Einheit 6 - Fakultät für Mathematik - Otto-von-Guericke-Universität ...

Schwaches Gesetz der großen Zahlen
Es seien X1, . . . , Xn, . . . unabhängige reelle Zufallsvariablen mit gleichem Erwartungswert
µ und gleicher Varianz σ 2 .
Wir zeigen das schwache Gesetz der großen Zahlen:
Begründung:
lim
n→∞ P (|Xn − µ| ≥ ɛ) = 0 für jedes ɛ > 0 oder äquivalent:
lim
n→∞ P (|Xn − µ| < ɛ) = 1 für jedes ɛ > 0
E(Xn) = 1
n
Var(Xn) = 1
n 2
n�
i=1
n�
i=1
E(Xi) = 1
· n · µ = µ
n
Var(Xi) = 1
n2 · nσ2 = 1
· σ2
n
Somit folgt (mit X = Xn) aus der Chebyshev-Ungleichung:
0 ≤ P (|Xn − µ| ≥ ɛ) ≤ 1
ɛ2 · Var(Xn) = 1 1
·
ɛ2 −→ 0
n · σ2 n→∞
Beispiel: starkes Gesetz großer Zahlen
Wir betrachten folgendes Spiel, beginnend mit dem Startkapital Y0 = 1:
In jeder Runde wird eine Münze geworfen und das momentane Kapital halbiert, falls
Wappen erscheint bzw. um 70% erhöht, falls Zahl erscheint. Setzt man
Zi =
�
0.5 , falls Wappen im i-ten Wurf,
1.7 , falls Zahl im i-ten Wurf,
dann ist der Kapitalstand nach dem n-ten Wurf Yn = Z1 · Z2 · · · Zn.
Der erwartete Kapitalstand nach dem n-ten Wurf:
E(Yn) = E(Z1 · · · Zn) = E(Z1) · · · E(Zn) = 1.1 n ,
denn E(Zi) = 0.5 · 0.5 + 0.5 · 1.7 = 1.1. Somit limn→∞ E(Yn) = ∞.
Wir wenden das Gesetz der großen Zahlen für die Zufallsvariablen Xi = log Zi und
Xn = 1
n
� n
i=1 Xi = 1
n
� n
i=1 log Zi = 1
n log Yn an.
µ = E(Xi) = E(log Zi) = 0.5 · log 0.5 + 0.5 log 1.7 ≈ −0.081 < 0
Somit
P � 1 n→∞
log Yn −→ µ
n � = 1
d.h.
1
n→∞
log Yn(ω) −→ µ < 0
n
für fast alle ω ∈ Ω
d.h. Yn ≈ e µ·n für großes n und da µ < 0 strebt also der Kapitalstand (exponentiell
schnell) fast sicher gegen 0!
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