Mathematik Maturaaufgaben BRG Viktring zwischen 2001 und 2008

Jahr Einwohner von China Einwohner von Indien
1998 1260 970
2003 287 1050
• Gib unter der Annahme exponentiellen Wachstums die Bevölkerungszunahme
beider Staaten als Funktion der Zeit (in Jahren) an.
• Zeige: N(t) = N O·e kt ist Lösung der Differentialgleichung N ′ (t) = k·N(t)
• Um wie viel Prozent nimmt die Bevölkerung in beiden Staaten jährlich zu?
• Berechne die Verdoppelungszeit des Bevölkerungswachstums dieser Staaten.
• In welchem Jahr werden – bei gleicher Entwicklung wie bisher – in beiden
Staaten gleich viele Menschen leben?
2. Die Sunkist Saftpackerl hatten vor 20 Jahren die Form von Tetraedern. Ein Modell
dieser Verpackungen sei gegeben durch: das Dreieck ABC und die Spitze S mit S
= g - h
g : X =
−2
4
1
+ t·
2
1
4
h : X =
5
−3
4
+ s·
−1
3
2
A (-4/-9/1); B(3/3/-?); C(6/-1/-3)
• Zeige, dass die beiden Geraden einander schneiden und bestimme die Koordinaten
von S.
• Berechne den Winkel a = ∠BAC und den Flächeninhalt der Grundfläche.
• Berechne das Volumen des Tetraeders.
• Berechne die Länge eines Strohhalmes, der, wenn man ihn senkrecht zur
Grundfläche durch S in die Packung steckt, noch 2cm herausragt. Fertige
eine Skizze an.
• Berechne die Koordinaten des Fußpunktes F der Körperhöhe, sowie jene des
Punktes S’, den man durch Spiegelung der Spitze S an der Grundfläche erhält.
[Maße in cm]
3. Von einer Schmugglerbande wurde einmal eines der berühmten Faberge Eier gestohlen.
Das Besondere an diesem Ei ist, dass es aus purem Gold gefertigt wurde
und innen einen Hohlraum in Form eines Kegels hat.
Man kann nun annehmen, dass dieses besondere Ei durch Rotation der Ellipse
9x 2 + 25y 2 = 225 um die x-Achse entsteht und der Hohlraum gebildet wird, indem
man dieser Ellipse den volumsgrößten Kegel so einschreibt, dass die Spitze
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