Einheit 6 - Fakultät für Mathematik - Otto-von-Guericke-Universität ...

Für beliebige Zufallsvariable untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit von kσ-Bereichen:
Satz: Chebyshev-Ungleichung (Tschebyscheff)
X reelle Zufallsvariable, µ = E(X), σ 2 = Var(X). Dann gilt für jedes k > 0:
P (|X − µ| ≤ kσ) ≥ 1 − 1
k2 oder äquivalent
P (|X − µ| > kσ) ≤ 1
k2 oder äquivalent
P (|X − E(X)| ≥ ɛ) ≤ 1
· Var(X) für ɛ > 0
ɛ2 Begründung: Setze Z(X) = 1
ɛ2 (X − E(X)) 2 und
�
Y (X) =
1
0
, |X − E(X)| ≥ ɛ
, sonst
Dann Y (X) ≤ Z(X) und somit
P (|X − E(X)| ≥ ɛ) = E(Y (X)) ≤ E(Z(X)) = 1
· Var(X)
ɛ2 Die anderen beiden Gleichungen folgen mittels ɛ = kσ und durch Übergang zum Gegenereignis.
0.0 1.0
E(X) − ε E(X) E(X) + ε
Z(X)
Y(X)
k 1 2 3 4
1 − 1
k 2 0 0.75 0.89 0.94
5