¨Ubung Angewandte Mathematik 2

UE Ang. Mathematik 2, SS 2009Gerhard Mitterlechner10.3. 2009 MMT, FH Salzburg2. Übungsblatt zurÜbung Angewandte Mathematik 2Die folgenden Aufgaben sind bis zum 18.3. zu lösen.1. Fingerübungen zum Rechnen mit komplexen Zahlen:(a) Gegeben sind c 1 = 4 − 5i, c 2 = −1 + 6i, c 3 = −1 + 6i: bestimmen Sie c 1 + c 2 , c 1 − c 2 , 3c 1und −c 2 .(b) Bestimmen Sie (3 + 2i)(c + di), (4 + i)(2 − 3i) und i(1 + i)(1 − 2i).(c) Was ist (1 + i + i 2 + i 3 ) 100 ?(d) Gegeben sind Matrizen A und B mit:( 1 −iA =i + i 4 − iBerechnen Sie A + B, A − B, iA und AB.2. Einfache Beweise durch Ausrechnen:(a) Zeigen Sie für eine komplexe Zahl c:• Im ic = Re c• Re ic = -Im c.) (, B =i 1 − i2 − 3i 4(b) Zeigen Sie dass für alle komplexen Zahlen c 1 , c 2 , c 3 gilt: c 1 (c 2 c 3 ) = (c 1 c 2 )c 3 .(c) Zeigen Sie dass für alle komplexen Zahlen c 1 und c 2 gilt: c 1 + c 2 = c 1 + c 2 .Wie sieht die Sache mit drei Zahlen aus?3. Zeigen Sie, dass gilt:Was bedeutet das geometrisch?c 1c 2= r 1r 2(cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 − ϕ 2 )).4. (a) Stellen Sie folgende komplexe Zahlen in der Form a + ib da:c 1 = 1(cos π + i sin π), c 2 = 2(cos(2π) + i sin(2π)), c 3 = 3(cos(π/4) + i sin(π/4)).(b) Stellen Sie folgende komplexe Zahlen in Polardarstellung dar:c 1 = 1 + √ 3i, c 2 = −1 − i.5. Gegeben sind die komplexen Zahlen c 1 , c 2 und c 3 , die in der Gauß’schen Zahlenebene ein Dreieckbilden. Transformieren Sie dieses Dreieck durch komplexe Multiplikation mit der Zahl z. Wiesieht z in Polardarstellung aus? Was passiert mit den Punkten des Dreiecks (aufzeichnen)?c 1 = 1 + i, c 2 = 3 + i, c 3 = 2 + 2i, z = √ 2 + i √ 2).1

UE Ang. Mathematik 2, SS 2009Gerhard Mitterlechner18.3. 2009 MMT, FH Salzburg3. Übungsblatt zurÜbung Angewandte Mathematik 2Die folgenden Aufgaben sind bis zum 25.3. zu lösen.1. Rechnen Sie die vektoriell gegebenen Gesetzte der Multiplikation für Quaternionen nach, wobeinur die Gesetzen für das Rechnen mit i, j und k verwendet werden sollen.2. Berechnen Sie die Rotationsquaternion folgender Drehungen im Raum:⎛ ⎞1(a) ϕ = 90 ◦ , ⃗u = ⎝ 0 ⎠⎛ ⎞1(b) ϕ = 120 ◦ , ⃗u = ⎝ 1 ⎠ (c) ϕ = 60 ◦ , ⃗u =01sin und cos sollen nicht mehr vorkommen. Achtung: nicht alle Achsenvektoren sind normiert.3. Berechnen Sie Drehwinkel und -achse folgender Rotationsquaternionen. Sie können auch denComputer zu Hilfe nehmen.⎛ ⎞⎛ ⎞√3(a) q =2 + 126 ⃗ı · ⎝ ⎠ (b) q = −0.5 +⃗ı · ⎝ ⎠3412(c) q = 0.988626 − 0.107086i + 0.0535432j + 0.0910234k0.5−0.50.54. Stellen Sie sich vor, Sie rotieren ein Objekt zuerst 90 ◦ um y, dann 90 ◦ um x. Wie sieht die Rotationsquaternionder Gesamtoperation (Komposition) aus? Um welche Achse und um welchenWinkel muss man das Objekt dann rotieren um beide Transformationen wieder rückgängig zumachen?⎛⎝010⎞⎠1

UE Ang. Mathematik 2, SS 2009Gerhard Mitterlechner28.3. 2009 MMT, FH Salzburg4. Übungsblatt zurÜbung Angewandte Mathematik 2Die folgenden Aufgaben sind bis zum 1.4. zu lösen.1. Gegeben sind zwei Objekte A und B mit derselben Ausrichtung. Rotieren Sie Objekt A um90 ◦ um x, Objekt B 90 ◦ um y. Wie sieht die Rotationsquaternion von Objekt A aus, um A sorotieren dass es die gleiche Ausrichtung wie B bekommt?Hinweis: Hier müssen Sie die Rotationsquaternionen dividieren.2. Gegeben ist ein Objekt mit einer Ist-Ausrichtung q 0 und einer Soll-Ausrichtung q 1 . Das Objektsoll in 10 Frames von der Ist-Ausrichtung in die Soll-Ausrichtung gleichmäßig animiert werden.Berechnen Sie die Rotationsquaternion ∆q, die der Drehung in einem Frame entspricht.q 0 = 0.5 + 0.5i + 0.5j + 0.5k , q 1 = 0.5 + 0.5i + 0.5j − 0.5k3. Man will Objekte um 120 ◦ um die Achse ⃗u rotieren. Bilden Sie die zugehörige Rotationsquaternionund rotieren Sie damit die Vektoren ⃗x, ⃗y & ⃗z.⎛ ⎞1⃗u = ⎝ 1 ⎠ ,⎛ ⎞1⃗x = ⎝ 0 ⎠ ,⎛ ⎞0⃗y = ⎝ 1 ⎠ &⎛ ⎞0⃗z = ⎝ 0 ⎠ .1001Wie sieht die Rotationsmatrix der gegebenen Rotation aus? Hinweis: Die Spalten der Matrixsind die Bilder der Einheitsvektoren.4. Zeigen Sie, dass eine Rotationsquaternion immer eine Einheitsquaternion ist, dass also gilt:|q| = 1.5. Für Rätsellöser: Zeigen Sie, dass folgende Gesetze für das Rechnen mit i, j und k ausreichen:i 2 = j 2 = k 2 = −1 & ij = kZeigen Sie also alle fehlenden Gesetze, wie −ji = k oder ki = j, nur mit den obigen Gesetzen.Achten Sie auf die Reihenfolge der Multiplikation!1

UE Ang. Mathematik 2, SS 2009Gerhard Mitterlechner8.4. 2009 MMT, FH Salzburg5. Übungsblatt zurÜbung Angewandte Mathematik 2Die folgenden Aufgaben sind bis zum 15.4. zu lösen.1. Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen im Intervall [x 1 , x 2 ]:(a) f(x) = min(x, 1), x 1 = −2, x 2 = 2.Hinweis: min(a, b) gibt die kleinere der Zahlen a und b zurück. Analog für max(a, b).(b) f(x) = max(x, √ x), x 1 = 0, x 2 = 2.(c) f(x) = arccos(x), x 1 = −1, x 2 = 1.Hinweis: verwenden Sie statt einer Wertetabelle die Tatsache dass f die Umkehrfunktiondes Cosinus ist.(d) f(x) =2xx 2 −4 , x 1 = −4, x 2 = 4.2. Gegeben ist eine Funktion f. Wir wollen vergleichen, wie sich der Graph (also die ”Zeichnung“,siehe Abb. 1) der Funktion verändert, wenn man eine Zahl an gewissen Stellen addiert oder multipliziert.Die Frage ist also: wie sehen die Graphen der unten angeführten, aus f entstandenenFunktionen g 1 , g 2 , g 3 , g 4 im Vergleich zum Graphen von f aus?Geben Sie überall an• was mit dem Graphen passiert wenn die Koordinatenachsen ”starr“ bleiben, dh. die Achsensowohl beim Graphen von f als auch beim Graphen von g i im selben Maßstab gezeichnetwerden (siehe Abb. 2),• was mit den Koordinatenachsen passiert wenn der Graph ”starr“ bleibt (also wenn derGraph von g i exakt gleich wie der von f gezeichnet wird, wodurch die Koordinatenachsenverändert werden, siehe Abb. 3).105-4 -2 2 4 6-5-10Abbildung 1: Der Graph von f.(a) g 1 (x) = f(c · x), mit c > 0(b) g 2 (x) = c · f(x), mit c > 0(c) g 3 (x) = f(x) + c(d) g 4 (x) = f(x + c)1

105-4 -2 2 4 6-5-10Abbildung 2: Der Graph von g: die Koordinatenachsen sind starr geblieben. Der Graph ist gegenüberf um 2 Einheiten nach rechts verschoben und mit dem Faktor 1/2 gestaucht.642-2 2 4 6 8-2-4-6Abbildung 3: Der Graph von g: jetzt haben sich die Koordinatenachsen verändert, der Graph iststarr geblieben. Die y-Achse ist mit dem Faktor 2 gestreckt, die x-Achse um 2 Einheiten nach linksverschoben.Unterscheiden Sie bei a) und b) die Fälle c < 1 und c > 1, und bei c) und d) die Fälle c > 0und c < 0.Die Antworten könnten zum Beispiel lauten:• ”bei gleichbleibendem Koordinatenmaßstab ist der Graph von g im Vergleich zu f in y-Richtung gestreckt falls c > 1, und gestaucht falls c < 1“• ”beim Graphen von g ist im Vergleich zu f die x-Achse nach rechts verschoben falls c > 0;für c < 0 wird sie nach links verschoben“• ”der Graph von g ist im Vergleich zu f nach oben verschoben falls c > 0; für c < 0 ist ernach unten verschoben“• ”die y-Achse ist im Vergleich zu f um den Faktor c gestreckt falls c > 0; für c < 0gestaucht“3. Überprüfen Sie anhand von f(x) = cos(x) Ihre Aussagen der vorigen Nummer durch Zeichnenaller vier g i mit c = 2.4. Gegeben ist die Funktion f(x) = x 3 − 2x 2 − 5x + 6. Sie wollen den Graphen der Funktion um2

3 Einheiten nach links verschieben, und gleichzeitig die y-Achse auf die Hälfte stauchen. Wielautet die Funktion dann? Testen Sie das Ergebnis durch Zeichnen.5. Prüfen Sie für die folgenden Funktionen, ob sie gerade, ungerade, oder keines von beiden sind.Es ist immer x ∈ R.(a) f(x) = x + x 2(b) f(x) = |x|(c) f(x) = x n , n ∈ N. Hinweis: es hängt vom jeweiligen n ab...3

UE Ang. Mathematik 2, SS 2009Gerhard Mitterlechner12.4. 2009 MMT, FH SalzburgLösungen des 5. Übungsblatts zurÜbung Angewandte Mathematik 2Die folgenden Aufgaben sind bis zum 15.4. zu lösen.1. Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen im Intervall [x 1 , x 2 ]:(a) f(x) = min(x, 1), x 1 = −2, x 2 = 2.• Siehe Abb. 1.10.5-2 -1 1 2-0.5-1-1.5-2Abbildung 1: Der Graph von f von 1a).Hinweis: min(a, b) gibt die kleinere der Zahlen a und b zurück. Analog für max(a, b).(b) f(x) = max(x, √ x), x 1 = 0, x 2 = 2.• Siehe Abb. 2.21.510.50.5 1 1.5 2Abbildung 2: Der Graph von f von 1b.)(c) f(x) = arccos(x), x 1 = −1, x 2 = 1.Hinweis: verwenden Sie statt einer Wertetabelle die Tatsache dass f die Umkehrfunktiondes Cosinus ist.(d) f(x) =• Siehe Abb. 3.2xx 2 −4 , x 1 = −4, x 2 = 4.1

32.521.510.5-1 -0.5 0.5 1Abbildung 3: Der Graph von f von 1c).302010-4 -2 2 4-10-20-30Abbildung 4: Der Graph von f von 1d).• Siehe Abb. 4.2. Gegeben ist eine Funktion f. Wir wollen vergleichen, wie sich der Graph (also die ”Zeichnung“der Funktion verändert, wenn man eine Zahl an gewissen Stellen addiert oder multipliziert. DieFrage ist also: wie sehen die Graphen der unten angeführten, aus f entstandenen Funktioneng 1 , g 2 , g 3 , g 4 im Vergleich zum Graphen von f aus?Geben Sie überall an• was mit dem Graphen passiert wenn die Koordinatenachsen ”starr“ bleiben, dh. die Achsensowohl beim Graphen von f als auch beim Graphen von g i im selben Maßstab gezeichnetwerden,• was mit den Koordinatenachsen passiert wenn der Graph ”starr“ bleibt (also wenn derGraph von g i exakt gleich wie der von f gezeichnet wird, wodurch die Koordinatenachsenverändert werden).(a) g 1 (x) = f(c · x), mit c > 0• Koordinatenachsen starr: der Graph von g 1 ist im Vgl. zu f für c > 1 in seiner Breite(x-Richtung) gestaucht, für c < 1 gestreckt bzw. gedehnt.• Graph starr: die x-Achse ist für c > 1 gestreckt, für c < 1 gestaucht.(b) g 2 (x) = c · f(x), mit c > 02

• Koordinatenachsen starr: der Graph von g 2 ist im Vgl. zu f für c > 1 in y-Richtunggesteckt, für c < 1 gestaucht.• Graph starr: die y-Achse ist für c > 1 gestaucht, für c < 1 gestreckt.(c) g 3 (x) = f(x) + c• Koordinatenachsen starr: der Graph von g 3 ist im Vgl. zu f für c > 0 nach obenverschoben, für c < 0 nach unten verschoben.• Graph starr: die y-Achse ist für c > 0 nach unten verschoben, für c < 0 nach obenverschoben.(d) g 4 (x) = f(x + c)• Koordinatenachsen starr: der Graph von g 4 ist im Vgl. zu f für c > 0 nach linksverschoben, für c < 0 nach rechts verschoben.• Graph starr: die x-Achse ist für c > 0 nach rechts verschoben, für c < 0 nach linksverschoben.3. Überprüfen Sie anhand von f(x) = cos(x) Ihre Aussagen der vorigen Nummer durch Zeichnenaller vier g i mit c = 2.• Siehe Abb. 5.21-6 -4 -2 2 4 6-1cos2x2 cos x-2Abbildung 5: cos(2x) und 2 cos(x).• Siehe Abb. 6.4. Gegeben ist die Funktion f(x) = x 3 − 2x 2 − 5x + 6. Sie wollen den Graphen der Funktion um3 Einheiten nach links verschieben, und gleichzeitig die y-Achse auf die Hälfte stauchen. Wielautet die Funktion dann? Testen Sie das Ergebnis durch Zeichnen.• Graph nach links verschieben ⇒ beim Argument +3 rechnen• y-Achse auf Hälfte stauchen ⇒ Funktion mit 2 multiplizieren• ⇒ 2((x + 3) 3 − 2(x + 3) 2 − 5(x + 3) + 6) = 2x 3 + 14x 2 + 10x• Siehe Abb. 7.5. Prüfen Sie für die folgenden Funktionen, ob sie gerade, ungerade, oder keines von beiden sind.Es ist immer x ∈ R.3

UE Ang. Mathematik 2, SS 2009Gerhard Mitterlechner23.4. 2009 MMT, FH Salzburg7. Übungsblatt zurÜbung Angewandte Mathematik 2Die folgenden Aufgaben sind bis zum 29.4. zu lösen.1. Fortsetzung der letzten Stunde:(a) Erklären Sie was der Definitions- und Wertebereich einer Funktion ist. Wie hängen dieFunktionseigenschaft und die Begriffe injektiv, surjektiv, bijektiv damit zusammen?(b) Welche der Funktionen ist bijektiv? (Warum, warum nicht?)i. f : R → R, x ↦→ |x|(Hinweis: das bedeutet dass R der Definitionsbereich, R der Wertebereich ist, und dassf(x) = |x|.)ii. f : R + → R, x ↦→ |x|(Hinweis: R + sind alle positiven reellen Zahlen, R + 0 sind alle positiven reellen Zahleninklusive 0.)iii. f : R → R + 0 , x ↦→ |x|iv. f : R + 0 → R+ 0 , x ↦→ |x|(c) Geben Sie die Exponential-, und Quadratfunktion mit solchen Werte- und Definitionsbereichenan dass sie bijektiv sind.2. Eigenschaften des Logarithmus: für alle x, y > 0 gilt:• ln(x · y) = ln x + ln y( )• ln xy= ln x − ln y• ln x r = r · ln x, r ∈ RAchtung: das gilt alles für eine beliebige Basis, also für ln (Basis e) oder log (Basis 10) oder ld(Basis 2),...Berechnen Sie damit:(a) ln 1 e , ln e2 , ln √ e(b) log 0.1, log √ 10(c) log 5 + log 20Lösen Sie nach x auf:(a) 3 2 = 2 x(b) a b = c x(c) 3 log(5x) = 2(d) 2 ln a − 1 2 ln a 3 = ln 2 x1

UE Ang. Mathematik 2, SS 2009Gerhard Mitterlechner13.5. 2009 MMT, FH Salzburg9. Übungsblatt zurÜbung Angewandte Mathematik 2Die folgenden Aufgaben sind bis zum 20.5. zu lösen.1. Zeigen Sie, dass für jedes t ∈ R der Punkt ⃗p(t) tatsächlich auf der durch die Matrix A beschriebenenEllipse liegt.⎛( ) 1/a 2 ⎞0 0a cos t⃗p(t) =, A = ⎝ 0 1/bb sin t2 0 ⎠0 0 −12. Welche Kurve wird von der Matrix A beschrieben?⎛0 0⎞aA = ⎝ 0 0 b ⎠0 0 −c3. Stellen Sie die Tangentengleichung an die Hyperbel mit der Matrix A in einem beliebigen Punkt(x 0 , y 0 ) mit Hilfe des Gradienten auf.⎛A = ⎝1/a 2 0 00 −1/b 2 00 0 −14. Berechnen Sie die Krümmungsradien der Scheitel einer durch A beschriebenen Ellipse. ZeichnenSie nun die Ellipse mit a = 2 und b = 1 nur mit den Krümmungskreisen und der freien Hand.⎛1/a 2 0⎞0A = ⎝ 0 1/b 2 0 ⎠0 0 −1⎞⎠1

UE Ang. Mathematik 2, SS 2009Gerhard Mitterlechner20.5. 2009 MMT, FH Salzburg10. Übungsblatt zurÜbung Angewandte Mathematik 2Die folgenden Aufgaben sind bis zum 27.5. zu lösen.1. Gegeben ist folgende Hyperbel: x29 − y24 − 1 = 0.(a) Wie sieht die zugehörige Matrix aus?(b) Berechnen Sie die Tangente im Punkt (x 0 , y 0 ) = (4,vorigen Übung noch einmal nachvollziehen.)2. Gegeben ist eine Fläche in impliziter Darstellung: x 2 + y 2 − z = 0.(a) Wie lautet die zugehörige Matrix? (Achtung: es ist eine 4 × 4-Matrix)√283). (Die Schritte vom Beispiel der(b) Wie lautet die explizite Form f(x, y) = ... obiger Fläche (denken Sie an das ”Funktionengebirge“)?(c) Wie lautet die Funktion, von der diese Fläche eine ”Höhenlinie“ darstellt?(d) Stellen Sie mithilfe des Gradienten die Gleichung der Tangentialebene an diese Fläche inden Punkten A = (1, 1, 2) und B = (2, 2, 8) auf.3. Berechnen Sie die Gauß’sche Krümmung der folgenden parametrisierten Kurve im Punkt (s 0 , t 0 ) =(0, 0):⎛ ⎞s⃗p(s, t) = ⎝ t ⎠2s 2 − t 2Hinweis: betrachten Sie zuerst die Krümmung in Richtung s, dann in Richtung t. (Finden Siedurch graphische Anschauung heraus ob die Krümmungen entgegengesetzt sind.)1

UE Ang. Mathematik 2, SS 2009Gerhard Mitterlechner28.5. 2009 MMT, FH Salzburg11. Übungsblatt zurÜbung Angewandte Mathematik 2Die folgenden Aufgaben sind bis zum 3.6. zu lösen.1. Gegeben ist ein zylindrischer Lampenschirm mit 50cm Höhe und 50cm Durchmesser. Die Glühbirneist exakt in der Mitte positioniert. Die Glühbirne der Lampe ist 1m von einer senkrechten Wandentfernt.Bestimmen Sie die Gleichung der Kurve durch welche der Schatten auf der Wand begrenzt wird,und zeichnen Sie die Kurve. Hinweis: schneiden Sie den Kegel mit der Ebene. Positionieren Siedie Glühbirne im Koordinatenursprung.2. Berechnen Sie das Volumen des folgenden Tetraeders mithilfe der Volumsformel. Der Tetraederist gegeben durch die folgenden Punkte⎛2⎞ ⎛1⎞ ⎛ ⎞−2⎛ ⎞1V 0 = ⎝ 1−1⎠ , V 1 = ⎝ −3 ⎠ , V 2 = ⎝031⎠ , V 3 = ⎝ 1 ⎠3und folgende Flächen:F 0 = (V 0 , V 1 , V 2 ), F 1 = (V 0 , V 3 , V 1 ), F 2 = (V 1 , V 3 , V 2 ), F 3 = (V 2 , V 3 , V 0 )3. Bestimmen Sie diejenigen Punkte, welche die Eckpunkte der konvexe Hülle der folgenden Punktebilden:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−π 3 −1/2, , √ i2 2.5 0e 13,,,cos 2π −2/3 024. Zeichnen Sie einen Polyeder,(a) der genau einen Vertex mit Eckengrad 7 besitzt.(b) der genau zwei Vertices mit Eckengrad 7 besitzt.Zeichnen auch jeweils dessen dualen Körper.1

UE Ang. Mathematik 2, SS 2009Gerhard Mitterlechner28.5. 2009 MMT, FH Salzburg12. Übungsblatt zurÜbung Angewandte Mathematik 2Die folgenden Aufgaben sind bis zum 10.6. zu lösen.1. Gegeben ist folgende Matrix einer Ellipse:⎛A = ⎝1/9 0 00 1/4 00 0 −1⎞⎠(a) Stellen Sie die Gleichung der Ellipse auf.(b) Bestimmen Sie a und b.(c) Berechnen Sie die Krümmungsradien in den Scheiteln.(d) Zeichnen Sie die Ellipse mithilfe der Krümmungsradien.2. Gegeben ist eine Helix mit zwei Parametern r und k mit folgender parametrischer Darstellung:⎛ ⎞r cos t⃗p(t) = ⎝ r sin tkt⎠(a) Wie verändert sich die Helix bei variierenden r und k?(b) Wie lautet die Tangentengleichung für t 0 = 2π?(c) Wie groß ist der Winkel zwischen xy-Ebene und Tangente?(d) Berechnen Sie die Krümmung der Helix.3. (a) Gegeben ist die konvexe Hülle von Schafen (in rot) und die konvexe Hülle von Ziegen(blau). Wie sieht die gemeinsame konvexe Hülle von Schafen und Ziegen aus?(b) Wie sieht die konvexe Hülle des Pentagramms aus?4. Bestimmen Sie die ersten 10 Zufallszahlen ∈ [0, 1) von einem LCG mit folgendem Parametern:(a) a = 7, b = 1, m = 11. Was fällt auf?(b) a = 196, b = 125, m = 2431