Einheit 6 - Fakultät für Mathematik - Otto-von-Guericke-Universität ...

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Pseudo-Inverse der Verteilungsfunktion Eng verwandt mit dem Begriff des Quantils: ” verallgemeinerte Umkehrfunktion von F“ (Pseudo-Inverse) F − (q) = sup{x : F (x) < q} = inf{x : F (x) ≥ q} ” kleinstes q-Quantil“ (auch: unteres q-Quantil) Wenn die Verteilungsfunktion F stetig und streng monoton, dann ist F − die Umkehrfunktion F −1 Beispiel: X exponential-(λ)-verteilt, d.h. F (x) = � 0 , x ≤ 0 1 − exp(−λx) , x > 0 Für q ∈ (0, 1): F −1 (q) = − log(1 − q)/λ (vgl. Aufgabe 18) Damit Median: x0.5 = F −1 (0.5) = log(2)/λ ≈ 0.69/λ ( ” Halbwertszeit“) Erzeugen von Zufallszahlen zu gegebener Verteilungsfunktion Sei Z auf [0; 1] gleichverteilt und F − die Pseudo-Inverse einer Verteilungsfunktion. Setzt man X = F − (Z), dann hat X die Verteilungsfunktion F . Begründung: P (X ≤ x) = P (F − (Z) ≤ x) = P (Z ≤ F (x)) = F (x) Umgekehrt ist für stetige Zufallsvariablen X mit streng monotoner Verteilungsfunktion F die Zufallsvariable U = F (X) gleichverteilt auf [0, 1], denn P (U ≤ u) = P (F (X) ≤ u) = P (X ≤ F −1 (u)) = F (F −1 (u)) = u QQ-Plots Bei QQ-Plots werden die Quantile einer bestimmten Verteilung mit den ” empirischen Quantilen“ verglichen werden: Hat man unabhängige Beobachtungen X1, X2, . . . , Xn und ordnet diese an, so entstehen die Werte X(1), X(2), . . . , X(n). Nach obigem Argument verhalten sich dann F (X(1)), . . . , F (X(n)) wie unabhängige, auf [0, 1] gleichverteilte Beobachtungen, die man angeordnet hat. Daher hofft man, dass F (X(i)) ≈ i − 1/2 n − 1 für i = 1, . . . , n (in Randpunkten besseres Verhalten als das vielleicht naheliegendere i/n). Daher plotet man die Punkte � F −1� � � i−1/2 , X(i) für i = 1, . . . , n und hofft, dass diese annähernd auf n−1 der Winkelhalbierenden liegen. Will man überprüfen, ob die Beobachtungen normal-(µ, σ)-verteilt sind, dann hofft man daher, dass X(i) − µ ≈ Φ σ −1 � i − 1/2 � für i = 1, . . . , n bzw. n − 1 X(i) ≈ Φ −1 � i − 1/2 � · σ + µ für i = 1, . . . , n. n − 1 2
Also plotet man die Punkte � Φ−1� � � i−1/2 , X(i) und prüft, wie gut diese auf einer Geraden n−1 liegen. Quantile und QQ-Plots in R Quantile zu den Verteilungen beginnen in R mit dem Anfangsbuchstaben ” q“. So lautet der R-Code zur Übungsaufgabe 19b: qbinom(0.5,6,0.6) qbinom(0.25,6,0.6) qbinom(0.75,6,0.6) qbinom(0.75,6,0.6)-qbinom(0.25,6,0.6) qbinom(0.95,6,0.6) Dies berechnet Median, unteres und oberes Quartil, Interquartilsabstand, und das 90%- Quantil einer binomial-(n = 6, p = 0.6)-verteilten Zufallsvariablen. Die Quantile sind auch im R-Commander im Menü ” Distributions“ verfügbar: Der Menüeintrag ” Binomial distribution→Binomial quantiles“, anschließend die Werte 0.25, 0.75, 0.95 unter ” Probabilities“, 6 bei ” Binomial trials“ und 0.6 bei ” Probability of success“ liefern die gewünschten Quantile. Ist das Quantil nicht eindeutig, so liefert R das kleinste Quantil, d.h. die Quantilfunktionen sind genau die Pseudo-Inversen. Für Übungsaufgabe 18 lautet der R-Code qexp(0.5,1/437) qexp(0.1,1/437) qexp(0.95,1/437) 1-pexp(437,1/437) Dies berechnet Median, 10%-Quantil, 95%-Quantil und P (X > 437) einer exponential-(λ = 1/437)-verteilten Zufallsvariablen X. Beispiel für einen QQ-Plot: x
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