≥ q}
” kleinstes q-Quantil“ (auch: unteres q-Quantil)
Wenn die Verteilungsfunktion F stetig und streng monoton, dann ist F − die Umkehrfunktion
F −1
Beispiel: X exponential-(λ)-verteilt, d.h.
F (x) =
�
0 , x ≤ 0
1 − exp(−λx) , x > 0
Für q ∈ (0, 1): F −1 (q) = − log(1 − q)/λ (vgl. Aufgabe 18)
Damit Median: x0.5 = F −1 (0.5) = log(2)/λ ≈ 0.69/λ ( ” Halbwertszeit“)
Erzeugen von Zufallszahlen zu gegebener Verteilungsfunktion
Sei Z auf [0; 1] gleichverteilt und F − die Pseudo-Inverse einer Verteilungsfunktion. Setzt
man X = F − (Z), dann hat X die Verteilungsfunktion F .
Begründung:
P (X ≤ x) = P (F − (Z) ≤ x) = P (Z ≤ F (x)) = F (x)
Umgekehrt ist für stetige Zufallsvariablen X mit streng monotoner Verteilungsfunktion
F die Zufallsvariable U = F (X) gleichverteilt auf [0, 1], denn
P (U ≤ u) = P (F (X) ≤ u) = P (X ≤ F −1 (u)) = F (F −1 (u)) = u
QQ-Plots
Bei QQ-Plots werden die Quantile einer bestimmten Verteilung mit den ” empirischen
Quantilen“ verglichen werden:
Hat man unabhängige Beobachtungen X1, X2, . . . , Xn und ordnet diese an, so entstehen
die Werte X(1), X(2), . . . , X(n).
Nach obigem Argument verhalten sich dann F (X(1)), . . . , F (X(n)) wie unabhängige, auf
[0, 1] gleichverteilte Beobachtungen, die man angeordnet hat. Daher hofft man, dass
F (X(i)) ≈
i − 1/2
n − 1
für i = 1, . . . , n
(in Randpunkten besseres Verhalten als das vielleicht naheliegendere i/n). Daher plotet
man die Punkte � F −1� � � i−1/2
, X(i) für i = 1, . . . , n und hofft, dass diese annähernd auf
n−1
der Winkelhalbierenden liegen.
Will man überprüfen, ob die Beobachtungen normal-(µ, σ)-verteilt sind, dann hofft man
daher, dass
X(i) − µ
≈ Φ
σ
−1
�
i − 1/2
�
für i = 1, . . . , n bzw.
n − 1
X(i) ≈ Φ −1
�
i − 1/2
�
· σ + µ für i = 1, . . . , n.
n − 1
2